一元二次方程的根的判别式学习指导

一、基本知识点：

1. 根的判别式：

对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为: (x+)2=

因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2－4ac来判定。

我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母⊿来表示，即⊿=b2－4ac。

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，

当⊿=b2－4ac＞0时，有两个不相等的实数根；

当⊿=b2－4ac=0时，有两个相等的实数根；

当⊿=b2－4ac＜0时，没有实数根。

上述性质反过来也成立。

2. 判别式的应用

(1) 不解方程，判断方程的根的情况；

(2)根据方程的根情况确定方程的待定系数的取值范围；

(3) 证明方程的根的性质；

(4) 运用于解综合题。

二、重点与难点
一元二次方程的根的判别式的性质是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有重要应用。正确理解判别式的性质，熟练灵活地运用它，是本节的重点，同时也是难点。

三、例题解析
例1 不解方程，判断下列方程根的情况
(1) 2x2－5x+10=0
(2) 16x2－8x+3=0
(3) (－)x2－x+=0
(4) x2－2kx+4(k－1)=0 (k为常数)
(5) 2x2－(4m－1)x+(m－1)=0 (m为常数)
(6) 4x2+2nx+(n2－2n+5)=0 (n为常数)

解：(1) ⊿=(－5)2－4×2×10=－55＜0
∴ 方程没有实数根

　　(2)⊿=(－8)2－4×16×3=0
∴ 方程有两个相等的实数根

　　(3) ⊿=（－)2－4(－)×=5－4+8＞0
∴方程有两个不相等实根

　　(4) ⊿=(－2k)2－4×1×4(k－1)=4k2－16k+16
　=4(k2－4k+4)=4(k－2)2≥0
∴ 方程有实数根

(5) ⊿=〔－(4m－1)〕2－4×2×(m－1)
=16m2－8m+1－8m+8
=16m2－16m+9=4(2m－1)2+5＞0
∴ 方程有两个不相等实根

(6) ⊿=(2n)2－4×4(n2－2n+5)

=4n2－16n2+32n－80

=－12n2+32n－80

=－12(n－)2－＜0
∴ 方程没有实数根

说明：

1 解这类题目时，一般要先求出⊿=b2－4ac，然后对⊿=b2－4ac进行化简或变形，使⊿=b2－4ac的符号明朗化，进而说明⊿=b2－4ac的符号情况，得出结论。对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方等。

②应首先将关于x的方程整理成一般形式，再求⊿=b2－4ac。
③当⊿=b2－4ac≥0时，方程有实数根，反之也成立。

例2 已知关于x的方程x2－(m－2)x+m2=0
(1) 有两个不相等实根，求m的范围.
(2) 有两个相等实根，求m的值，并求此时方程的根.
(3) 有实根，求m的最大整数值.

解：⊿=b2－4ac=[－(m－2)[2－4××m2=－4m+4

(1) ⊿=－4m+4＞0时方程有两个不相等的实根，解得m＜1

∴ 当m＜1时方程有两个不相等实根

(2) 方程有两个相等实根，

∴ ⊿=b2－4ac =0

∴ －4m+4=0 解得m=1

∴ 当m=1时方程有两个相等实根为

x1=x2=－=－=－2

(3) ∵方程有实根，

∴⊿=b2－4ac≥0

∴ －4m+4≥0 解得m≤1，其最大整数值为1，

∴ 方程有实根m的最大整数值为1。

说明：含有字母系数的一元二次方程根的情况由字母系数决定，而字母系数的取值范围由⊿的不同情况求得。

例3 已知m为非负整数，且关于x的方程m(x－1)2+3x+2=2x2有两个实数根，求m的值，并求出这时方程的根。

分析，首先要把方程整理成一般形式，注意应保证二次项系数不等于零。因为已知方程有两个实数根，所以⊿=b2－4ac≥0，由此可求出m的取值范围，再由m是非负整数来确定m的值，从而使问题得解。

解：整理原方程，得: (m－2)x2－(2m－3)x+(m+2)=0

∵ 方程有两个实数根，⊿=b2－4ac≥0

∴

解得 m≤且m≠2。

∵ m是非负整数。

∴ m=0或m=1。

当m=0时，原方程为2x2－3x－2=0

解这个方程得: x1=2，x2=－。

当m=1时，原方程为x2－x－3=0。

解这个方程，得:x=

x1=，x2=。

例4 证明：当a、b、c为实数，且b=a+c时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。

分析：要证明一元二次方程有实数根，只需证明它的判别式大于或等于零。

证明∵⊿=b2－4ac，又b=a+c，a≠0。

∴ ⊿=(a+c)2－4ac=(a－c)2。

∵ (a－c)2≥0

∴ ⊿=b2－4ac≥0。

∴ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0总有实数根。

例5 已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，求证:方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。

分析：由已知方程x2+2x－n+1=0没有实数根，可得到一个关于n的关系式，再以此为基础证明方程x2+nx+2n－1=0的根的判别式⊿=b2－4ac＞0，问题即可得解。

证明：∵方程x2+2x－n+1=0没有实数根，

∴ 22－4(－n+1)＜0，

即n＜0。

∵ 方程x2+nx+2n－1=0的判别式⊿=n2－4(2n－1)=n2－8n+4，且n＜0，

∴ n2＞0，－8n＞0，

∴ n2－8n+4＞0。

∴ ⊿=n2－4(2n－1)＞0。

∴ 方程x2+nx+2n－1=0必有两个不相等的实数根。

例6 已知关于x的方程(m+2)x2－2(m－1)x+m+1=0有两个不相等的实数根，并且一次项系数不小于零，试求m的取值范围。

分析：由已知条件可知m的取值范围应同时满足:

①二次项系数不等于零，②⊿=b2－4ac＞0，③一次项系数不小于零这三个条件，因而可列出不等式组求解。

解：根据已知条件，可得:

解这个不等式组，得:

∴ m＜－且m≠－2。

例7 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2－4x+4=0与x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。

分析：因为两个一元二次方程的根都是整数，所以两个方程都有实数根，可先求出使两个方程都有实数根的m的值，然后从中筛选出使两个方程的根都是整数的整数m的值。

解：∵ 一元二次方程mx2－4x+4=0有实数根，

∴ m≠0且⊿=b2－4ac =16－16m≥0

∴ m≤1且m≠0 ①

　∵ 方程x2－4mx+4m2－4m－5=0有实数根，

∴ ⊿=b2－4ac =16m2－4(4m2－4m－5)≥0。

∴ m≥－②

由①、②得－≤m≤1，且m≠0。

∴ m的整数解为－1或1。

当m=－1时，方程mx2－4x+4=0的根不是整数，不符合题意，舍去。

当m=1时，方程mx2－4x+4=0的根为x1=x2=2，

方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根为x3=5，x4=－1。

∴ 当m=1时，方程mx2－4x+4=0与方程x2－4mx+4m2－4m－5=0的根都是整数。

说明：求方程的特殊解的问题，可先求出方程的通解，然后再根据题目对解的特殊要求筛选出特殊解。

四、自我测试

1. 填空：

(1) 方程(m+1)x2－mx+m=0有相等的实数根，则m的值是_____；

(2) 关于x的方程2x(kx－4)－x2+6=0没有实数根，则k的最小整数值是_____；

(3) 方程2x2－(2m+1)x+m=0的根的判别式的值是9，则m=_____；

(4) 若关于x的一元二次方程kx2－(2k－1)x+k=0有实根，则k的取值范围是_____，若方程无实根，则k的取值范围是_____。

2. 选择题(四选一)：

(1) 下到方程中，有两个不相等的实数根的是( )

(A) x2+x+2=0 　　(B) x2－2x+1=0

(C) x2+1=0 　　　(D) x2+x=0

(2) 方程(x－1)(x－2)=k2一定( )

(A) 有两个相等的实数根 (B) 没有实数根

(C) 有两个不相等的实数根 (D) 以上三种情况均有可能

(3) 关于x的方程2kx2+(8k+1)x=－8k有两个实根，则k的取值范围是( )
(A) k＞－ (B) k≥－且k≠0

(C) k=－　　　　(D) k＞－且k≠0

3. 方程(m－1)x2+16x+10=0有两个不相等实根，求m的取值范围。

4. 方程kx2－10kx+15k+2=0有两个相等的实数根，求k的值及方程的根。

5. 若方程(m－4)x2－2mx+2m+5=0的根的判别式的值是40，求m的值。

6. 一元二次方程2x(kx－4)－x2+6=0没有实数根，求k的最小整数值。

7. 已知一元二次方程x2+3x+a=0有整数根，a是非负整数，求方程的整数根。

参考答案

  五、答案

1. (1)m1=0，m2=－； (2) 2；
(3) 2,－1； 　　　　　　(4) k≤且k≠0，k＞。

2. (1) D (2) C (3) B
3. m＜且m≠1
4. k=，x1=x2=5
5. ⊿=〔－2m〕2－4(m－4)(2m+5)=－4m2+12m+80=40
∴ m1=5，m2=－2
6. k=2
7. ∵ 方程有整数根，
∴⊿=9－4a≥0，
∴ a≤。
∴ a是非负整数，
∴ a=0，1，2。
当a=0时，x2+3x=0，
∴ x1=0，x2=－3。
当a=1时，x2+3x+1=0，
∴ x=，不是整数根。
当a=2时，x2+3x+2=0，
∴ x1=－1，x2=－2。
∴ 所求的整数根为0，－1，－2，－3。

一元二次方程的根的判别式