2019年清华大学自主招生数学试题(部分)及其详解

甘志国

【摘 要】2019年清华大学自主招生数学试题共包含35道不定项选择题.文章根据考生回忆只给出了18道题，并给出了其详解.

【期刊名称】《数理化解题研究》

【年(卷),期】2019(000)028

【总页数】5

【关键词】2019年清华大学自主招生数学试题；不定项选择题；回忆版；详解

基金项目：本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(课题编号FT2017GD003，课题负责人：甘志国)阶段性研究成果.

2019年清华大学自主招生数学试题共包含35道不定项选择题.本文中的试题均是由参加考试的学生回忆得出的，因而回忆出的题目可能不准确(没有回忆出选项的题目均改成了填空题)，题目也不全，题号也不准确.解析由笔者给出.

1.若一个四面体的六条棱长分别是6,6,6,6,6,9，则其外接球的半径是____.

2.(1-sin2x)x2dx= .

3.已知点A(0,2),B(0,-1)，若P是单位圆上的动点，则|AP|·|BP|2的最大值是 .

4.若线段AB是⊙O的直径，CO⊥AB,M是线段AC的中点，CH⊥MB于H，则( ).

A.AM=2OH B.AH=2OH

C.△BOH∽△BMA D.AB=BM

5.已知集合A={1,2,3,…,15},B={1,2,3,4,5},f是A到B的映射.若f(x)=f(y)，则称有序数对(x,y)为“好对”.可得“好对”个数的最小值是 .

6.若∀c∈R，∃a,b，使得则称函数f(x)满足性质T.在下列函数中不满足性质T的是( ).

C.f(x)=ex+1 D.f(x)=sin(2x+1)

7.已知向量a,b,c满足若|d-c|=1，则|d|的最大值是 .

8.已知过椭圆右焦点F的直线与该椭圆交于两点A,B，点C在直线x=3上.若△ABC为正三角形，则△ABC的面积为 .

9.已知圆x2+y2=4，在该圆上的点(x0,y0)处的切线与抛物线y2=8x交于两点A,B.若∠AOB=90°(其中O是坐标原点)，则x0= .

10.若a=44444444,b是a的各位数字之和，c是b的各位数字之和，d是c的各位数字之和，则d= .

11.若实数x,y满足x2+(y-2)2≤1，则的最大值与最小值分别是 .

12.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知若P是线段B1C上的动点，则A1P+PB的最小值是 .

13.若数列{an}满足a1=3,an+1=an2-3an+4(n∈N*)，则( )

A.{an}单调递增 B.{an}无上界

C.{an}无下界

14.若正数a,b满足ab(a+8b)=20，则a+3b的最小值是 .

15.若f(x)=|x-1|+|x-3|,g(x)=2ex，则f(x)+g(x)的最小值是 .

16.方程的正整数解的组数是 .

17.已知若则( ).

A.a1a3a4=125 B.a1a2a3a4a5=55

18.若实数x,y满足x3+8y3+6xy-1=0，则x3y的取值范围是 .

参考答案

(1-sin2x)x2dx=2cos2x·x2dx

由分部积分公式，可得

(C是常数).

所以

可设P(cosα,sinα)，由三元均值不等式可得

进而可得当且仅当点P的坐标是时，

4.BC.

5.45.(1)当x=y时，“好对”(x,y)个数是15：x=y=1,2,3,…,15.

(2)当x时，下面证明“好对”(x,y)个数的最小值是15.

设B中的元素i的原像集是Mi，集合Mi的元素个数是xi(i=1,2,3,4,5)，可得x1+x2+x3+x4+x5=15(xi∈N,i=1,2,3,4,5).

可得xi(i=1,2,3,4,5)的最大值最少是3.

(ⅰ)当xi(i=1,2,3,4,5)的最大值是3时，可得xi=3(i=1,2,3,4,5)，此时“好对”(x,y)的个数是

(ⅱ)当xi(i=1,2,3,4,5)的最大值是4时，可不妨设x5=4(得M5中“好对”(x,y)的个数是得x1+x2+x3+x4=11(xi≤4,xi∈N,i=1,2,3,4)，进而可得x1,x2,x3,x4的最大值是3或4.

①若x1,x2,x3,x4的最大值是3，可得x1,x2,x3,x4是一个2三个3，进而可得此时“好对”(x,y)的个数是

②若x1,x2,x3,x4的最大值是4，可不妨设x4=4(得M4中“好对”(x,y)的个数是得x1+x2+x3=7(xi≤4,xi∈N,i=1,2,3)，进而可得x1,x2,x3的最大值是3或4.可得此时“好对”(x,y)的个数

(ⅲ)当xi(i=1,2,3,4,5)的最大值是5时，可不妨设x5=5(得M5中“好对”(x,y)的个数是得x1+x2+x3+x4=10(xi≤5,xi∈N,i=1,2,3,4)，进而可得x1,x2,x3,x4的最大值是3, 4或5.①若x1,x2,x3,x4的最大值是3，可得x1,x2,x3,x4中至少有两个3，进而可得此时“好对”(x,y)的个数②若x1,x2,x3,x4的最大值是4或5，可得此时“好对”(x,y)的个数

(ⅳ)当xi(i=1,2,3,4,5)的最大值大于5时，可得此时“好对”(x,y)的个数

(3)当x>y时，同(2)可得“好对”(x,y)个数的最小值是15.

综上所述，可得所求答案是45.

6.AB.由拉格朗日中值定理可知，可导函数f(x)满足性质T即f(x)的值域是f ′(x)的值域的子集.

(1)当f(x)=x3-3x2+3x时，可得f ′(x)=3(x-1)2，因而f(x)的值域是R，f ′(x)的值域是[0,+∞)，得选项A正确.

(2)当时，易得f(x)的值域是(0,1].还可得可设得

可得是奇函数.当时，g(θ)>0，且由四元均值不等式，可得

当且仅当时，

进而可得f ′(x)的值域是从而可得选项B正确.

(3)当f(x)=ex+1时，可得f ′(x)=f(x)，因而选项C错误.

(4)当f(x)=sin(2x+1)时，易知f(x)的值域是[-1,1].还可得f ′(x)=2cos(2x+1)的值域是[-2,2]，因而选项D错误.

由题设可得因而可如图3所示建立平面直角坐标系xOy：

可得设c=(x,y)，由(c-a)·(c-b)=0，可得

因而可设得

进而可得再由|d-c|=1，可得

因为直线AB过椭圆右焦点F(2,0)，所以可设直线AB:x=my+2.再设A(x1,y1),B(x2,y2).

联立可得(m2+3)y2+4my-2=0.

得这个y的一元二次方程的判别式Δ=24(m2+1)，且

由弦长公式及一元二次方程的求根公式，可得.

还可得线段AB的中点设C(3,y0)，由AB⊥CE，可得

进而可求得

再由△ABC为正三角形，可得所以因而正△ABC的面积为

9.解法1 .可设由∠AOB=90°，可得将直线AB:x0x+y0y=4(x0≠0)与抛物线联立后，可得

这个关于y的一元二次方程的两个根是y1,y2，所以

解法2 .可得直线AB:x0x+y0y=4与x轴的交点是由∠AOB=90°，可得直线AB与x轴的交点是(8,0)，所以

10.7.可得a=44444444<(104)4444=1017776，因而a至多是17776位数，所以a的各位数字之和b≤17776·9=159984；因而b至多是6位数，所以b的各位数字之和c≤1+5·9=46；因而c至多是2位数，所以c的各位数字之和d≤3+9=12.

还可得a=44444444≡(4·4)4444≡74444=7·(73)1481=7·(38·9+1)1481≡7(mod9)

a≡b≡c≡d(mod9),所以d=7.

11.1,2.设

(1)当x=0时，可得1≤y≤3，且

(2)当x>0时，由实数x,y满足x2+(y-2)2≤1及斜率知识，可得的取值范围是因而可设进而可得

从而可得z的取值范围是

(3)当x<0时，由实数x,y满足x2+(y-2)2≤1及斜率知识，可得的取值范围是因而可设进而可得

从而可得z的取值范围是

综上所述，可得的取值范围是即[1,2].

因而的最大值与最小值分别是2,1.

可如图所示建立空间直角坐标系B1-xyz，进而可得还可设得

因为表示x轴上的动点与x轴上方的定点及x轴下方的定点的距离之和.由线段公理可知，当且仅当M是线段DE与x轴的交点即时，

所以A1P+PB的最小值是

13.ABD.由题设，可得a1=3,an+1-an=(an-2)2≥0,an+1≥an(n∈N*)，再由数学归纳法可得an≥3(n∈N*).进而可得an+1-an=(an-2)2≥(3-2)2=1,an+1≥an+1(n∈N*)，所以选项A,B均正确，C错误.

由题设，可得所以得选项D正确.

14.5.由三元均值不等式，可得

进而可得当且仅当(a,b)=(2,1)时，(a+3b)min=5.

15.6.设h(x)=f(x)+g(x)，可得

当x≤1时，可得h(x)=2ex-2x+4,h′(x)=2(ex-1)(x≤1)，进而可得h(x)在(-∞,0),(0,1)上分别是减函数、增函数，所以h(x)min=h(0)=6；当1≤x≤3时，可得h(x)=2ex+2是增函数，所以h(x)min=h(1)=2e+2>6；当x≥3时，可得h(x)=2ex+2x-4是增函数，所以h(x)min=h(3)>6.综上所述，可得答案.

16.12.可得原方程即也即(3x-100)(3y-100)=24·54(3x-100≠3y-100,3x>100,3y>100;x,y∈N*).

当3x-100<3y-100时，可得3x-100是24·54的小于100的正约数即1,2,4,8,16,5,10,20 40,80,25,50.但3x-100是被3除余2的正整数，所以3x-100=2,8,5,20,80,或50，此时可得解的组数是6.

同理可得，当3x-100>3y-100时解的组数也是6.

综上所述，可得答案是12.

17.ABCD.可得zk(k=1,2,3,4,5)是方程z5=1的全部复数根，在复平面上对应的点是单位圆的内接正五边形的顶点Zk(k=1,2,3,4,5)，其中z1对应的顶点是Z1(1,0).

由对称性，可得a1=a2=a3=a4=a5,

①

还可得所以

a1=(z1-z2)(z1-z3)(z1-z4)(z1-z5)

=|z1-z2|2·|z1-z3|2.

②

在△OZ1Z2(O是坐标原点)中，由余弦定理可得

同理，可得所以由②可得a1=22sin236°·22cos218°=26sin218°cos418°=26sin218°(1-sin218°)2,可求得进而可得a1=5.

再由①，可得选项A,B,C,D均正确.

由题设，可得

(x+2y)3-13-6xy(x+2y-1)=0,

(x+2y-1)[(x+2y)2+(x+2y)+1-6xy]=0,

4(x+2y-1)[(2x-2y+1)2+3(2y+1)2]=0,

x=1-2y或2x-2y+1=2y+1=0,

所以x=1-2y或

(1)当x=1-2y时，x3y=(1-2y)3y.

设函数f(y)=(1-2y)3y，可得f ′(y)=(1-8y)(1-2y)2，进而可得f(y)在上分别是增函数、减函数，所以再由可得此时函数f(y)的值域是

(2)当时，

综上所述，可得x3y的取值范围是

参考文献：

[1]2019年清华大学自主招生数学试券.

2019年清华大学自主招生数学试题（部分）及其详解