数学建模竞赛试题 2015
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A题飞越北极
2000年6月,扬子晚报发布消息:“中美航线下月可飞越北极,北京至底特律可节省4小时”,摘要如下:
7月1日起,加拿大和俄罗斯将允许民航班机飞越北极,此改变可大幅度缩短北美与亚洲间的飞行时间,旅客可直接从休斯敦,丹佛及明尼阿波利斯直飞北京等地。据加拿大空中交通管制局估计,如飞越北极,底特律至北京的飞行时间可节省4个小时。由于不需中途降落加油,实际节省的时间不止此数。
假设:飞机飞行高度约为10公里,飞行速度约为每小时980公里;从北京至底特律原来的航线飞经以下10处:
A1(北纬31度,东经122度;A2(北纬36度,东经140度;
A3(北纬53度,西经165度;A4(北纬62度,西经150度;
A5(北纬59度,西经140度;A6(北纬55度,西经135度;
A7(北纬50度,西经130度;A8(北纬47度,西经125度;
A8(北纬47度,西经122度;A10(北纬42度,西经87度。
请对“北京至底特律的飞行时间可节省4小时“从数学上作出一个合理的解释,分两种情况讨论:
(1)设地球是半径为6371千米的球体;
(2)设地球是一旋转椭球体,赤道半径为6378千米,子午线短半轴为6357千米。
B题:DNA限制性图谱的绘制
绘制DNA限制性图谱是遗传生物学中的重要问题。由于DNA分子很长,目前的实验技术无法对其进行直接测量,所以生物学家们需要把DNA分子切开,一段一段的来测量。在切开的过程中,DNA片段在原先DNA分子上的排列顺序丢失了,如何找回这些片段的排列顺序是一个关键问题。
为了构造一张限制性图谱,生物学家用不同的生化技术获得关于图谱的间接的信息,然后采用组合方法用这些数据重构图谱。一种方法是用限制性酶来消化DNA分子。这些酶在限制性位点把DNA链切开,每种酶对应的限制性位点不一样。对于每一种酶,每个DNA分子可能有多个限制性位点,此时可以按照需要来选择切开某几个位点(不一定连续)。DNA分子被切开后,得到的每个片段的长度就是重构这些片段的原始顺序的基本信息。在多种获取这种信息的实验方法中,有一种广泛采用的方法:部分消化(thepartialdigest,PDP)方法。
在PDP中,采用一种酶,通过实验得到任意两个限制性位点之间片段的长度。假设与使用的酶对应的限制性位点有n个,通过大量实验,可得到n