广西壮族自治区柳州市马山中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

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一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 高三（三）班学生要安排毕业晚会的3个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，3个音乐节目恰有两个节目连排，则不同排法的种数是（ ） A．240 B．188 C．432 D．288
参考答案：
D
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意，可先将两个音乐节目绑定，与另一个音乐节目看作两个元素，全排，由于三个音乐节目不能连排，故可按一个曲艺节目在此两元素之间与不在两元素之间分成两类分别记数，即可得到所有的排法种数，选出正确选项
【解答】解：由题意，可先将两个音乐节目绑定，共有=6种方法，再将绑定的两个节目看作一个元素与单独的音乐节目全排有=2
第三步分类，若1个曲艺节目排在上述两个元素的中间，则它们隔开了四个空，将两2个舞蹈节目插空，共有=12种方法；
若1个曲艺节目排不在上述两个元素的中间，则它有两种排法，此时需要从两2个舞蹈节目选出一个放在中间避免3个音乐节目相连，有两种选法，最后一个舞蹈节目有三种放法
综上，所以的不同排法种数为6×2×（1×12+2×2×3）=288 故选D
2. 设集合A={x|2x﹣2＜1}，B={x|1﹣x≥0}，则A∩B等于（ ） A．{x|0＜x≤1}
B．{x|1≤x＜2} C．{x|x≤1} D．{x|0＜x＜1}
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【分析】找出集合A和B中x范围的公共部分，即可确定出两集合的交集．
【解答】解：∵A={x|2x﹣2＜1}={x|x＜2}，B={x|1﹣x≥0}={x|x≤1} ∴A∩B={x|x≤1} 故选：C
3. 点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点， 若AC=BD，且AC与BD成900，则四边形EFGH是（ ） A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．空间四边形


参考答案：
C 4. 已知直线与圆相交于、两点，且，则（ ）
A． B． C．

D．
参考答案：
B
5. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( A. B. C. D. ]

Word文档下载后（可任意编辑） 参考答案： B 略 6. 若直线与直线互相垂直，那么的值等于 （ ）
A．1 B． C． D．
参考答案：
D
略
7. 在中，，三边长a，b，c成等差数列，且，则b的值是 （ ） A． B． C．
D．
参考答案：
D 8. 数列中，若，则该数列的通项（ ）
A． B．

C． D．

参考答案：
D 略
9. 下面四个命题中真命题的是（ ）
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每15分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；
③在回归直线方程=0.4x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大． A．①④
B．②④
C．①③
D．②③
参考答案：
D
【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑．
【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据回归系数的几何意义，可判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④．
【解答】解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；
在回归直线方程=0.4x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.4个单位，故③为真命题；
对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，故④为假命题；
故真命题为：②③， 故选D．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法，相关系数，回归系数及独立性检验等知识点，难度不大，属于基础题．
10. 已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是（ ）
A、1 B、


C、


D、

参考答案：
D
略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数f（x）=（1﹣x）（x2+ax+b）的图象关于点（﹣2，0）对称，x1，x2分别是f（x）的极大值和极小值点，则x1﹣x2= ．
参考答案：
2
【考点】利用导数研究函数的极值．


Word文档下载后（可任意编辑） 【分析】函数f（x）=（1﹣x）（x2+ax+b）的图象关于点（﹣2，0）对称，可得f″（﹣2）=0，f（﹣2）=0，可得a，b，进而得出极值点，即可得出．
【解答】解：函数f（x）=（1﹣x）（x2+ax+b）=﹣x3+（1﹣a）x2+（a﹣b）x+b． f′（x）=﹣3x2+2（1﹣a）x+（a﹣b）， f″（x）=﹣6x+2（1﹣a），
∵函数f（x）=（1﹣x）（x2+ax+b）的图象关于点（﹣2，0）对称， ∴f″（﹣2）=0，f（﹣2）=0， ∴12+2﹣2a=0，3（4﹣2a+b）=0， 解得a=7，b=10．
∴f（x）=﹣x3﹣6x2﹣3x+10．
令f′（x）=﹣3x2﹣12x﹣3=﹣3（x2+4x+1）=0，
解得，
令f′（x）＞0，解得，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得x，或x，此时函数f（x）单调递减．
∴f（x）的极大值和极小值点分别为=x1， =x2．
∴x1﹣x2=2． 故答案为：2．
12. 定积分的值等于_________________。
参考答案：

13. 下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为
参考答案：
0.72 14. 若锐角三角形ABC的面积为，AB=2，AC=3，则cosA= ．



参考答案：

【考点】正弦定理．

【专题】计算题；方程思想；数学模型法；解三角形．


【分析】由三角形的面积求得sinA的值，再由平方关系得答案．



【解答】解：由，


得，即sinA=，


由△ABC为锐角三角形，



∴cosA=．

故答案为：．



【点评】本题考查解三角形，考查了正弦定理的应用，是基础题．

15. 在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则cos2α+cos2β=1．类比到空间中一
Word文档下载后（可任意编辑） 个正确命题是：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则有 ．
参考答案：
cos2α+cos2β+cos2γ=2 【考点】F3：类比推理．
【分析】本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案．
【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质． 由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β， 则有cos2α+cos2β=1，
我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质， ∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ，
∴cosα=，cosβ=，cosγ=，
∴cos2α+cos2β+cos2γ
===2．
故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2．

【点评】本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．
16. 从10名大学生中选三人担任村长助理，则甲，乙至少有一人入选的选法有多少种 参考答案：
64 17. 对于实数x，y定义新运算，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3*5＝15，4*7＝28，则1*1＝__________ 参考答案： -11 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题满分14分）设有半径为3的圆形村落，A．B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇.设A．B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？
参考答案：
19. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
（1）求证：PC⊥BC；

Word文档下载后（可任意编辑） （2）求点A到平面PBC的距离。

参考答案：
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则： 易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。 又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。 由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC， 因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。
（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。 因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。 从而AB=2，BC=1，得的面积。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以。
由PC⊥BC，BC=1，得的面积。
由，，得，
故点A到平面PBC的距离等于。
（方法三）向量法亦可

略
20. 已知椭圆的离心率为，F1，F2分别是其左、右焦点，且过点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若在直线上任取一点P，从点P向的外接圆引一条切线，切点为Q.问是否存在点M，恒有？请说明理由. 参考答案：
(1 (2 ，或
【分析】 （1）求出后可得椭圆的标准方程. （2）先求出的外接圆的方程，设点为点为，则由可得对任意的恒成立，故可得关于的方程，从而求得的坐标. 【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以. ①
又椭圆过点，所以代入得. ②
又. ③

Word文档下载后（可任意编辑） 由①②③，解得.所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）得，，的坐标分别是. 因为的外接圆的圆心一定在边的垂直平分线上，
即的外接圆的圆心一定在轴上，
所以可设的外接圆的圆心为，半径为，圆心的坐标为，
则由及两点间的距离公式，得，
解得. 所以圆心的坐标为，半径，
所以的外接圆的方程为，即. 设点点为，因为，
所以，
化简，得，
所以，消去，得，
解得或. 当时，；
当时，. 所以存在点，或满足条件. 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆的位置关系，一般通过圆心到直线的距离与半径的关系来判断.解析几何中的几何关系的恒成立问题，应该通过等价转化变为代数式的恒成立问题. 21. 观察下列等式：

按照以上式子规律：
（1）写出第5个等式，并猜想第n个等式；（）
（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立.（）
参考答案：
(1 ，.(2见解析. 【分析】
（1）根据规律可得第n行的开头数字就是n，且每行2n-1个数字，右侧是完全平方数，可得；
（2）利用数学归纳法的步骤进行证明. 【详解】（1）第5个等式为；
第
个等式为
，. （2）①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立. ②假设 时，等式成立，即
，（，）
那么，当时，






. 即时等式成立.
Word文档下载后（可任意编辑） 根据①和②，可知对任何，等式都成立. 【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，利用观察-归纳-猜想-证明的流程进行，侧重考查逻辑推理的核心素养. 22. 用反证法证明：关于的方程
、、少有一个方程有实数根． 参考答案：
证明：设三个方程都没有实根，则有判别式都小于零得：与或矛盾，故原命题成立；
略
,当或时,至，

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