2018年吉林省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．(★) =（　　）

A．iB．C．D．

2．(★)已知集合A={（x，y）|x 2+y 2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（　　）

A．9B．8C．5D．4

3．(★)函数f（x）= 的图象大致为（　　）

A．B．C．D．

4．(★)已知向量 ， 满足| |=1， =-1，则 •（2 ）=（　　）

A．4B．3C．2D．0

5．(★)双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为（　　）

A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x

6．(★★)在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（　　）

A．4B．C．D．2

7．(★★)为计算S=1- + - +…+ - ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（　　）

A．i=i+1B．i=i+2C．i=i+3D．i=i+4

8．(★★)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　　）

A．B．C．D．

9．(★★)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1= ，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为（　　）

A．B．C．D．

10．(★)若f（x）=cosx-sinx在-a，a是减函数，则a的最大值是（　　）

A．B．C．D．π

11．(★★)已知f（x）是定义域为（-∞，+∞）的奇函数，满足f（1-x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（　　）

A．-50B．0C．2D．50

12．(★★)已知F 1，F 2是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为 的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P=120°，则C的离心率为（　　）

A．B．C．D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．(★★)曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x ．

14．(★★★)若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 9 ．

15．(★★)已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）= ．

16．(★★★)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 ，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5 ，则该圆锥的侧面积为 40 π ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求作答。（一)必考题：共60分。

17．(★★★)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a 1=-7，S 3=-15．

（1）求{a n}的通项公式；

（2）求S n，并求S n的最小值．

18．(★★)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．



为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①： =-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②： =99+17.5t．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

19．(★★★★)设抛物线C：y 2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．

（1）求l的方程；

（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

20．(★★★★★)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且二面角M-PA-C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．

21．(★★★★)已知函数f（x）=e x-ax 2．

（1）若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；

（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．(★★★★)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 ，（θ为参数），直线l的参数方程为 ，（t为参数）．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．

[选修4-5：不等式选讲]

23．(★★★)设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．

2018年吉林省高考数学试卷（理科）（全国新课标）