2014年清华大学自主招生数学试题

1. 设的整数部分为a，小数部分为b．
（1）求a，b；（2）求；（3）求．

2. （1）x，y为实数，且，求证：对于任意正整数n，；
（2）a，b，c为正实数，求证：，其中x，y，z为a，b，c的一种排列．

3. 请写出所有三个数（正数）均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论．

4. 已知椭圆（）过椭圆左顶点的直线l与椭圆交于Q，与y轴交于R，过原点与l平行的直线与椭圆交于P．求证：AQ，，AR成等比数列．

5. 已知，设，求．

6. 随机挑选一个三位数I．
（1）求I含有因子5的概率；
（2）求I中恰有两个数码相等的概率．

7. 四面体ABCD中，，，．
（1）求证：每个面的三角形均为锐角三角形；
（2）设三个面与底面BCD所成的角为，求证：．

8. 求证：当p、q均为奇数时，抛物线与x轴交点横坐标为无理数．

9. 设均为整数．性质P为：对中任意2n个数，存在一种分发将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等．求证：全部相等当且仅当具备性质P．

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