第一章 事件与概率

1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为，记不合格为次，则

(2)记2个白球分别为，，3个黑球分别为，，，4个红球分别为，，，。则{，，，，，，，， }

(ⅰ) {， } (ⅱ) {，，， }

1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生，事件B表示被选学生是三年级学生，事件C表示该生是运动员。

(1) 叙述的意义。

(2)在什么条件下成立？

(3)什么时候关系式是正确的？

(4) 什么时候成立？

解 (1)事件表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2)等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了个零件，以事件表示他生产的第个零件是合格品（）。用表示下列事件：

(1)没有一个零件是不合格品；

(2)至少有一个零件是不合格品；

(3)仅仅只有一个零件是不合格品；

(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1); (2); (3);

(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；

1.4 证明下列各式：

(1);

(2)

(3) ;

(4)

(5)

(6)

证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。

解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数”包含个样本点。于是

。

1.6 有五条线段，长度分别为1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。

解 样本点总数为。所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必须是3、5、7或3、7、9或多或5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一个三角形”包含3个样本点，于是。

1.7 一个小孩用13个字母作组字游戏。如果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？

解 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含个样本点。所以

1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。

解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为

1.9 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。

解 每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是。

1.10 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到10000。问事件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字8”的概率为多大？

解 用表示“牌照号码中有数字8”，显然，所以

-

1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：

(1)该数的平方的末位数字是1；

(2)该数的四次方的末位数字是1；

(3)该数的立方的最后两位数字都是1；

解 (1) 答案为。

(2)当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是1，所以答案为

(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字为，则该数的立方的最后两位数字为1和3的个位数，要使3的个位数是1，必须，因此所包含的样本点只有71这一点，于是

。

1.12 一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6个头两两相接，6个尾也两两相接。求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。

解 (1)6根草的情形。取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为。用表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，于是

(2)根草的情形和(1)类似得

1.13 把个完全相同的球随机地放入个盒子中（即球放入盒子后，只能区别盒子中球的个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有个球的概率为，

(2)恰好有个盒的概率为，

(3)指定的个盒中正好有个球的概率为，

解 略。

1.14 某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过3分钟的概率。

解 所求概率为

1.15 在中任取一点，证明的面积之比大于的概率为。

解 截取，当且仅当点落入之内时的面积之比大于，因此所求概率为。

1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。

解 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等待当且仅当。因此所求概率为

1.17 在线段上任取三点，求：

(1)位于之间的概率。

(2)能构成一个三角形的概率。

解 (1) (2)

1.18 在平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，该三角形的边长为（均小于），求三角形与平行线相交的概率。

解 分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线相合，两条边与平行线相交，显然所求概率为。分别用表示边，二边与平行线相交，则显然， ， 。所以

[]

（用例1.12的结果）

1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。

解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为1的线段内随机投点。则事件“该点命中的中点”的概率等于零，但不是不可能事件。

1.20 甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。

解表示白，表示黑白，表示黑黑白，…，

则样本空间{，，…， }，并且，

，，…，

甲取胜的概率为+++…

乙取胜的概率为+++…

1.21 设事件及的概率分别为、及，求，，，

解 由得

，

1.22 设、为两个随机事件，证明：

(1);

(2).

证明 (1) =

(2) 由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。

1.23 对于任意的随机事件、、，证明：

证明

1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下述百分比：

(1)只订甲报的；

(2)只订甲、乙两报的；

(3)只订一种报纸的；

(4)正好订两种报纸的；

(5)至少订一种报纸的；

(6)不订任何报纸的。

解 事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。

(1) ==30%

(2)

(3)

++=++=73%

(4)

(5)

(6)

1.26 某班有个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？

解 用表示“第张考签没有被抽到”，。要求。

，，……，

，……

所以

1.27 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的概率是多少？

解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。则

，……

所以

1.29 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。

解 用分别表示男孩和女孩。则样本空间为：

其中样本点依年龄大小的性别排列。表示“有女孩”，表示“有男孩”，则

1.30 设件产品中有件是不合格品，从中任取两件，

(1)在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

(2) 在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。

解（1）设表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，表示“所取产品都是不合格品”，则

(2)设表示“所取产品中至少有一件合格品”，表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”。则

1.31个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求：

(1)已知前个人都没摸到，求第个人摸到的概率；

(2)第个人摸到的概率。

解 设表示“第个人摸到”，。

(1)

(2)

1.32 已知一个母鸡生个蛋的概率为，而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为，证明：一个母鸡恰有个下一代（即小鸡）的概率为。

解 用表示“母鸡生个蛋”，表示“母鸡恰有个下一代”，则

1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。

解 用表示“任选一名射手为级”，，表示“任选一名射手能进入决赛”，则

1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？

解 用表示“任取一只产品是甲台机器生产”

表示“任取一只产品是乙台机器生产”

表示“任取一只产品是丙台机器生产”

表示“任取一只产品恰是不合格品”。

则由贝叶斯公式：

1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？

解 则，，，

，，，

由贝时叶斯公式得

1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？

解 用表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”，表示“朋友乘汽车来”，表示“朋友乘飞机来”，表示“朋友迟到了”。

则

1.37 证明：若三个事件、、独立，则、及都与独立。

证明 （1）

=

（2）

（3）=

1.38 试举例说明由不能推出一定成立。

解 设，，，

，，， 则，

但是

1.39 设为个相互独立的事件，且，求下列事件的概率：

(1)个事件全不发生；

(2)个事件中至少发生一件；

(3)个事件中恰好发生一件。

解 (1)

(2)

(3).

1.40 已知事件相互独立且互不相容，求（注：表示中小的一个数）。

解 一方面，另一方面，即中至少有一个等于0，所以

1.41 一个人的血型为型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率

(1)两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；

(2)三个人为型，两个人为型；

(3)没有一人为。

解 (1)从5个人任选2人为型，共有种可能，在其余3人中任选一人为型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为型，共有2种可能，另一人为型，顺此所求概率为：

(2)

(3)

1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。

解 用表示“第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，，表示“击中飞机”。则，。

(1)

(2),

取。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。

1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前已失败了次的概率。

解 用表示“在成功次之前已失败了次”，表示“在前次试验中失败了次”，表示“第次试验成功”

则

1.57 　n 对夫妇任意地排成一列, 求每位丈夫都排在他的妻子后面的概率.

解法1 　排列的总数是(2 n) !. 为了计算有利场合的个数,可以这样考虑. 首先把n 个丈夫进行排列,共有n!种可能. 然后让排在第一的那位丈夫的妻子插入队伍,她显然只有1 种可能的位置,即排在最前面, 接着让排在第二位的丈夫的妻子进入队伍. 现在她的丈夫之前已有两人,因此她有3 种位置可选择. 排在第三位的丈夫的妻子进入队伍有5 种位置可选择,依次下去,最后一位丈夫的妻子有(2 n- 1) 个位置可选择. 因此有利场合总数是n ! ×(1 ·3 ·5 ⋯(2 n - 1) ) = n ! ×(2 n - 1) ! ! ,所以要求的概率是n ! ×(2 n - 1) ! !/ (2 n) ! = 1/ 2n .

解法2 　以Ai 记事件“第i 对夫妇丈夫排在妻子的后面”, 即就是要求( A1A2 ⋯An) . 首先由对称性, P( Ai) = 1/ 2. 因为对每一对夫妇来说,或丈夫在前或妻子在前, 两者是等可能性的. 由对称性还可进一步断定A1 , A2 , ⋯, An 是相互独立的, 因为不可能有任何理由可以断定某对夫妇丈夫与妻子位置的先后会影响别对夫妇丈夫与妻子位置的先后. 所以有

P( A1A2 ⋯An) = P( A1) P( A2) ⋯P( An) = 1/ 2n .

1.58 某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有根火柴（）的概率。

解 用表示“甲盒中尚余根火柴”， 用表示“乙盒中尚余根火柴”，分别表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”，表示取了次火柴，且第次是从甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以

由对称性知，所求概率为：

1.59

概率论答案