一元二次方程的根的判别式

一、教学目标 

（一）知识教学点：

1．了解根的判别式的概念．

2．能用判别式判别根的情况．

（二）能力训练点：

1．培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力．

2．进一步考察学生思维的全面性．

（三）德育渗透点：

1．通过了解知识之间的内在联系，培养学生的探索精神．

2．进一步渗透转化和分类的思想方法．

二、教学重点、难点、疑点及解决方法

1．教学重点：会用判别式判定根的情况．

2．教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”

3．教学疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根．

三、教学步骤

（一）明确目标

在前一节的“公式法”部分已经涉及到了，当b2-4ac≥0时，可以求出两个实数根．那么b2-4ac＜0时，方程根的情况怎样呢？这就是本节课的目标．本节课将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三种情况下的一元二次方程根的情况．

（二）整体感知

在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．

在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，要求学生从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对学生思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）平方根的性质是什么？

（2）解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．

问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用．

2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将

（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．

（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．

教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？

答：b2-4ac．

3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．

反之亦然．

注意以下几个问题：

（1）∵  a≠0，∴  4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应向学生渗透转化和分类的思想方法．

（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．

4．例1  不解方程，判别下列方程的根的情况：

（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；

（3）5（x2＋1）-7x＝0．

解：

（1）∵  △＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，

∴  原方程有两个不相等的实数根．

（2）原方程可变形为

16y2-24y＋9＝0．

∵  △＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，

∴  原方程有两个相等的实数根．

（3）原方程可变形为

5x2-7x+5=0．

∵  △＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，

∴  原方程没有实数根．

学生口答，教师板书，引导学生总结步骤，（1）化方程为一般形式，确定a、b、c的值；（2）计算b2-4ac的值；（3）判别根的情况．

强调两点：（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．（2）判别根的情况，不必求出方程的根．

练习．不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；

（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；

学生板演、笔答、评价．

（4）题可去括号，化一般式进行判别，也可设y＝x-2，判别方程y2＋2y-8=0根的情况，由此判别原方程根的情况．

又∵  不论k取何实数，△≥0，

∴  原方程有两个实数根．

教师板书，引导学生回答．此题是含有字母系数的一元二次方程．注意字母的取值范围，从而确定b2-4ac的取值．

练习：不解方程，判别下列方程根的情况．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

学生板演、笔答、评价．教师渗透、点拨．

（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1

＝4m2-8m2-4

＝-4m2-4．

∵  不论m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．

∴  方程无实数解．

由数字系数，过渡到字母系数，使学生体会到由具体到抽象，并且注意字母的取值．

（四）总结、扩展

（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．

①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

当△＞0时，有两个不相等的实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根；

当△＜0时，没有实数根．反之亦然．

（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．

四、布置作业

教材P．27中 A 1、2

一元二次方程跟的判别式