目录

摘要……………………………………………………………………………………1

关键词…………………………………………………………………………………1

Abstract……………………………………………………………………………………1

Key words……………………………………………………………………………1

引言…………………………………………………………………………………………1

1 欧几里得空间………………………………………………………………………1

1.1 欧几里得空间……………………………………………………………………1

1.2 标准正交基………………………………………………………………………2

1.2.1 标准正交基的定义………………………………………………………………2

1.2.2 Gram-Schmidt正交化…………………………………………………………3

2 Gram方阵…………………………………………………………………………………4

2.1 Gram方阵的定义…………………………………………………………………4

2.2 Gram方阵的性质…………………………………………………………………5

3 Gram方阵的几何意义……………………………………………………………9

3.1平行六面体…………………………………………………………………9

3.1.1平行六面体的定义…………………………………………………………9

3.1.2平行六面体的体积…………………………………………………………10

3.2 Gram方阵的几何意义…………………………………………………………11

3.2.1超平行六面体…………………………………………………………11

3.2.2 Gram方阵的几何意义……………………………………………………11

4结论………………………………………………………………………………13

致谢…………………………………………………………………………………13

参考文献……………………………………………………………………………13

附录A………………………………………………………………………………14

Gram方阵的探讨

信息与计算科学 王作宾

指导老师 叶传秀

摘要：欧几里得空间是极其重要的向量空间,而Gram方阵又是欧几里得空间中的一个特殊的度量矩阵,它具有一些重要的特征.这里将对Gram方阵的定义、行列式、性质及其几何意义等做进一步探讨.首先介绍内积、欧几里得空间、标准正交基和施密特正交化等概念.然后给出在欧几里得空间中一组向量下的Gram方阵的定义及其一些重要性质,如Gram方阵的正定性、合同性等.最后探讨一下Gram方阵的几何意义,即在欧几里得空间中,Gram行列式等于超平行六面体体积的平方.

关键词: 内积 Gram方阵 标准正交基 施密特正交化 合同 超平行六面体

Discussion on Gram Matrix

Information and Computing Science Wang Zuobin

Tutor Ye Chuanxiu

Abstract: Euclidean space is the extremely important vector space. However, Gram matrix in Euclidean space is a special measure matrix, which has some important features. Here there will be to do a further study on the definition, determinant, properties and geometry interpretation of Gram matrix. Firstly, it introduces the concepts of inner product, Euclidean space, the standard orthogonal basis and the Schmidt orthogonalization. Secondly, it presents the definition of the Gram matrix and some of its important properties under a group of vector in the Euclidean space, such as the positive definiteness and the contract of Gram matrix. Finally, it will discuss the geometry interpretation of Gram matrix, that is to say, the Gram determinant is equal to the square of the hyper-parallelepiped volume in the Euclidean space.

Key words: inner product；Gram matrix; standard orthogonal basis; Schmidt orthogonalization; contract; hyper-parallelepiped

引言 欧几里得空间是极其重要的向量空间,而Gram方阵又是欧几里得空间中的一个特殊的度量矩阵,它具有一些重要的特征.许多专家学者对Gram方阵的定义、性质及其应用做过一些探讨,本文主要是在前人的一些工作成果的基础上对Gram方阵做进一步的研究,包括Gram方阵的定义、行列式、性质以及其几何意义和它们之间的关系.

1 欧几里得空间

1.1 欧几里得空间

定义1.1 设是实数域上一线性空间,在上定义了一个二元实函数,称为内积,记作,它具有以下性质：

1）=；

2）=；

3）=+；

4）,当且仅当=0时.

这里的,是中的任意向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧几里得空间,简称为欧氏空间.

例：任意一个维的欧几里得空间都等距同构于,这里的列向量空间的内积为

(对于称为维经典欧几里得空间)

1.2 标准正交基

1.2.1 标准正交基的定义

定义1 如果向量的内积为零,即

那么称它们正交或相互垂直,记为

显然,这里的正交定义与解析几何中对于正交的说法是一致的.由定义立即看出,只有零向量才与自己正交.

定义2 欧氏空间中一组非零向量,如果它们两两正交,就称为一正交向量组.

应该指出,按定义,由单个非零向量所组成的向量组也是正交向量组.

不难证明,正交向量组是线性无关的.事实上,设正交向量组有一线性关系

用与等式两边作内积,即得

由,有,从而.这就证明了是线性无关的.

定义3 在维欧氏空间中,由个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基.

在标准正交基下,向量的坐标可以通过内积简单的表示出来,即

事实上,设

用与等式两边作内积,即得

在标准正交基下,内积有特别简单的表达式,设

,

.

那么

.

这个表达式正是几何向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广.

1.2.2 Gram-Schmidt正交化

定理1 （基扩充定理）维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.

证明：设是一正交向量组,我们对作数学归纳法.

当时,就是一组正交基了.

假设=时定理成立,也就是说,可以找到向量,使得

,

成为一组正交基.

现在来看=+1的情形.因为,所以一定有向量不能被线性表出,作向量

这里的时待定系数.用与作内积,得

.

取

有

= .

由的选择可知,.因此是一正交向量组,根据归纳法假定,可扩充成一正交基.

定理的证明实际上给出了一个具体的扩充正交向量组的方法.如果我们从任一非零向量出发,按证明中的步骤逐个地扩充,最后就得到一组正交基.再单位化,就得到一组标准正交基.

在求欧氏空间的正交基时,常常是已经有了空间的一组基.对于这种情形,有下面的结果：

定理2 （Gram-Schmidt正交化）对于维欧氏空间中的任意一组基,都可以找到一组标准正交基,使

证明：设是一组基,我们来逐个地求出.

首先,可取，一般地,假定已求出,它们是单位正交的,具有性质

下一步求.

因为,所以不能被线性表出.按上述定理的证明方法,作向量

显然

,且 .

令

.

就是一组正交向量组.同时

.

由归纳法原理定理可得证.

（还有一种求标准正交基的方法,在后面的Gram方阵性质里面将会提到）

2 Gram方阵

2.1 Gram方阵的定义

在实数域上的欧氏空间中,我们总可以定义向量的内积.设为维欧氏空间中的任意一组向量,用这组向量的一切可能的内积作成一个方阵,即

这样的方阵定义为向量组的Gram方阵,记为简记为.并称为的Gram行列式.

2.2 Gram方阵的性质

定理3 Gram方阵是对称阵.（由内积的对称性易知）

特别的当这组向量为实数域上的维欧氏空间的基时,此时称为此基的Gram方阵,仍记为,并且有下面的事实成立.

定理4 欧氏空间中的不同基的Gram方阵是合同的正定方阵.

证明：设为维欧氏空间的一组基,

则

其中:

当

是正定二次型

是正定方阵

设,是维欧氏空间的两组基.

同一内积在基下的Gram方阵为

在基下的Gram方阵为

关于基的坐标为

关于基的坐标为

设由基到基的过渡矩阵为,则

又

与合同.

定理得证.

推论1 若为对角矩阵,则基为维欧氏空间的一组正交基.

推论2 若为单位矩阵,则基为维欧氏空间的一组标准正交基.

上述定理说明了这样一个事实,维欧氏空间的一切基的Gram方阵恰好是阶正定矩阵所组成的合同类.而这个合同等价类中含有单位矩阵,从而以单位矩阵为Gram方阵的基一定存在,它就是的一组标准正交基.由此提供了一个求标准正交基的方法.

例：在欧氏空间中,内积按通常的定义,由基求中的标准正交基.

解：易求得基的Gram方阵为

因的各阶顺序主子式大于,从而为正定阵,于是存在可逆阵

使得

有

从而得

故为一标准正交基.

推论3 维欧氏空间的两个内积在同一基下的Gram方阵是合同的.

由合同的传递性,我们可得

推论4 维欧氏空间的任一内积在任一基下的Gram方阵是合同的.

例：在欧氏空间中,已知是的一个基,一内积关于的Gram方阵为,求这一内积在基下的Gram方阵.

解：设由基到基的过度矩阵为

则

在基下的Gram方阵

定理5 设是维欧氏空间中的一组向量,它的格莱姆方阵为,则线性无关的充要条件是.

证明：设线性无关,则总可以将其扩充为的一组基由于此基的格莱姆方阵是正定的,从而其阶顺序主子式

反之,设则必线性无关.

推论3 向量组线性相关的充要条件是它的格莱姆方阵的行列式为零.

定理6 设是维欧氏空间的一个线性变换,在基下的矩阵为,则是对称变换的充要条件是,其中为基的格莱姆方阵.

证明：设,为中的任意两个向量,则.

为基的格莱姆方阵,由于在基上的矩阵为,因此关于基的坐标分别是与.

故

因为是任意的,从而是对称变换的充要条件是.

定理7 设,为欧氏空间的两组向量,如果它们的格莱姆方阵相等,则子空间与同构.

证明：

.

设的一个极大线性无关组为

又

且,

由此知线性无关,而线性相关

即是的一个极大线性无关组

因此,

由于，故与同构.

定理8 令是欧氏空间中的一组线性无关的向量,是由这组向量通过正交化方法所得的正交组,证明：这两个向量组的格莱姆行列式相等,即

证明：是由通过正交化方法而得的

可设：

即 其中且

于是且.

即

两边取行列式得：

（注意到）

又是正交组

故.

3 Gram方阵的几何意义

我们先讨论三维几何中的平行六面体的体积,然后推广到维欧几里得几何中的超平行六面体.

3.1 平行六面体

3.1.1 平行六面体的定义

在几何学中,平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体.它与平行四边形的关系,正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许,但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体.平行六面体的三个等价的定义为：

∙ 六个面都是平行四边形的多面体；

∙ 有三对对面平行的六面体；

∙ 底面为平行四边形的棱柱

平行六面体可由正方体经线性变换而成.

3.1.2 平行六面体的体积

平行六面体

平行六面体的体积是底面A与高的乘积.这里的高是底面与对面的垂直距离.

另外一个方法是用向量, ,以及来表示相交于一点的三条棱.于是,平行六面体的体积就等于三重积：

这是因为,如果我们选择和来表示底面的边,则根据向量积的定义,底面的面积为：

其中是与之间的角,而高为：

其中是与h之间的角.

从图中我们可以看到,的大小限定为°.而向量与之间的角β则有可能大于.也就是说,由于与平行,的值要么等于,要么等于.因此：

 = =

且

= | |.

我们得出结论：

= = | | | × |,

于是,根据数量积的定义,它等于的绝对值.

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值

3.2 Gram方阵的几何意义

3.2.1 超平行六面体

定义3.2.1 设向量是维欧氏空间的一组基,则由向量所决定的超平行六面体是指

例如, =2时,D为平行四边形； =3时,D为平行六面体.对于平行六面体的情况在3.1中已经有所介绍.

3.2.2 Gram方阵的几何意义

定理9（Gram方阵的几何意义）

设是维欧氏空间的一组基,则向量组下的Gram方阵的行列式等于由该组基所决定的超平行六面体体积的平方,即

其中为的Gram方阵.

证明：由Gram-Schmidt正交化过程容易得出超平行六面体的体积.设,其中是正交化得到的标准正交基, （这里的如附录A）,也就是说.注意正交于,而在的投影为,故按体积定义有

.

递归之得决定的超平行六面体体积为过渡方阵的行列式：

现设为的任意的标准正交基, ,则有,故为正交方阵,故,即

这也就是说,超平行六面体的体积由在任意的标准正交基下的坐标行构成的行列式的值给出.这一结果在等于3的情况下是熟知的,在上面的讨论中也有所表现.

现在注意的Gram方阵为

（Gram方阵的合同性）

则两边取行列式得

.

即Gram行列式等于超平行六面体体积的平方.

例：已知是3维标准的欧式空间.

(1) 设是由中的向量所张成的平行六面体的体积.证明，其中矩阵

（2）设是一个对棱长度均相同的四面体，假设该四面体三对对棱的长度分别是4，5，6.试求该四面体的体积.

证明 （1）由定理9可得.

（2）设为该四面体的同一节点出发的三条棱对应的三个向量，且.则由可在的欧氏空间中确定一平行六面体，并且设其体积为，则四面体的体积为该平行六面体体积的四分之一，即.由（1）可知（同（1））,由余弦公式可得：

， ，.故由得：

故

.

4结论

通过上面的探讨,我们对Gram方阵的定义、性质及其几何意义都有了进一步的认识.最后探讨的Gram方阵的几何意义，即在维欧氏空间中,在基下的Gram方阵的行列式等于由这组基向量所决定的超平行六面体体积的平方，在维欧氏空间n=3时有较好的应用，即求平行六面体的体积.主要思路是，只要知道该平行六面体的由一顶点出发的三个边所对应的向量组在直角坐标系下的坐标,然后利用在中所定义的内积求出该向量组下的Gram方阵的行列式,则该平行六面体的体积就很容易的求出了.

致谢

本论文选题及写作都是在叶传秀老师的亲切关怀和细心指导下完成的.他的严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我,使我不仅接受了全新的思想观念,树立了宏伟的学术目标,领会了基本的思考方式,掌握了通用的研究方法,而且还明白了许多为人处事的道理,在此,我对叶老师表示深深的感谢.与此同时,我还要感谢教过我的所有的老师,没有他们谆谆的教导就不会有我今天论文的完成,谢谢了老师,您们辛苦了.

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2003：359-370.

[2]魏献祝.高等代数[M].上海：华东师大出版社,1997：295-296.

[3]王正文.高等代数分析与研究[M].济南:山东大学出版社,1997：251-253.

[4]张贤科,许甫华.高等代数学[M].北京：清华大学出版社,2004：281-283.

[5]张禾瑞,郝鈵新.高等代数[M].北京：高等教育出版社,2007:325-330

附录A

设是欧几里得空间的基,则存在标准正交基和实的上三角方阵（而且的对角线元素均为整数）使得

证明 把进行Schmidt正交化可得一组标准正交基.则由正交化过程可知有

令

可得

其中

,其中.

定理得证.

Gram方阵的探讨