第一章 数与代数

第一节 数的认识

一、整 数

1、整数的意义

1、像-2、-1、0、1……这样的数称为整数。

2、整数分为正整数，0，负整数。

3、正整数，0又称为自然数,而且是最小的自然数。

4、整数的个数是无限的，既没有最大的整数，也没有最小的整数。

2、自然数

1、我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1、2、3……叫做自然数。

2、一个物体也没有，用0表示。

3、0也是自然数，而且是最小的自然数，没有最大的自然数。

4、自然数既可以表示事物的多少（即基数），也可以表示事物的次序（即序数）。

3、正数与负数：表示两种相反意义的量。

1、0既不是正数，也不是负数。

2、不管是什么数（整数，分数，小数，百分数）都有正数与负数之分。 3、正数>0>负数

4、计数单位

1、一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。

5、数位

1、计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

2、数位是指各个计数单位所占的位置；每个数位上的数都有相应的计数单位；位数是指一个自然数中含有数位的个数。

6、读法和写法：

1、读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。

2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

7、大于0的整数的大小比较

1、比较两个整数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大；如果位数相同，左起第一位上的数大的那个数就大；左起第一位上的数相同，就比较左起第二位上的数，左起第二位上的数大的那个数就大，以此类推。

2、负数：负号前面的数越大就越小。

8、改写和省略尾数

1、根据需要，有时需将一个较大的数改成用万或亿做单位的数，改写时只要在万位或者亿位右下方点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再写上“万”或者“亿”字，改写的数是原数的准确的数，用“=”连接。

2、有时根据实际需要把一个数某一位后面的尾数省略，求他的近似数。

3、用“四舍五入”法求一个数的近似数，要看所省略的尾数的最高位，如果尾数最高位上的数不满5时，就直接把尾数都舍去；如果尾数最高位上的数大于或等于5时，把尾数舍去后，向他的前一位进一（注：在用“四舍五入”法求一个数的近似数时，也会用到“进一法”和“去尾法”，主要用于解决实际问题）。近似数与原数用“”连接。

9、0的作用。

1、表示占位；表示起点；表示界限。

2、根据读法规则，每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0，都只读一个零；在写数上，要符合“一个零都不读出来”的条件，就要把0放在级尾，六位数中包含万级和个级两个级尾，即要把0放在万级或个级的级尾；要符合“只读一个零”的条件，那么在个级首或个级中间有一个0或连续几个0；要符合“只读两个零”，那么在个级首或个级中间同时出现0。

10、数的整除

1、因数与倍数

1、整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。

2、倍数和约数是相互依存的。

3、一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。

4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。没有最大的倍数。

5、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除。 6、个位上是0或5的数，都能被5整除。

7、一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除。

8、一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

9、能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

10、一个数的末两位数能被4（25）整除，这个数就能被4（25）整除。

11、一个数的末三位数能被8（125）整除，这个数就能被8（125）整除。

2、奇数与偶数。

1、能被2整除的数叫做偶数。

2、不能被2整除的数叫做奇数。

3、自然数中只有奇数与偶数。

4、关系式：

1.偶数±偶数=偶数。 2.奇数±奇数=偶数。 3.奇数±偶数=奇数。4.偶数用代数式2n,2n±2表示。 5.偶数×偶数=偶数。 6.偶数×奇数=偶数。

7.奇数×奇数=奇数。8.奇数用代数2n-1,2n+1表示。

3、质数（素数）与合数

1、按一个数约数的个数，非0自然数可分为1、质数、合数三类。

2、一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。

3、100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

4、一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。

5、1不是质数也不是合数。

6、自然数除了0和1外，不是质数就是合数。

7、如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

8、每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

4、公因数（或叫公约数）和最大公因数（或叫最大公约数）（公因数有最大，公倍数只有最小）

1、几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。

2、公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：

1、1和任何自然数互质。

2、相邻的两个自然数互质。

3、两个不同的质数互质。

4、当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

5、两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质。

6、如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。

7、如果两个数是互质数，它们的最大公约数是1。

5、公倍数和最小公倍数。

1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

2、求最大公约数与最小公倍数一般采用短除法。

注：1、如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。

2、如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数，而1就是这两个数的最大公因数。

3、几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。

6、分解质因数

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数；把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

二、小 数

1、小数的意义。

1、把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。

2、计数单位：一位小数表示十分之几，计数单位就是十分之一；两位小数表示百分之几，计数单位就是百分之一；三位小数表示千分之几，计数单位就是千分之一……

3、构成：一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。

4、读法：读小数时，整数部分仍然按整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分的数按数位顺序依次读出每个数位上的数字，小数点后面的“0”有几个读几个。

5、写法：在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。写小数时，仍然按整数的写法写，整数部分是零的要写“0”，小数点要写在个位右下角，然后依次写出小数部分每一个数位上的数字。

6、整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。

2、小数的性质：小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变

3、小数的分类

1、纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。

2、带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。

3、有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。

4、无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。

5、无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。

6、循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。

7、一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

8、纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。

9、混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。

10、写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。

4、小数点位置移动引起的小数变化：

1、小数点向右移动一位、二位、三位……，原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……。

2、反之小数点向左移动一位、二位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍……。即原来的数就缩小到它的十分之一，百分之一，千分之一……

3、位数不够时，必须添加“0”补足位数

5、互化。

1、小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。

2、分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

3、纯循环小数化为分数：把第一个循环节的数字组成的数作为分子，分母由数字9组成，9的个数等于循环节的个数。

4、混循环小数化为分数：其分子是小数点右边第一个数字到第一个循环节末位的数字所组成的数减去不循环数字所组成的差，分母由数字9和0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于不循环部分的位数。

6、比较小数的大小：

先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……

三、分 数

1、分数的意义。

1、把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。=a÷b=a:b。

2、在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。

2、分数的分类

1、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。

2、假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。

3、带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。

4、假分数与带分数互化：，假分数化带分数，分母不变，用分子除以分母所得的商作为带分数的整数部分，余数作为带分数的分子；带分数化假分数是分母不变，用带分数的整数部分乘以分母所得的积加上分子所得的和作分子。

4、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。

4、约分和通分

1、把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。

2、分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。

3、把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。

5、分数大小的比较：

1、同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。

2、若分子相同，分母大的反而小。

3、异分母的分数相比较，先通分然后再比较。

4、若分子相同，分母大的反而小。

6、倒数。

1、乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数。切记：倒数是两个数互为倒数。

7、分数化成小数。

1、用分母去除分子，即用分子除以分母。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。

2、注：一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。

3、常记的分数化为小数：

=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6

=0.8 =0.125 =0.375 =0.625 =0.875

8、读写法：

1、读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子分母按照整数的读法来读。

2、写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。

9、约分和通分的方法：

1、约分：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。

2、通分：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

10、商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。

11、分数与除法的关系：

1、被除数÷除数=被除数/除数，即a÷b==a:b

2、因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。

3、被除数相当于分子，除数相当于分母。

四、百分数

1、意义。

1、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分率、百分比。

2、百分数通常用"%"来表示。

3、百分号是表示百分数的符号。

2、百分数的单位。

因为百分数的分母是100，所以百分数的分数单位是1%

3、成数与折扣：

1、成数：工农业生产中经常用到“成数”来表示生产的增长情况，几成就是十分子几，也就是百分之几十。

2、折扣：商店有时降价出售商品，叫做折扣销售，通称“打折”。几折就是十分子几，也就是百分之几十。

4、互化：

1、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。

2、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

3、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。

4、百分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

5、读写法：

1、读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。

2、写法：百分数通常不写成分数形式，而是把分数化成小数，乘100后，再在其后面加上百分号“%”来表示。

第二节 数的运算

一、整数的运算。

1、整数加法

1、把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

2、在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。 3、加数是部分数，和是总数。

2、整数减法：

1、已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。

2、在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。

3、被减数是总数，减数和差分别是部分数。

4、加法和减法互为逆运算。

3、整数乘法：

1、求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

2、在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。

3、在乘法里，0和任何数相乘都得0，1和任何数相乘都的任何数。

4、整数除法：

1、已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。

2、在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。

3、乘法和除法互为逆运算。

4、在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。

5、加减法运算法则：

1、相同数位对齐。 2、从个位算起。 3、加法中满几十就向前一位进几。

4、减法中不够减时，就从前一位退一当10。

6、乘法运算法则：

1、从个位乘起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数。

2、用第二个因数哪一位上的数去乘，得数的末位就和哪一位对齐。

3、最后把几次乘得的数加起来。

7、除法运算法则：

从被除数的高位起，除数是几位数，就看被除数的前几位，如果不够除，就要多看一位。除到哪一位就要把商写在那一位的上面。

8、运算总法则：

1、无括号时优先级高的先算（×÷大于+—）。

2、同级运算从左至右依次运算。

3、有括号的先算括号里面的。

二、小数的运算。

1、乘方 求几个相同因数的积的运算叫做乘方。

2、小数运算法则：

1、小数加减法：

1、小数点对齐 2、按整数加减法进行计算

3、得数中的小数点和相加减的数里的小数点对齐

2、小数乘法：

1、按整数乘法的法则求出积

2、看因数中共有几位小数，就从积的最右边数出几位，然后点上小数点，位数不够时用0补上

3、小数除法：

1、除数是整数的小数除法：先按整数除法法则进行计算，再把商的小数点和被除数的小数点对齐。

2、除数是小数的小数除法：先转化成除数是整数的小数除法，在按照除数是整数的小数除法计算。

三、分数的运算：

1、分数乘除法法则：

1、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。分数乘整数与整数乘以整数都表示求几个相同数的和的简便运算。

2、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。分数乘分数与整数乘分数都表示求这个数的几分之几。

3、分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

2、分数的运算法则：

1、分数加减法

1、同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。

2、异分母分数相加减，先通分，再计算。

3、结果能约分的要化成最简分数。

2、分数乘法

1、分数乘分数，用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。

2、有整数的把整数看作是分母为1的假分数。

3、结果能约分的要化成最简分数。

3、分数除法：甲数除以乙数（不为0），等于甲数乘以乙数的倒数。

四、运算定律与性质：

1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。

2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。

3、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。

4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)。

5、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a±b)×c=a×c±b×c

6、减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。

五、应用题的数量关系式

1、总价=单价×数量 总价÷单价=数量 总价÷数量=单价

2、每份数×份数=总数 总数÷每份数=份数

总数÷份数=每份数

3、1倍数×倍数=几倍数 几倍数÷1倍数=倍数

几倍数÷倍数=1倍数

4、速度×时间=路程 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度

5、工效×工时=工量 工量÷工效=工时 工量÷工时=工效 总产量=单产量×数量

6、平均数问题：

（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。（大数－小数）÷2=小数应得数

最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数

最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数

7、相遇问题：

相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间

8、归一问题：单一量×份数=总数量（正归一）

总数量÷单一量=份数（反归一）

9、归总问题：

单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量

单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量

10、和差问题：（和+差）÷2=大数 大数-差=小数

（和-差）÷2=小数 和-小数=大数

11、和倍问题：

和÷倍数和=标准数 标准数×倍数=另一个数

12、差倍问题：

两个数的差÷（倍数-1）=标准数

标准数×倍数=另一个数

13、行程问题：

1、同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

2、同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

3、同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。

4、同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

5、追及距离＝速度差×追及时间

6、追及时间＝追及距离÷速度差

7、速度差＝追及距离÷追及时间

14、流水问题：

顺速=船速+水速-逆速=船速-水速

顺流速度=静水速度+水流速度

逆流速度=静水速度-水流速度

静水速度=(顺流速度+逆流速度)÷2

水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

船行速度=（顺水速度+ 逆流速度）÷2

路程=顺流速度× 顺流航行所需时间

路程=逆流速度×逆流航行所需时间

相遇时间=相距路程÷（甲船顺水速度+乙船逆水速度）=相距路程÷[(甲船船速+水速）+（乙船船速+水速）]=相距路程÷(甲船速度+乙船速度）

15、还原问题：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。

16、植树问题：

如果在非封闭线路的两端都要植树，那么：

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1)

如果在非封闭线路的一端要植树另一端不要植树，那么：

株数＝段数＝全长÷株距

全长＝株距×株数　 　株距＝全长÷株数

如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1

全长＝株距×(株数＋1)　 株距＝全长÷(株数＋1)

封闭线路上的植树问题的数量关系

株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数

株距＝全长÷株数

17、盈亏问题：

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份

(大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

(大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

18、鸡兔问题：

1、假设全是鸡

（总腿数-鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数

兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2

2、假设全是兔

鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2

兔的头数=总头数-鸡的只数

19、发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

20、溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量

溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度

溶液的重量×浓度＝溶质的重量

溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

21、利润与折扣问题：

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%

涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)

利息＝本金×利率×时间

利息税＝利息×税率

税后所得＝本金+利息-利息税

第三节 式与方程

一、用字母表示数。

1、意义和作用：用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时也可以表示运算的结果。

2、写法：

1、数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“·”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。

2、当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。

3、在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。

4、用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。

5、将数值代入式子求值：

1、把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。

2、同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。

二、简易方程：

1、方程：

1、方程：含有未知数的等式叫做方程。

2、注意方程是等式，又含有未知数，两者缺一不可。

3、方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。

2、方程的解：

1、使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

三、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

四、列方程解应用题：

1、列方程解应用题的意义：

1、用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

2、列方程解答应用题的步骤。

1、弄清题意，确定未知数并用x表示。

2、找出题中的数量之间的相等关系。

3、列方程，解方程。

4、检查或验算，写出答案。

3、列方程解应用题的方法：

1、综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。

2、分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。

第四章 常见的量

1、长度：1、长度是一维空间的度量。

2、长度常用单位：公里(km) 米(m) 分米(dm) 厘米(cm) 毫米(mm)

3、单位之间的换算：

1厘米＝10 毫米 1分米＝10 厘米

1米＝1000毫米 1千米＝1000米

1千米=1公里=2里=1000米

2、面积1、面积是物体所占平面的大小。

2、对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。

3、面积常用单位：平方毫米(mm2)平方厘米(cm2) 平方分米(dm2) 平方米(m2)平方千米(km2) 公顷

4、面积单位的换算：

1、1平方厘米=100 平方毫米

2、1平方分米=100平方厘米

3、1平方米=100 平方分米

4、1公顷=10000 平方米

5、1平方千米=100公顷=1000000平方米

3、体积和容积1、体积就是物体所占空间的大小。

2、容积，就是能容纳物体的体积。

3、体积常用单位：立方米(m3) 立方分米(dm3) 立方厘米(cm3)

4、容积常用单位：升(L) 毫升(ml)

5、体积单位换算：1、1立方米=1000立方分米 2、1立方分米=1000立方厘米

6、容积单位换算： 1、1升=1000毫升 2、1升=1立方分米 3、1毫升=1立方厘米

4、质量 1、质量，就是表示表示物体有多重。

2、常用单位 吨(t) 千克(kg) 克(g)

3、换算 1吨=1000千克 1千克=1000克

5、以上总结：

1、高级单位的数化为低级单位的数用进率去乘；

2、低级单位的数化为高级单位的数用进率去除。

6、时间

1、时间是指有起点和终点的一段时间。

2、常用单位： 世纪 年 月 日 时 分 秒

3、单位换算：

1世纪=100年 1天= 24小时 1小时=60分 1分=60秒 1小时=3600秒

平年一年等于365天 闰年（能被4或者400整除的年份）一年等于366天

4、1、3、5、7、8、10、12月是大月，大月有31天

5、4、6、9、11是小月，小月有30天

6、平年2月有28天 闰年2月有29天

7、闰年比平年多一天，是2月29日

7、货币

1、货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。

2、常用单位：元 角 分

3、单位换算：1元=10角 1角=10分

第五章 比和比例

1、比的意义和性质：

1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。

2、“：”是比号，读作“比”。

3、比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

4、比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

5、同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

6、比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

7、比的后项不能是零。

8、根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

9、比的性质：比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

2、求比值和化简比

1、求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

2、根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

3、比例尺

1、一副图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

2、图上距离：实际距离=比例尺。

3、会用已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。

4、比例尺分为两类：数值比例尺和线段比例尺。

5、线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

4、比例的意义和性质

1、表示两个比相等的式子叫做比例。

2、组成比例的四个数，叫做比例的项。

3、两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

4、在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

5、解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

6、正比例和反比例

1、成正比例的量。

1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

2、用字母表示=k（一定）

2、成反比例的量

1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

2、用字母表示x×y=k（一定）

7、按比例分配

1、在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

2、方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

8、比和比例的区别

1、意义：

比：两个数的比表示两个数相除（2项）

比例：表示两个比相等的式子（4项）

2、各部分名称：

比：a : b =（b≠0）

（前项）（比号）（后项）（比值）

比例： a : b = c : d

（外项）（内项） （内项） （外项）

3、组成：

比：比有两个数组成，后项不能为0。一般包含两种情况：1、表示两个同类量的关系。2、两个不同类量的比产生新的量。

比例：比例由四个数组成，四个数都不能为0。

4、基本性质：

比：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

比例：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

9、求比值和化简比的区别

10、比、分数、除法三者的关系

11、正比例与反比例

1、意义

正比例：由两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个量（X,Y）的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

反比例：由两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个量（X,Y）的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

2、不同点：

正比例：1、相对应的两个量的比值（商）一定。

2、=k（一定）

反比例：1、相对应的两个量的积一定。

2、x×y=k(一定)

3、相同点：由两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。

第二章 空间与图形

第一章 图形的认识和测量

1、图形的认识

一、线

1、直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。

2、射线：射线只有一个端点；长度无限。

3、线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。

4、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。

5、垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，相交的点叫做垂足。从直线外一点到这条直线所画的垂线线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

二、角

1、从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角也可以由一条射线绕着它的端点旋转一定角度得到。角的大小与边的长度无关，与两条边张开的角度大小有关。

2、角的分类：1、锐角：小于90°的角叫做锐角。

2、直角：等于90°的角叫做直角。

3、钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。

4、平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。

5、周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。

三、平面图形。

1、长方形：

1、对边相等。 2、4个角都是直角的四边形。

3、有两条对称轴。

2、正方形：

1、四条边都相等。2、四个角都是直角的四边形。

3、有4条对称轴。

3、三角形：

1、由三条线段围成的图形。 2、内角和是180度。

3、三角形具有稳定性。 4、三角形有三条高。

5、分类：

1、按角分：

1、锐角三角形：三个角都是锐角。

2、直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。

3、钝角三角形：有一个角是钝角。

2、按边分：

1、不等边三角形：三条边长度不相等。

2、等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。

3、等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。任意两边之和大于第三边。

4、平行四边形：

1、两组对边分别平行的四边形。

2、相对的边平行且相等。

3、对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。

4、平行四边形容易变形。

5、梯形：

1、只有一组对边平行的四边形。

2、中位线等于上下底和的一半。

3、等腰梯形有一条对称轴。

6、圆：

1、特征

1、平面上的一种曲线图形。

2、圆中心的一点叫做圆心。一般用字母o表示。

3、半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用r表示。

4、在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。

5、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用d表示。

6、同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。

7、同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。

8、圆的大小由半径决定。圆有无数条对称轴。

2、画法：

1、把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（半径）。

2、把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上。

3、把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

3、周长：1、围成圆的曲线的长叫做圆的周长。

2、把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母π表示。

4、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

7、环形：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。

8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

1、正方形有4条对称轴。2、长方形有2条对称轴。

3、等腰三角形有2条对称轴。

4、等边三角形有3条对称轴。

5、等腰梯形有一条对称轴。6、圆有无数条对称轴。

7、菱形有4条对称轴。8、扇形有一条对称轴。

9、长方体：

1、六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。

2、相对的面面积相等。

3、12条棱相对的4条棱长度相等。

4、有8个顶点。

5、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。两个面相交的边叫做棱。

6、三条棱相交的点叫做顶点。

7、把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。

8、长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

10、正方体：

1、六个面都是正方形。

2、六个面的面积相等。

3、有12条棱。棱长都相等。

4、有8个顶点。正方体可以看作特殊的长方体。

11、圆柱：

1、圆柱的上下两个面叫做底面。

2、圆柱有一个曲面叫做侧面。

3、圆柱两个底面之间的距离叫做高。

12、圆锥：

1、圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。

2、从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

3、测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

2、图形的测量

1、正方形

周长 边长×4 C=4a

面积 边长×边长 S=a×a

2、正方体

表面积 棱长×棱长×6 S表=a×a×6

体积 棱长×棱长×棱长 V=a×a×a

3、长方形

周长 （长+宽）×2 C=2(a+b)

面积 长×宽 S=ab

4、长方体

表面积 (长×宽+长×高+宽×高)×2

S=2(ab+ah+bh)

体积 长×宽×高 V=abh

5、三角形

面积 底×高÷2 S=ah÷2

高 面积×2÷底

底 面积×2÷高

6、平行四边形

面积 底×高 S=ah

7、梯形

面积 (上底+下底)×高÷2 S=(a+b)× h÷2

8、圆形

周长 直径×π=2×π×半径 C=πd=2πr

面积 半径×半径×π S=πr2

9、圆柱体

侧面积 底面周长×高 S侧=Ch

表面积 侧面积+底面积×2 Ch+2πr2

体积 底面积×高 πr2h

10、圆锥体

体积 底面积×高÷3 πr2h

第二章 图形的变换

A、图形转换方法

1、平移：是指图形沿指定方向平行移动规定距离。决定平移后图行位置的关键有两个，一是平移的方向二是平移的距离。

2、旋转：是指图形绕某个点按指定方向旋转规定的角度。决定旋转后图形位置的关键有两个，一是旋转的方向二是旋转的角度。

3、轴对称：是指图形沿某一条直线折叠，能与另一个图形重合，这条直线叫做它的对称轴。

B、图形大小方法

按照比例把图形放大与缩小，他只改变图形的大小而不改变图形的形状。把一个图形按指定的比例放大与縮小，首先要看清是按什么样的比例进行变换，然后选起图形中一些关键的线段，按指定的比例放大与缩小，最后连接起来就可以了。

第三章 图形的位置

set 安置 set set1、方向

burn 燃烧 burnt / burned burnt / burned1、基本方向：东南西北。

2、其中东和西相对，南和北相对。

dive 跳水，俯冲 dived / dove dived3、在此基础上又生出东北，东南，西北，西南四个方向。

4、地图上方向：上北下南，左西右东。

bend 使弯曲 bent bent2、位置

1、确定位置的方法：用上下前后左右来确定位置，主要用来确定现实生活中物体的位置。

2、用数对（列，行）来确定位置，主要用来确定平面上物体的位置，刮号里面的列表示纵或列的方向，行表示横或行的方向。

put 放置 put put第三章 统计与可能性

become 变成 became become第一章 统计

become 变成 became become一、统计表。

3. 以n结尾的词，在词后加t。如：mean—meant, burn—burnt, learn—learnt1、意义：把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。

5. 含有双写字母的词，将双写改为单写，在词尾加t。如：keep—kept, sleep—slept, feel—felt, smell—smelt2、组成部分：一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。

3、种类：

hold 拿住 held held1、单式统计表：只含有一个项目的统计表。

2、复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。

3、百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。

4、制作步骤：

1、搜集数据。

2、整理数据：要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。

3、设计草表：要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。

4、正式制表：把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。

二、统计图。

1、意义：用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。

2、分类：

1、条形统计图。

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。

优点：很容易看出各种数量的多少。

注意：

1、画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。

2、取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定。

3、复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。

制作条形统计图的一般步骤:

1、 根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

2、 在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。

3、 在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

4、 按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。

2、折线统计图。

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。

优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。

注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。

制作折线统计图的一般步骤：

1 根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。

2 在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。

3 在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。

4 按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。

三、扇形统计图。

用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。

优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。

制扇形统计图的一般步骤：

1 先算出各部分数量占总量的百分之几。

2 再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。

3 取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。

4 在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。

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