多元微积分知识点总结

发布时间：2020-10-31 21:57:36

一、多元函数的微分学

　

二元函数的定义

  设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。

    记作：z=f(x,y). 其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域。

  关于二元函数的定义域的问题

  我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。

  如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：

                                          

  例题：求的定义域.

  解答：该函数的定义域为：x≥,y≥0.

二元函数的几何表示

   把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值z；

   当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，

   其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。

二元函数的极限及其连续性

　

   在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。

   在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A，

   那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。

   这种极限通常称为二重极限。

   下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义：

二重极限的定义

   如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足

                        

   的一切(x,y)都使不等式

                         成立，

   那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。

   正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则：

二重极限的运算法则

   如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B.

   那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；

       (2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；

       (3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0

  像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义：

二元函数的连续性

  如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。

  如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。

  关于二元函数间断的问题

  二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。

  二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。

  例题：求下面函数的间断线

  解答：x=0与y=0都是函数的间断线。

偏导数

　

   在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的"变化率"。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。

   在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。

偏导数的定义

   设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数

z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)

                      △xz=f(x0+△x)-f(x0,y0).

   如果△xz与△x之比当△x→0时的极限

                      存在，

   那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。

                      记作：f'x(x0,y0)或

  关于对x的偏导数的问题

   函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数

   同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限

                      存在，

   那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.

                      记作f'y(x0,y0)或

偏导数的求法

   当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，

   我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，

   那末称函数f(x,y)在域D可导。

   此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，

   称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。

   例题：求z=x2siny的偏导数

   解答：把y看作常量对x求导数，得

        把x看作常量对y求导数，得

   注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。

   例题：求的偏导数。

   解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。

        把y和z看成常量对x求导，得.

        把x和z看成常量对y求导，得.

        把x和y看成常量对z求导，得.

高阶偏导数

   如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，

   那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。

   二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.

   注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关。

   例题：求函数的二阶偏导数.

   解答：，，

全微分

　

   我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在我们用类似的思想方法来学习多元函数的的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。

   这里我们以二元函数为例。

全微分的定义

   函数z=f(x,y)的两个偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和

                          f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y

   若该表达式与函数的全增量△z之差，

                          当ρ→0时，是ρ()

   的高阶无穷小，

   那末该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。

                          记作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y

   注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α是当ρ→0时的无穷小)

   注意：在找函数相应的全增量时，为了使△z与偏导数发生关系，我们把由(x0,y0)变到(x0+△x,y0+△y)的过程分为两部：先由点(x0,y0)变到点(x0,y0+△y)，再变到点(x0+△x,y0+△y).其过程如下图所示：

                                 

   例题：求的全微分

   解答：由于，

        所以

关于全微分的问题

   如果偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)连续，那末z=f(x,y)一定可微。

多元复合函数的求导法

　

   在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：

多元复合函数的求导公式

   链导公式：

   设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,

   那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：

                    

   例题：求函数的一阶偏导数

   解答：令

         由于

                    

         而

                    

         由链导公式可得：

                    

                    

         其中

   上述公式可以推广到多元，在此不详述。

   一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。

全导数

   由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.

   这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.

   此时的链导公式为:

                     

   例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求

   解答：由全导数的链导公式得：

                      

         将u=cosx，v=sinx代入上式，得：

                      

   关于全导数的问题

   全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。

多元函数的极值

　

   在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。

二元函数极值的定义

   如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：

                          f(x,y)≤f(x0,y0)

   成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：

                          f(x,y)≥f(x0,y0)

   成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).

   极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.

   二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.

   注意：此条件只是取得极值的必要条件。

   凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。

二元函数极值判定的方法

   设z=f(x,y)在(x0,y0)的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果，那末函数f(x,y)在(x0,y0)取得极值的条件如下表所示：

△=B2-AC

f(x0,y0)

△＜0

A＜0时取极大值

A＞0时取极小值

△＞0

非极值

△=0

不定

   其中

   例题：求的极值。

   解答：设,则

               ，.

               .

       解方程组，得驻点(1,1),(0,0).

       对于驻点(1,1)有,故

               B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0，A=6＞0

       因此，在点(1,1)取得极小值f(1,1)=-1.

       对于驻点(0,0)有,故

               B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0

       因此，在点(0,0)不取得极值.

多元函数的最大、最小值问题

   我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下：

       a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；

       b)：求出驻点；

       c)：结合实际意义判定最大、最小值.

   例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。

  解答：a)：先建立函数关系,确定定义域

            求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方

                  

            最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:

                  ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

          b)：求驻点

                 

             解得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知

                   z=-1

          c)：结合实际意义判定最大、最小值

             由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数

             仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1).

   从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数

                   ，

   在约束条件

                   3x+4y-z=26

   下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。

二、多元函数的积分学

  二重积分的定义

   设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：

     (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；

     (2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；

     (3)把所有这些乘积相加,即作出和数

     (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:

           即：=

   其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.

   关于二重积分的问题

   对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。

   上述就是二重积分的几何意义。

   如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。

二重积分的性质

   (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.

              

   (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.

              

   (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:

              

   (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:

               ≤

   (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使

              

       其中σ是区域(σ)的面积.

二重积分的计算法

直角坐标系中的计算方法

   这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下：

               

           或  

   在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？

   累次积分上下限的确定方法

   我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:

                                 

   关于累次积分上下限的取法如下所述:

   (1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.

   (2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.

   (3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。

   (4).如果(σ)既不是沿y轴方向的正规区域,也不是沿x轴方向的正规区域,那末总可以把它化分成几块沿y轴方向的正规区域或沿x轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分.

   例题：求二重积分，其中(σ)是由所围成的区域。

   解答：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。这里我们采用前者

         先对y后对x积分：

                 

极坐标系中的计算法

   如果二重积分的被积函数和积分区域(σ)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式.

   如果极点O在(σ)的外部,区域(σ)用不等式表示为R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,则积分公式如下:

                 

   如果极点O在(σ)的内部,区域(σ)的边界方程为ρ=R(θ),0≤θ≤2π,则积分公式如下:

                 

   如果极点O在(σ)的边界上,边界方程为ρ=R(θ),θ1≤θ≤θ2,则积分公式如下:

                 

   有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。

   注：直角坐标与极坐标的转换公式为：

                  

   例题：求，其中(σ)是圆环a2≤x2+y2≤b2

   解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。

         把，dσ=ρdρdθ代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下：

                  

         在对其进行累次积分计算：

                  

三重积分及其计算法

　

p

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   二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。

三重积分的概念

   设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n个子域(△V1),(△V2),(△V3),…,(△Vn),它们的体积分别记作△Vk(k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点，并作和数

                            

   如果不论△Vk怎样划分，点怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数在域(V)上的三重积分,记作：

                            

   即：

                            

   如果f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。

   对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。

直角坐标系中三重积分的计算方法

   这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。

   直角坐标系中三重积分的计算公式为：

                            

   此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。

   例题：求，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域.

   解答：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把(V)投影到xOy平面上,求出投影域(σ),它就是

         平面x+y+z=1与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域.

         我们为了确定出对z积分限,在(σ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z的直线,它与(V)上下边界的交

         点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：

                            

         其中(σ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示：

                            

         再把(σ)域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：

                           

柱面坐标系中三重积分的计算法

   我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。

   平面上点P可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点P可用数组(ρ,θ,z)来表示.显然，空间的点P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：

                           

   构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：

           ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族，

           θ=常数：通过z轴的半平面族，

           z =常数：与z轴垂直的平面族.

   因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。

   柱面坐标系下三重积分的计算公式为：

                

三 曲线积分与曲面积分

§3.1 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量

设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为 (x y) 求曲线形构件的质量

把曲线分成n小段 s1 s2 sn( si也表示弧长)

任取( i i) si 得第i小段质量的近似值 ( i i) si

整个物质曲线的质量近似为

令 max{ s1 s2 sn} 0 则整个物质曲线的质量为

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到

定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 在L上任意插入一点列M1 M2 Mn 1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为 si 又( i i)为第i个小段上任意取定的一点 作乘积f( i i) si (i 1 2 n ) 并作和 如果当各小弧段的长度的最大值 0 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分 记作 即

其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上 并且有界

将L任意分成n个弧段 s1 s2 sn 并用 si表示第i段的弧长

在每一弧段 si上任取一点( i i) 作和

令 max{ s1 s2 sn} 如果当 0时 这和的极限总存在 则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的

曲线积分或第一类曲线积分 记作 即

其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

曲线积分的存在性 当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上是连续的

根据对弧长的曲线积分的定义 曲线形构件的质量就是曲线积分的值 其中 (x y)为线密度

对弧长的曲线积分的推广

如果L(或 )是分段光滑的 则规定函数在L(或 )上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定

闭曲线积分 如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

对弧长的曲线积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则

性质3设在L上f(x y) g(x y) 则

特别地 有

二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为

另一方面 若曲线L的参数方程为

x (t) y (t) ( t )

则质量元素为

曲线的质量为

即

定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为

x (t) y (t) ( t )

其中 (t)、 (t)在[ ]上具有一阶连续导数 且 2(t) 2(t) 0 则曲线积分存在 且

( < )

证明（略）

应注意的问题 定积分的下限 一定要小于上限

讨论

(1)若曲线L的方程为y (x)(a x b) 则 ?

提示 L的参数方程为x x y (x)(a x b)

(2)若曲线L的方程为x (y)(c y d) 则 ?

提示 L的参数方程为x (y) y y(c y d)

(3)若曲 的方程为x (t) y (t) z (t)( t )

则 ?

提示

例1 计算 其中L是抛物线y x2上点O(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧

解 曲线的方程为y x2 (0 x 1) 因此

例2 计算半径为R、中心角为2 的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为 1)

解 取坐标系如图所示 则

曲线L的参数方程为

x Rcos y Rsin ( < )

于是

R3( sin cos )

例3 计算曲线积分 其中 为螺旋线x acost、y asint、z kt上相应于t从0到达2 的一段弧

解 在曲线 上有x2 y2 z2 (a cos t)2 (a sin t)2 (k t)2 a2 k 2t 2 并且

于是

小结 用曲线积分解决问题的步骤

(1)建立曲线积分

(2)写出曲线的参数方程 ( 或直角坐标方程) 确定参数的变化范围

(3)将曲线积分化为定积分

(4)计算定积分

§3 2 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功

设一个质点在xOy面内在变力F(x y) P(x y)i Q(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 试求变力F(x y)所作的功

用曲线L上的点A A0 A1 A2 An 1 An B把L分成n个小弧段

设Ak (xk yk) 有向线段的长度为 sk 它与x轴的夹角为 k 则

(k 0 1 2 n 1)

显然 变力F(x y)沿有向小弧段所作的功可以近似为

于是 变力F(x y)所作的功

从而

这里 (x y) {cos sin }是曲线L在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量

把L分成n个小弧段 L1 L2 Ln

变力在Li上所作的功近似为

F( i i) si P( i i) xi Q( i i) yi

变力在L上所作的功近似为

变力在L上所作的功的精确值

其中 是各小弧段长度的最大值

提示

用 si { xi yi}表示从Li的起点到其终点的的向量 用 si表示 si的模

对坐标的曲线积分的定义

定义 设函数f(x y)在有向光滑曲线L上有界 把L分成n个有向小弧段L1 L2 Ln 小弧段Li的起点为(xi 1 yi 1) 终点为(xi yi) xi xi xi 1 yi yi yi 1 ( i )为Li上任意一点 为各小弧段长度的最大值

如果极限总存在 则称此极限为函数

f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作 即

如果极限总存在 则称此极限为函数

f(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作 即

设L为xOy面上一条光滑有向曲线 {cos sin }是与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y)、Q(x y)在L上有定义 如果下列二式右端的积分存在 我们就定义

前者称为函数P(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 后者称为函数Q(x y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

定义的推广

设 为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos }是曲线在点(x y z)处的与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在 上有定义 我们定义(假如各式右端的积分存在)

对坐标的曲线积分的简写形式

对坐标的曲线积分的性质

(1) 如果把L分成L1和L2 则

(2) 设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧 则

两类曲线积分之间的关系

设{cos i sin i}为与 si同向的单位向量 我们注意到{ xi yi} si 所以

xi cos i si yi sin i si

即

或

其中A {P Q} t {cos sin }为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 dr tds {dx dy}

类似地有

或

其中A {P Q R} T {cos cos cos }为有向曲线弧 上点(x y z)处单们切向量 dr Tds {dx dy dz } A t为向量A在向量t上的投影

二、对坐标的曲线积分的计算

定理 设P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线

L x (t) y (t)

上的连续函数 当参数t单调地由 变到 时 点M(x y)从L的起点A沿L运动到终点B 则

讨论 ？

提示

定理 若P(x y)是定义在光滑有向曲线

L x (t) y (t)( t )

上的连续函数 L的方向与t的增加方向一致 则

简要证明 不妨设 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{ (t) (t)}

所以

从而

应注意的问题

下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于

讨论

若空间曲线 由参数方程

x t) y = (t) z (t)

给出 那么曲线积分

？

如何计算

提示

其中 对应于 的起点 对应于 的终点

例题

例1 计算 其中L为抛物线y2 x上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧

解法一 以x为参数 L分为AO和OB两部分

AO的方程为 x从1变到0 OB 的方程为 x从0变到1

因此

第二种方法 以y为积分变量 L的方程为x y2 y从 1变到1 因此

例2 计算

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2

(2)从点A(a 0)沿x轴到点B( a 0)的直线段

解 (1)L 的参数方程为

x a cos y a sin

从0变到

因此

(2)L的方程为y 0 x从a变到 a

因此

例3 计算 (1)抛物线y x2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (2)抛物线x y2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧 (3)从O(0 0)到A(1 0) 再到R (1 1)的有向折线OAB

解 (1)L y x2 x从0变到1 所以

(2)L x y2 y从0变到1 所以

(3)OA y 0 x从0变到1 AB x 1 y从0变到1

0 1 1

例4 计算 其中 是从点A(3 2 1)到点B(0 0 0)的直线段

解 直线AB的参数方程为

x 3t y 2t x t

t从1变到0 所以

所以

例5 设一个质点在M(x y)处受到力F的作用 F的大小与M到原点O的距离成正比 F的方向恒指向原点 此质点由点A(a 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0 b) 求力F所作的功W

例5 一个质点在力F的作用下从点A(a 0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0 b) F的大小与质点到原点的距离成正比 方向恒指向原点 求力F所作的功W

解 椭圆的参数方程为x acost y bsint t从0变到

其中k>0是比例常数

于是

三、两类曲线积分之间的联系

由定义 得

其中F {P Q} T {cos sin }为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 dr Tds {dx dy}

类似地有

其中F {P Q R} T {cos cos cos }为有向曲线弧 上点(x y z)处单们切向量 dr Tds {dx dy dz }

§3 3 格林公式及其应用

一、格林公式

单连通与复连通区域

设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D 则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域

对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正向如下 当观察者沿L的这个方向行走时 D内在他近处的那一部分总在他的左边

区域D的边界曲线的方向

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有

其中L是D的取正向的边界曲线

简要证明

仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明

设D {(x y)| 1(x) y 2(x) a x b} 因为连续 所以由二重积分的计算法有

另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

因此

设D {(x y)| 1(y) x 2(y) c y d} 类似地可证

由于D即是X－型的又是Y－型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得

应注意的问题

对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向

设区域D的边界曲线为L 取P y Q x 则由格林公式得

或

例1 椭圆x a cos y b sin 所围成图形的面积A

分析 只要 就有

解 设D是由椭圆xacos ybsin 所围成的区域

令 则

于是由格林公式

ab

例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明

证 令P 2xy Q x2 则

因此 由格林公式有 (为什么二重积分前有“ ”号？ )

例3 计算 其中D是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域

分析 要使 只需P 0

解 令P 0 则 因此 由格林公式有

例4 计算 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向

解 令 则当x2 y2 0时 有

记L 所围成的闭区域为D 当(0 0) D时 由格林公式得

当(0 0) D时 在D内取一圆周l x2 y2 r 2(r>0) 由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得

其中l的方向取逆时针方向

于是 2

解 记L 所围成的闭区域为D

当(0 0) D时 由格林公式得

当(0 0) D时 在D内取一圆周l x2 y2 r2(r 0) 由L及l围成了一个复连通区域D1 应用格林公式得

即

其中l的方向取顺时针方向

于是 2

分析 这里 当x2 y2 0时 有

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

曲线积分与路径无关

设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L 1、L 2 等式

恒成立 就说曲线积分在G内与路径无关 否则说与路径有关

设曲线积分在G内与路径无关 L 1和L 2是G内任意两条从点A到点B的曲线 则有

因为

所以有以下结论

曲线积分在G内与路径无关相当于沿G内任意

闭曲线C的曲线积分等于零

定理2 设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式

在G内恒成立

充分性易证

若 则 由格林公式 对任意闭曲线L

有

必要性

假设存在一点M0 G 使 不妨设 >0

则由的连续性 存在M0的一个 邻域U(M0, )

使在此邻域内有 于是沿邻域U(M0, )边界l 的闭曲线积分

这与闭曲线积分为零相矛盾 因此在G内

应注意的问题

定理要求 区域G是单连通区域 且函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立

破坏函数P、Q及、连续性的点称为奇点

例5 计算 其中L为抛物线y x2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧

解 因为在整个xOy面内都成立

所以在整个xOy面内 积分与路径无关

讨论 设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问是否一定成立？

提示

这里和在点(0 0)不连续

因为当x2 y2 0时 所以如果(0 0)不在L所围成的区域内 则结论成立 而当(0 0)在L所围成的区域内时 结论未必成立

三、二元函数的全微分求积

曲线积分在G内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点(x0 y0)与终点(x y)有关

如果与路径无关 则把它记为

即

若起点(x0 y0)为G内的一定点 终点(x y)为G内的动点 则

u(x y)

为G内的的函数

二元函数u(x y)的全微分为du(x y) ux(x y)dx uy(x y)dy

表达式P(x y)dxQ(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分

那么在什么条件下表达式P(x y)dxQ(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？

定理3 设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dx Q(x y)dy 在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式

在G内恒成立

简要证明

必要性 假设存在某一函数u(x y) 使得

du P(x y)dx Q(x y)dy

则有

因为、连续 所以

即

充分性

因为在G内 所以积分

在G内与路径无关 在G内从点(x0 y0)到点(x y)的曲线积分可表示为

考虑函数u(x y)

因为 u(x y)

所以

类似地有 从而du P(x y)dx Q(x y)dy 即P(x y)dx Q(x y)dy是某一函数的全微分

求原函数的公式

例6 验证 在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数

解 这里

因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有

所以在右半平面内 是某个函数的全微分

取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线 则所求函数为

问 为什么(x0 y0)不取(0 0)?

例6 验证 在整个xOy面内 xy2dx x2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数

解 这里P xy2 Q x2y

因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有

所以在整个xOy面内 xy2dx x2ydy是某个函数的全微分

取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为

思考与练习

1 在单连通区域G内 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有 那么

(1)在G内的曲线积分是否与路径无关?

(2)在G内的闭曲线积分是否为零?

(3) 在G内P(x y)dx Q(x y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?

2 在区域G内除M0点外 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有 G1是G内不含M0的单连通区域 那么

(1)在G 1内的曲线积分是否与路径无关?

(2)在G 1内的闭曲线积分是否为零?

(3) 在G 1内P(x y)dx Q(x y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?

3 在单连通区域G内 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏

导数 但非常简单 那么

(1)如何计算G内的闭曲线积分?

(2)如何计算G内的非闭曲线积分?

(3)计算 其中L为逆时针方向的

上半圆周(x a)2 y2 a 2 y 0

§3 4 对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质

物质曲面的质量问题

设 为面密度非均匀的物质曲面 其面密度为 (x y z) 求其质量

把曲面分成n个小块 S1 S2 Sn ( Si也代表曲面的面积)

求质量的近似值 (( i i i )是 Si上任意一点)

取极限求精确值 ( 为各小块曲面直径的最大值)

定义 设曲面 是光滑的 函数f(x y z)在 上有界 把 任意分成n小块 S1 S2 Sn ( Si也代表曲面的面积) 在 Si上任取一点( i i i ) 如果当各小块曲面的直径的最大值 0时 极限总存在 则称此极限为函数f(x y z)在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分 记作 即

其中f(x y z)叫做被积函数 叫做积分曲面

对面积的曲面积分的存在性

我们指出当f(x y z)在光滑曲面 上连续时对面积的曲面积分是存在的 今

后总假定f(x y z)在 上连续

根据上述定义面密度为连续函数 (x y z)的光滑曲面 的质量M可表示为 (x y z)在 上对面积的曲面积分

如果 是分片光滑的我们规定函数在 上对面积的曲面积分等于函数在光滑的

各片曲面上对面积的曲面积分之和 例如设 可分成两片光滑曲面 1及 2(记作 1 2)就规定

对面积的曲面积分的性质

(1)设c 1、c 2为常数 则

(2)若曲面 可分成两片光滑曲面 1及 2 则

(3)设在曲面 上f(x y z) g(x y z) 则

(4) 其中A为曲面 的面积

二、对面积的曲面积分的计算

面密度为f(x y z)的物质曲面的质量为

另一方面 如果 由方程z z(x y)给出 在xOy面上的投影区域为D 那么

曲面的面积元素为

质量元素为

根据元素法 曲面的质量为

因此

化曲面积分为二重积分 设曲面 由方程z z(x y)给出 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数z z(x y)在Dxy上具有连续偏导数 被积函数f(x y z)在 上连续 则

如果积分曲面 的方程为y y(z x) Dzx为 在zOx面上的投影区域 则函数f(x y z)在 上对面积的曲面积分为

如果积分曲面 的方程为x x(y z) Dyz为 在yOz面上的投影区域 则函数f(x y z)在 上对面积的曲面积分为

例1 计算曲面积分 其中 是球面x2 y2 z2 a2被平面

z h(0 h a)截出的顶部

解 的方程为 Dxy x2 y2 a2 h2

因为

所以

提示

例2 计算 其中 是由平面x 0 y 0 z 0及x y z 1所围成的四面体的整个边界曲面

解 整个边界曲面 在平面x 0、y 0、z 0及x y z 1上的部分依次记为 1、 2、 3及 4 于是

提示 4 z 1 x y

§3 5 对坐标的曲面积分

一、对坐标的曲面积分的概念与性质

有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的 例如由方程z z(x y) 表示的曲面分为上侧与下侧 设n (cos cos cos )为曲面上的法向量 在曲面的上侧cos 0 在曲面的下侧cos 0 闭曲面有内侧与外侧之分

类似地 如果曲面的方程为y y(z x) 则曲面分为左侧与右侧 在曲面的右侧cos 0 在曲面的左侧cos 0 如果曲面的方程为x x(y z) 则曲面分为前侧与后侧 在曲面的前侧cos 0 在曲面的后侧cos 0

设 是有向曲面 在 上取一小块曲面 S 把 S投影到xOy面上得一投影区域 这投影区域的面积记为( )xy 假定 S上各点处的法向量与z轴的夹角 的余弦cos 有相同的符号(即cos 都是正的或都是负的) 我们规定 S在xOy面上的投影( S)xy为

其中cos 0也就是( )xy 0的情形 类似地可以定义 S在yOz面及在zOx面上的投影( S)yz及( S)zx

流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由

v(x y z) (P(x y z) Q(x y z) R(x y z))

给出 是速度场中的一片有向曲面 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)都在 上连续 求在单位时间内流向 指定侧的流体的质量 即流量

如果流体流过平面上面积为A的一个闭区域 且流体在这闭区域上各点处的流速为(常向量)v 又设n为该平面的单位法向量 那么在单位时间内流过这闭区域的流体组成一个底面积为A、斜高为|v|的斜柱体

当(v ^n)时 这斜柱体的体积为

A|v|cos A v n

当(v ^n)时 显然流体通过闭区域A的流向n所指一侧的流量 为零 而Av n 0, 故 Av n

当(v ^n)时 Av n 0 这时我们仍把Av n称为流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量 它表示流体通过闭区域A实际上流向 n所指一侧 且流向 n所指一侧的流量为 Av n 因此 不论(v ^n)为何值 流体通过闭区域A流向n所指一侧的流量均为Av n

把曲面 分成n小块 S1 S2 Sn( Si同时也代表第i小块曲面的面积) 在 是光滑的和v是连续的前提下 只要 Si的直径很小 我们就可以用 Si上任一点( i, i, i )处的流速

vi v( i, i, i ) P( i, i, i )i Q( i, i, i )j R( i, i, i )k

代替 Si上其它各点处的流速 以该点( i, i, i )处曲面 的单位法向量

ni cos i i cos i j cos i k

代替 Si上其它各点处的单位法向量 从而得到通过 Si流向指定侧的流量的近似值为

vi ni S i (i 1, 2, ,n)

于是 通过 流向指定侧的流量

但 cos i Si ( Si)yz cos i Si ( Si)zx cos i Si ( Si)xy

因此上式可以写成

令 0取上述和的极限 就得到流量 的精确值 这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念

提示 把 Si看成是一小块平面 其法线向量为ni 则通过 Si流向指定侧的流量近似地等于一个斜柱体的体积

此斜柱体的斜高为|vi| 高为|vi|cos(vi ^ni) vi ni 体积为vi ni Si

因为 ni cos i i cos i j cos i k

vi v( i, i, i ) P( i, i, i )i Q( i, i, i )j R( i, i, i )k

vi ni Si [P( i, i, i)cos i Q( i, i, i)cos i R( i, i, i)cos i] Si

而 cos i Si ( Si)yz cos i Si ( Si)zx cos i Si ( Si)xy

所以 vi ni Si P( i, i, i)( Si)yz Q( i, i, i)( Si)zx R( i, i, i)( Si)xy

对于 上的一个小块 显然在 t时间内流过 的是一个弯曲的柱体 它的体积近似于以 为底 而高为

(|V| t)cos(V ^n) V n t

的柱体的体积 V n t S 这里n (cos cos cos )是 上的单位法向量 S表示 的面积 所以单位时间内流向 指定侧的流体的质量近似于

V n S (P(x y z)cos Q(x y z)cos R(x y z)cos ) S

如果把曲面 分成n小块 i(i 1 2 · · · n) 单位时间内流向 指定侧的流体的质量近似于

按对面积的曲面积分的定义

舍去流体这个具体的物理内容 我们就抽象出如下对坐标的曲面积分的概念

定义 设 为光滑的有向曲面 函数R(x y z)在 上有界 把 任意分成n块小曲面 Si( Si同时也代表第i小块曲面的面积) 在xOy面上的投影为( Si)xy ( i, i, i )是 Si上任意取定的一点 如果当各小块曲面的直径的最大值 0时

总存在 则称此极限为函数R(x y z)在有向曲面 上对坐标x、y的曲面积分: 记作

即

类似地有

其中R(x y z)叫做被积函数 叫做积分曲面

定义 设 是空间内一个光滑的曲面 n (cos cos cos )是其上的单位法向量 V(x y z) (P(x y z) Q(x y z) R(x y z))是确在 上的向量场 如果下列各式右端的积分存在 我们定义

并称为P在曲面 上对坐标y、z的曲面积分 为Q在曲面 上对坐标z、x的曲面积分 为R在曲面 上对坐标y、z的曲面积分 其中P、Q、R叫做被积函数 叫做积分曲面

以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分

对坐标的曲面积分的存在性

对坐标的曲面积分的简记形式

在应用上出现较多的是

流向 指定侧的流量 可表示为

一个规定 如果是分片光滑的有向曲面 我们规定函数在 上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和

对坐标的曲面积分的性质

对坐标的曲面积分具有与对坐标的曲线积分类似的一些性质 例如

(1)如果把 分成 1和 2 则

(2)设 是有向曲面 表示与 取相反侧的有向曲面 则

这是因为如果n (cos cos cos )是 的单位法向量 则 上的单位法向量是

n ( cos cos cos )

二、对坐标的曲面积分的计算法

将曲面积分化为二重积分 设积分曲面 由方程z z(x y)给出的 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数z z(x y)在Dxy上具有一阶连续偏导数 被积函数R(x y z)在 上连续 则有

其中当 取上侧时 积分前取“ ” 当 取下侧时 积分前取“ ”

这是因为 按对坐标的曲面积分的定义 有

当 取上侧时 cos 0 所以( Si)xy ( i)xy

又因( i, i, i)是 上的一点 故 i z( i, i) 从而有

令 0取上式两端的极限 就得到

同理当 取下侧时 有

因为当 取上侧时 cos 0 ( Si)xy ( i)xy 当( i, i, i) 时 i z( i, i) 从而有

同理当 取下侧时 有

这是因为n (cos cos cos )

类似地 如果 由x x(y z)给出 则有

如果 由y y(z x)给出 则有

应注意的问题 应注意符号的确定

例1 计算曲面积分 其中 是长方体 的整个表面的外侧 ((x y z) |0 x a 0 y b 0 z c )

解 把 的上下面分别记为 1和 2 前后面分别记为 3和 4 左右面分别记为 5和 6

1 z c (0 x a 0 y b)的上侧

2 z 0 (0 x a 0 y b)的下侧

3 x a (0 y b 0 z c)的前侧

4 x 0 (0 y b 0 z c)的后侧

5 y 0 (0 x a 0 z c)的左侧

6 y b (0 x a 0 z c)的右侧

除 3、 4外 其余四片曲面在yO z 面上的投影为零 因此

a2bc

类似地可得

于是所求曲面积分为(a b c)abc

例2 计算曲面积分 其中 是球面x2 y2 z2 1外侧在x 0 y 0的部分

解 把有向曲面 分成以下两部分

(x 0 y 0)的上侧

(x 0 y 0)的下侧

1和 2在xOy面上的投影区域都是Dxy x2 y2 1(x 0 y 0)

于是

三、两类曲面积分之间的联系

设积分曲面 由方程z z(x y)给出的 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数z z(x y)在Dxy上具有一阶连续偏导数 被积函数R(x y z)在 上连续

如果 取上侧 则有

另一方面 因上述有向曲面 的法向量的方向余弦为

故由对面积的曲面积分计算公式有

由此可见 有

如果 取下侧 则有

但这时 因此仍有

类似地可推得

综合起来有

其中cos 、cos 、cos 是有向曲面 上点(x y z)处的法向量的方向余弦

两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式

或

其中A (P Q R) n (cos cos cos )是有向曲面 上点(x y z)处的单位法向量

dS ndS (dydz dzdx dxdy) 称为有向曲面元 An为向量A在向量n上的投影

例3 计算曲面积分 其中 是

曲面介于平面z 0及z 2之间的部分的下侧

解 由两类曲面积分之间的关系 可得

在曲面 上

提示 曲面上向下的法向量为(x y 1) )

故

8

解 由两类曲面积分之间的关系 可得

8

提示

§3 6 高斯公式 通量与散度

一、高斯公式

定理1设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成 函数P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在 上具有一阶连续偏导数 则有

或

简要证明 设 是一柱体 上边界曲面为 1 z z2(x, y) 下边界曲面为 2 z z1(x, y) 侧面为柱面 3 1取下侧 2取上侧 3取外侧

根据三重积分的计算法 有

另一方面 有

以上三式相加 得

所以

类似地有

把以上三式两端分别相加 即得高斯公式

例1 利用高斯公式计算曲面积分 其中 为柱面x2 y2 1及平面z 0 z 3所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧

解 这里P (y z)x Q 0 R x y

由高斯公式 有

例2 计算曲面积分 其中 为锥面x2 y2 z2介于平面z 0及z h (h>0)之间的部分的下侧 cos 、cos 、cos 是 上点(x, y, z)处的法向量的方向余弦

解 设 1为z h(x2 y2 h 2)的上侧 则 与 1一起构成一个闭曲面 记它们围成的空间闭区域为 由高斯公式得

提示

而

因此

提示 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性

例3 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域 上具有一阶及二阶连续偏导数 证明

其中 是闭区域 的整个边界曲面 为函数v(x, y, z)沿 的外法线方向的方向导数 符号 称为拉普拉斯算子 这个公式叫做格林第一公式

证 因为方向导数

其中cos 、cos 、cos 是 在点(x y z)处的外法线向量的方向余弦 于是曲面积分

利用高斯公式 即得

将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式

二、通量与散度

高斯公式的物理意义

将高斯公式

改写成

其中vn v n Pcos Qcos Rcos n {cos cos cos }是 在点(x y z)处的单位法向量

公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域 的流体的总质量 左端可解释为分布在 内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量

散度

设 的体积为V 由高斯公式得

其左端表示 内源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值

由积分中值定理得

令 缩向一点M(x y z)得

上式左端称为v在点M的散度 记为divv 即

其左端表示单位时间单位体积分内所产生的流体质量

一般地 设某向量场由

A(x y z) P(x y z)i Q(x y z)j R(x y z)k

给出 其中P Q R具有一阶连续偏导数 是场内的一片有向曲面 n是 上点(x y z)处的单位法向量 则叫做向量场A通过曲面 向着指定侧的通量(或流量) 而叫做向量场A的散度 记作div A 即

高斯公式的另一形式

或

其中 是空间闭区域 的边界曲面 而

An A n Pcos Qcos Rcos

是向量A在曲面 的外侧法向量上的投影

四、无穷级数

 无穷级数的概念

  设已给数列a1,a2,…,an,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+an+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+an+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，an称为级数的通项.

  取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，Sn=a1+a2+…+an，… 这个数列的通项Sn=a1+a2+…+an称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。

  如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。

  例题：证明级数：的和是1.

  证明：

        当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.

级数的性质



  1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项an当n→∞时趋于零，即：

  注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。

  例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。

        此级数为调和级数，在此我们不加以证明。

  2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。

  3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。

  4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。

  注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。

  5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。

正项级数的收敛问题

　

 判定正项级数敛散性的基本定理

  定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和Sn上有界.如果Sn上无界，级数发散于正无穷大。

  例如：p级数：，当p>1时收敛，当p≤1时发散。

  注意：在此我们不作证明。

正项级数的审敛准则

  准则一：设有两个正项级数及，而且an≤bn(n=1,2,…）.如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散.

  例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数是收敛的

  准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。

  关于此准则的补充问题

  如果，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时，也发散.

  例如：是收敛的.因为，而是收敛的.

  注意：以上这两个准则来判定一个已知级数的敛散性，都需要另选一个收敛或发散的级数，以资比较.下面我们来学习两个只依赖于已知级数本身的审敛准则.

  准则三：设有正项级数.如果极限存在，那末当λ＜1时级数收敛，λ＞1时级数收敛.

  注意：此准则就是达朗贝尔准则.这种判定方法称为检比法.

  例如：级数是收敛的，因为当n→∞时，.

  准则四(柯西准则)：如果极限存在，那末当λ＜1级数收敛，λ＞1级数发散.

  例如：级数是发散的，因为当n→∞时，

一般常数项级数的审敛准则

　

  当级数中的正数项与负数项均为无穷多时，就称级数为一般常数项级数.

绝对收敛与条件收敛

   设有一般常数项级数

                            

   取各项的绝对值所构成的级数

                            

   称为对应于原级数的绝对值级数.

  绝对收敛的准则：如果对应的绝对值级数收敛，那末原级数也收敛.

  注意：此时称为绝对收敛，

       如果级数发散而级数收敛，

       则称为条件收敛。

  关于绝对收敛与条件收敛的问题

   一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的；

   一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。

  例题：证明：当λ>1时，级数为一绝对收敛级数.

  证明：因为≤而当λ>1时收敛，故级数收敛，从而级数绝对收敛.

交错级数与它的审敛准则

  交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数，它是一般常数项级数的一种特殊级数.

  交错级数可以写成：

  交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)：

  如果且，那末级数收敛.

  例如：交错级数是收敛的，因为它满足莱布尼兹准则的两个条件：及

函数项级数、幂级数

　

  在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到不是常数项的级数，而是函数项的级数.而常数项级数是研究函数项级数的基础。

函数项级数的概念

  设有函数序列，，其中每一个函数都在同一个区间I上有定义，那末表达式称为定义在I上的函数项级数。

  下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数：

                       

  它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中cn(n=0,1,2,…)均为常数.

  显然，当上面级数中的变量x取定了某一个值x0时，它就变为一个常数项级数。

幂级数的收敛问题

  与常数项级数一样，我们把称为幂级数的部分和。如果这部分和当n→∞时对区间I中的每一点都收敛，那末称级数在区间I收敛。此时sn(x)的极限是定义在区间I中的函数，记作:s(x). 这个函数s(x)称为级数的和函数，简称和，记作：

  对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的收敛的判定准则。

幂级数的审敛准则

  准则：设有幂级数.如果极限，那末，当时，幂级数收敛，而且绝对收敛；当时，幂级数发散，其中R可以是零，也可以是+∞.

  由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间.在这个区间内级数收敛，在这个区间外级数发散.区间称为幂级数的收敛区间，简称敛区。正数R为幂级数的收敛半径.

  关于此审敛准则问题

  讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当时，级数的敛散性不能由准则来判定，需另行讨论。

  例题：求幂级数的收敛区间.

  解答：该级数的收敛半径为：

       

        所以此幂级数的敛区是（-5，5）.

        在x=5与x=-5，级数分别为前者发散，后者收敛.

        故级数的收敛区间是[-5,5)

幂级数的性质

  性质1：设有两个幂级数与，如果

          =f1(x)，-R11

          =f2(x)，-R22

        则=f1(x)±f2(x)，-R其中R=min(R1,R2)

  性质2：幂级数的和s(x)在敛区内时连续的.

  性质3：幂级数的和s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式：         

                =

         求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

  性质4：幂级数的和s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：

               

         积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。

  由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导,逐项积分。

函数的幂级数展开式

　

(2）间接展开法

总结:重要幂级数的展开式

多元微积分知识点总结

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