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发布时间：2024-03-09 11:23:26
圆梦教育中心立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究
1球与柱体
规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.
1.1球与正方体
如图1所示，正方体ABCD—ABiGDi,设正方体的棱长为a,E,F,H,G为棱的中点，O为球的球心。
常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形圆，贝JOJ
二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG和其外接圆，则OG=R=—a;
2
EFHG和其内切
三是球为正方体的外接球，截面图为长方形ACC1A1和其外接圆，则|A1O=R=雄
2
通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题
。
例1棱长为1的正方体ABCD-ABQDi的8个顶点都在球O的表面上，E,F分别是棱
AAi,DDi的中点，贝y直线EF被球O截得的线段长为（
A.返B.1
2
C.1+血D.近
2
由题意可知，璘为正方休的夕卜接球，平面吗oq鶴面得區E时半径
R=
迟八•取匸面曲卫坏■直娃贲被球0臨册縫
段为球®戡而圆的直程2R=
1.2
22
长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为I.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径
1Ja+b+C
R=—=
2
2
2
例2在长、宽、高分别为2,2,
4的长方体内有一个半径为
的球，任意摆动此长方
体，则球经过的空间部分的体积为
A.罟B.4n
C.8n
7nDp
个球、鬲为2的回枉和半个"」、球・三藹分的体积为：
解；利用运切的观歳分析在小球移动的过理中.方迸过祁分的几何体.因半径再1的小确^^好再檯按皆2的正半体的内切球，故4■'球经过空间由上往下看为:
xix2+;rxl^x2=—TT323 