2020年黑龙江省大庆市高考一模数学理

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B的值为( )

A.{-1，0，1，2}

B.{-2，-1，0，1，2}

C.{0，1，2}

D.{1，2}

解析：分别求出集合A，B，由此能求出A∩B.

∵集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2}，

∴A∩B={-1，0，1，2}.

答案：A

2.若复数cc9268b4c6d3bf78798bec259e7c984b.png，则z在复平面内所对应的点位于的( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z所对应点的坐标得答案.

∵e9e823f166fc752c1a395a66dc45730c.png，

∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为(93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，aabae3a6729958d6b3334df7b566110c.png)，位于第四象限.

答案：D

3.若x，y满足b64d43529d2a8af1cc7e47511abe5c21.png，则2x+y的最大值为( )

A.2

B.5

C.6

D.7

解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.

作出x，y满足b64d43529d2a8af1cc7e47511abe5c21.png对应的平面区域如图：(阴影部分).

由z=2x+y得y=-2x+z，

平移直线y=-2x+z，

由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，

此时z最大.

由9ebc86f38a46b597bc7d2b65a945ea7a.png，解得A(2，1)，

代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5.

即目标函数z=2x+y的最大值为5.

答案：B

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )

A.2

B.4

C.8

D.12

解析：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD，其中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PC⊥平面ABCD，PC=3，由此能求出几何体的体积.

由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD，

其中，四边形ABCD是边长为2的正方形，

PC⊥平面ABCD，PC=3，

∴几何体的体积：

6a07f884456263b6de0c024bf0e538b1.png.

答案：B

5.执行如图所示的程序语句，则输出的S的值为( )

A.a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png

B.1

C.a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png+1

D.d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png+1

解析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是0521f91ed40af20fa345006dad01d31c.png的值，

af0131eb387a520cb3c06e7396c2233d.png

答案：C

6.已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，则命题p是q( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既充分也不必要条件

解析：根据直线平行的等价条件以及直线和圆相交的弦长公式分别进行计算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，

当a≠0时，若两直线平行，则满足a2483b7cd5e45c7ac8d1c9c9f901684e.png，

由e06bb85119230113d75f563a119f00be.png得a2=1，得a=±1，由f5d023793e037e6d869347cd72e94317.png，得a≠1，即a=-1，

即p：a=-1，

圆心到直线的距离b618b541bbf15049b3fadf170fe8a90d.png，半径r=1，

∵直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，

∴r2=d2+(a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png)2，

即a3999a9046dedb8ca306d2acaa0c41d2.png，得a2=1，得a=±1，

则命题p是q充分不必要条件.

答案：A

7.数列{an}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则7e9cc7e5ead4b9511f28698e185f4ffe.png等于( )

A.-45

B.45

C.-90

D.90

解析：运用等比数列的通项公式和性质，求出q.再结合对数运算公式，求出结果即可.

∵{an}为正项递增等比数列，∴an＞an-1＞0，公比q＞1.

a2+a4=10①，且a32=16=a3·a3=a2·a4②，

由①②解得a2=2，a4=8.又因为a4=a2·q2，得q=2或q=-2(舍).则得a5=16，a6=32，

7780c4c1eb140d0c9c099366df59b7b2.png

f2681e52661e1709225d3266841466a2.png.

答案：D

8.若1bea6e3d4f0fc3e3dc465c28c22cd1ce.png，a45ed699adc5bed68e51d449daf912fa.png是夹角为60°的两个单位向量，则向量9f2795a7fd9736343799b2485f9d7447.png，99a03070ac011345727faaecadcd3501.png的夹角为( )

A.30°

B.60°

C.90°

D.120°

解析：根据题意，设89e9c902fed032a267e19bcbbe710b75.png、7f711ac1314a21599dc5a9c5bb757eff.png的夹角为θ，

又由1bea6e3d4f0fc3e3dc465c28c22cd1ce.png，a45ed699adc5bed68e51d449daf912fa.png是夹角为60°的两个单位向量，且9f2795a7fd9736343799b2485f9d7447.png，99a03070ac011345727faaecadcd3501.png，

则a9022114d6f524aa35413bf62b8e388d.png，

又由9f2795a7fd9736343799b2485f9d7447.png，则9b5325faf3362cc41276ddd2c4ad8429.png，

由99a03070ac011345727faaecadcd3501.png，则5d39e735e85a23c45134d3ca64485ae7.png，

则有2a99411054207a5ff14d772a8a34cc28.png，

则θ=60°.

答案：B

9.已知双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(1，91a24814efa2661939c57367281c819c.png)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为( )

A.58fdccf8eb6e485230e143fa25846bf7.png

B.0f689790ccbfb1f57a0da49b75ef5236.png

C.dd0de990d94845b98853b4740c4941ef.png

D.f555261476df602d7bb242ab4ef70026.png

解析：双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y=±7756054cd009f0b026e285b9c68bb181.pngx，

由一条渐近线过点(1，91a24814efa2661939c57367281c819c.png)，可得74ce6a9f8fe10b4520c2ebf5fbace205.png，

双曲线的一个焦点(-c，0)在抛物线y2=16x的准线x=-4上，

可得c=4，

即有a2+b2=16，

解得a=2，b=291a24814efa2661939c57367281c819c.png，

则双曲线的方程为58fdccf8eb6e485230e143fa25846bf7.png.

答案：A

10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞)时，f′(x)＜0.若f6df127bef89557b29f85defbb80cf28.png，4e496f00e24343265476396f06d2736a.png，c=f(e0.1)，则a，b，c的大小关系为( )

A.b＜a＜c

B.b＜c＜a

C.c＜a＜b

D.a＜c＜b

解析：根据条件先判断函数的单调性，结合对数的运算性质进行化简即可.

∵当x∈[0，+∞)时，f′(x)＜0，

∴当x∈[0，+∞)时，函数f(x)单调递减，

∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴函数在(-∞，+∞)上单调递减，

9b83da0834ae4b6bad855a62072b211f.png，

4f741d6fcb667aa5888eda6f538e9ef1.png，又0d50d4986255291644e4a316f6584e5f.png，

则52381f3c2e3ded84e8c9090d795aef11.png，e0.1＞1，0＜ln2＜1，

则d80e36d3d24ab69f287382fc748fa687.png，

则d2492985dcd951fdefd025b593f8f974.png，

即c＜a＜b.

答案：C

11.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象过点(01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.png，2)，相邻两个对称中心的距离是c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png，则下列说法不正确的是( )

A.f(x)的最小正周期为15a638c09d3e9bb4597ce8bf69141c36.png

B.f(x)的一条对称轴为x=76d9ee361c05c8e3ec689437f000f0cc.png

C.f(x)的图象向左平移01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.png个单位所得图象关于y轴对称

D.f(x)在[e9c4d2ab4e037d0f5d839efc429771ab.png，01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.png]上是减函数

解析：求出函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可.

函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象相邻两个对称中心的距离是c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png，

∴144a733beec2fcaaae507905663493e4.png，∴1926bae63f7e409d47aa4f506a00925b.png，解得ω=3；

又f(x)的图象过点(01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.png，2)，

∴2sin(01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.pngω+φ)=2，

∴85b263fb2c8edd1b14182cf420e137d7.png，k∈Z；

解得φ=81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png+2kπ，k∈Z；

令k=0，得φ=81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，

∴f(x)=2sin(3x+81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png)；

∴f(x)的最小正周期为T=15a638c09d3e9bb4597ce8bf69141c36.png，A正确；

e217f466bb8c5ca672392c69c5182bab.png为最小值，

∴f(x)的一条对称轴为x=76d9ee361c05c8e3ec689437f000f0cc.png，B正确；

f(x)的图象向左平移01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.png个单位，

得函数e062cf8658989810427cea9b379aac4a.png，

其图象关于y轴对称，C正确；

x∈[e9c4d2ab4e037d0f5d839efc429771ab.png，01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.png]时，3x∈[3a67e99b91e2ae0567dad7fb4bd2c07a.png，c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png]，

∴3x+81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png∈[b36353326a9bb69a67b20b6aeeedc753.png，6d1a6127d3610e7b68659478ed0c2ae2.png]时，

∴f(x)=2sin(3x+81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png)在[e9c4d2ab4e037d0f5d839efc429771ab.png，01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.png]上是增函数，D错误.

答案：D

12.已知函数9c998e3fe35d008cf942cb3c7bc8d383.png，若关于x的方程f(x)-ax=0有两个解，则实数a的取值范围是( )

A.(0，7ed4c23d5eb9f2371a8e2a7b3d0d4a2b.png]∪[9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png，-2)

B.(0，7ed4c23d5eb9f2371a8e2a7b3d0d4a2b.png)∪[9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png，-2]

C.(-∞，9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png)∪[7ed4c23d5eb9f2371a8e2a7b3d0d4a2b.png，+∞)∪{0，-2}

D.(-∞，9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png)∪[7ed4c23d5eb9f2371a8e2a7b3d0d4a2b.png，+∞)

解析：分别作出函数y=f(x)和y=ax的图象，利用方程有两个解，利用数形结合即可得到结论.

设函数y=f(x)和y=ax，

作出函数f(x)的图象如图：

要使方程f(x)-ax=0有2两个解，

即函数y=f(x)和y=ax有2个不同的交点，

∵f(-2)=5，f(5)=|5+22417f146ced89939510e270d4201b28.png-4|=0c4209a8faecbcee233e5df1e1751e24.png，

当y=ax经过点(5，0c4209a8faecbcee233e5df1e1751e24.png)时，此时a=7ed4c23d5eb9f2371a8e2a7b3d0d4a2b.png，

当过点(-2，5)时，此时a=9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png，

当直线y=ax与y=x2+1相切时，

∵y′=2x，设切点为(x0，y0)，-2≤x0≤0，

∴ba8a6a14ca967ccb8d9b1cc544f0c4bf.png，

解得x0=-1，

当x0=-1，此时a=-2，

结合图象，综上所述a的取值范围为[9be08abbfe1309750cbfc6b85306d873.png，-2)∪(0，7ed4c23d5eb9f2371a8e2a7b3d0d4a2b.png].

答案：A

二、填空题(本题有4标题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.09e30cff75a88336921bde81d42f5b01.png .

解析：根据定积分的运算，即可求得答案.

b50e8d6d79623b43b3fb910e3d854049.png.

答案：6

14.一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则de1eaea99a2253412f1b43d79c0869cc.png的值为 .

解析：设圆柱的底面半径为r，

则圆柱的高为2r，球O的半径为r，

∴球O的体积V1=fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.pngπr3，

圆柱内除了球之外的几何体体积：

V2=πr2×2r-fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.pngπr3=6ca8c824c79dbb80005f071431350618.pngπr3，

∴7d19e798bafdf8ecc80bacec9709488b.png.

答案：2

15.若f(x)=exlna+e-xlnb为奇函数，则cab9e1065f2c0b4b070c41437f8e05c1.png的最小值为 .

解析：由奇函数的性质可得f(0)=0，即有对数的运算性质可得ab=1，再由基本不等式，即可得到所求最小值.

f(x)=exlna+e-xlnb为奇函数，

可得f(0)=0，

即有e0lna+e0lnb=0，

即有ln(ab)=0，

可得ab=1，(a＞0，b＞0)，

则2d25188be39ca074e16416668e80c6d3.png，

当且仅当b=2a=d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png时，等号成立，

则cab9e1065f2c0b4b070c41437f8e05c1.png的最小值为2d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png.

答案：2d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png

16.已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为 .

解析：方法一：由抛物线的定义：|NF|=|DH|=x，|MF|=|CM|=3x，根据相似三角形的性质，即可求得直线MN的倾斜角为60°，即可求得直线l的斜率.

抛物线C：y2=4x，焦点F(1，0)，准线为x=-1，

分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，

过NH⊥CM，垂足为H，

设|NF|=x，则|MF|=3x，

由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x，|MF|=|CM|=3x，

∴|HM|=2x，由|MN|=4x，

∴∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，

则直线l的斜率k=tan60°=91a24814efa2661939c57367281c819c.png.

方法二：设直线MN的方程y=k(x-1)，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k的值.

抛物线C：y2=4x，焦点F(1，0)，

准线为x=-1，

设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程y=k(x-1)，

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，bea39df4aa45e8ea0db27041d674616c.png，

整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，则c8d9d05e455b219fc179feb0fdf670ee.png，x1x2=1，

由|MF|=3|NF|，a2f764255ed8bd9e1c493c7148411b90.png，即(1-x1，-y1)=3(x2-1，y2)，

x1+3x2=4，整理得：3x2-4x2+1=0，解得：x2=7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，或x2=1(舍去)，

则x1=3，解得：k=±91a24814efa2661939c57367281c819c.png，

由k＞0，则k= 91a24814efa2661939c57367281c819c.png.

方法三：设直线MN的方程x=mx+1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得m的值，则直线l的斜率为d5a96d3abc4e087d9edb48905e3b630f.png.

抛物线C：y2=4x，焦点F(1，0)，准线为x=-1，

设直线MN的方程x=mx+1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

e83e17751d22a0287d2e34bc5b21a883.png，整理得：y2-4my-4=0，则y1+y2=4m，y1y2=-4，

由|MF|=3|NF|，a2f764255ed8bd9e1c493c7148411b90.png，即(1-x1，-y1)=3(x2-1，y2)，

-y1=3y2，即y1=-3y2，解得：y2=2fb7561a85ba180dec68a145cf139ab3.png，y1=291a24814efa2661939c57367281c819c.png，

∴4m=8ec254d216dc97b460b754f8de2403a9.png，则m=227e9e6ea96659f752771b4ec095b788.png，

∴直线l的斜率为91a24814efa2661939c57367281c819c.png.

答案：91a24814efa2661939c57367281c819c.png

三、解答题(本大题共6小题，共70分，第17~21题为必考题，每小题12分，第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.设函数y=f(x)的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移fd2182b876efceaa7332588de22f653f.png个单位得到.

(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

解析：(1)通过函数的图象的变换，求出函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的单调区间.

答案：(1)y=2sin2x+1的图象向左平移fd2182b876efceaa7332588de22f653f.png个单位得到y=2sin(2x+81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png)+1的图象，

即f(x)=2sin(2x+81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png)+1.

函数最小正周期T=π.

令70554135123ae3c5ee235c07eb7b0a84.png(k∈Z)，

则add606e54a05e906cf0a5bf0c6499a31.png(k∈Z)，

解得8b17c4c722f5646c5d0c42b41a90e535.png(k∈Z)，

所以y=f(x)的单调增区间是[806978b0cee5496ed9e4f261dcbb5210.png，f8f76c579571e67c250634cc027a8eee.png](k∈Z).

(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(A)=2，b=1，S△ABC=91a24814efa2661939c57367281c819c.png，求a的值.

解析：(2)利用已知条件求出A，然后利用图象定理，以及三角形的面积求解a即可.

答案：(2)由题意得：f(A)=2sin(2A+81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png)+1=2，则有sin(2A+81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png)=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

因为0＜A＜π，所以c921e7bb98276c7e90bbc87339f3f295.png，A=c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png.

由dfe0474e64235868e5c77eff5d75fb8d.png及b=1得，c=4.

根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2×1×4×93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png=13，

所以a=8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png.

18.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在曲线68e5be4f08e5cfe5beefeb08f79f9314.png上，数列{bn}满足bn+bn+2=2bn+1，b4=11，{bn}的前5项和为45.

(1)求{an}，{bn}的通项公式.

解析：(1)利用已知条件求出{an}的通项公式，判断数列是等差数列求解{bn}的通项公式.

答案：(1)由已知得：2d762fc457c57a1d7ee4d63a01566e14.png，

当n=1时，add5066b585eae4446f1c665d9177ec2.png，

当n≥2时，c0c00fb0fa6e244f2809c171ff2e2e08.png，

当n=1时，符合上式.

所以an=n+2.

因为数列{bn}满足bn+bn+2=2bn+1，所以{bn}为等差数列.设其公差为d.

则b291a5b592229cd9cac76c547f91c923.png，解得f11abfc430918d24401f5dc9a8112fb7.png，

所以bn=2n+3.

(2)设dba239ddc394d429b2b8e1fe400b77fa.png，数列{cn}的前n项和为Tn，求使不等式Tn＞b4b17d1c23a24ba4904423974ab6f0ae.png恒成立的最大正整数k的值.

解析：(2)化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可.

答案：(2)由(1)得，

6bf7c5302bf18b9d6df77e13f2c4f6b0.png，0e199175634aa2c216147ac365b1f120.png，

因为cdf3b84c92245e5fa20dfad220682dad.png，

所以{Tn}是递增数列.

所以Tn≥T1=6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png，

故Tn＞b4b17d1c23a24ba4904423974ab6f0ae.png恒成立只要728be09cb9fe398f631a0f9c4c42d4ba.png恒成立.

所以k＜9，最大正整数k的值为8.

19.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD且PA=AB=2.E为PA的中点.

(1)求证：PC∥面BDE.

解析：(1)连接CA交BD于O，连接OE，证明OE∥PC，即可推出PC∥面BDE.

答案：(1)连接CA交BD于O，连接OE，

因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，

所以O为CA的中点，

又E为PA的中点，

故OE为△PAC的中位线，

所以OE∥PC，

而OEc51a88011fa20bbb93b65d2a915137b5.png面BDE，PC69b7add36653205b5b1677641aea562b.png面BDE，

故PC∥面BDE.

(2)求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.

解析：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.求出平面PBC的法向量13e018b86466da0a42b05678e6c53cbb.png=(x，y，z)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，利用向量的数量积求解即可.

答案：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.

则B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(0，0，1)，P(0，0，2)，

所以9326bca8293b724be533078a1200cfde.png=(0，-2，1)，9d12d3b882eb3da54e23a7b92b59166b.png=(-2，0，2)，13ced3ae293b172aea4221f9cd290423.png=(0，2，0)，

设平面PBC的法向量13e018b86466da0a42b05678e6c53cbb.png=(x，y，z)，则34fec3383ea624ac7610a49b782c931b.png，即ad69b9e768e07052ca6ce331da3fbe27.png，

令z=1，则法向量13e018b86466da0a42b05678e6c53cbb.png=(1，0，1)，

设直线DE与平面PBC所成角为θ，

则858289582c0aaa8bcb8b2707e5c8a220.png，

故直线DE与平面PBC所成角的余弦值2f198a1dd5bca59e3bfcb18c9e27d044.png.

20.已知椭圆C：1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png(a＞b＞0)，其焦距为2，离心率为a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png.

(1)求椭圆C的方程.

解析：(1)由2c=2，可得c=1，由9566070e00b9467271fc08b70bcc5f8b.png，可得a=d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，从而b2=a2-c2=1，即可求出椭圆方程.

答案：(1)因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，9566070e00b9467271fc08b70bcc5f8b.png，所以a=d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，

从而b2=a2-c2=1，

所以，椭圆的方程为6b27131f0c0b2338c0191265e22b7e27.png.

(2)设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足108cd55a15592f3d64ca842c66fa9ecc.png，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积S的最大值.

解析：(2)设直线MN的方程为y=k(x-2)(k≠0).代入椭圆方程得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由判别式△＞0解得k范围.利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出.

答案：(2)椭圆右焦点F(1，0)，由108cd55a15592f3d64ca842c66fa9ecc.png可知K(2，0)，

直线l过点K(2，0)，设直线l的方程为y=k(x-2)，k≠0，

将直线方程与椭圆方程联立得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则298b15b90457971c3a2c3f45345fac09.png，1752d8cd1d7bfd70c8590adb6bb372a3.png，

由判别式△=(-8k2)2-4(2k2+1)(8k2-2)＞0解得k2＜93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png.

点F(1，0)到直线l的距离为h，则6652dd55c207f3e547c37e28cd42470a.png，

e050463c103cc1c6b3279ef878839f74.pnga09282e1d766a61def0a2969561199f6.png，

令t=1+2k2，则1＜t＜2，

则92e13b8e4324a07c1f05b732e53063d3.png，

当450bf2f6db279c1a41cb6dbc09028494.png时，S取得最大值.

此时k2=6c2e3e2e98abd1fd9a66519db9da8d90.png，k=±dfa9c2943ed27b92909daa95a2b1fc29.png，

S取得最大值4d8d7ba05e6c70bedca6ca67b56e1543.png.

21.已知函数f(x)=1-ax+lnx

(1)若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围.

解析：(1)分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围.

答案：(1)由题意知，1-ax+lnx≤0恒成立.变形得：0ec3851f2957b4e7f1abe61f4a5fc7a8.png.

设633604c31dc2b67e5cb2336186236956.png，则a≥h(x)max.

由57fa01dcff8712c4d30253fec2671a74.png可知，h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，

h(x)在x=1处取得最大值，且h(x)max=h(1)=1.

所以a≥h(x)max=1，

实数a的取值范围是[1，+∞).

(2)在(1)中，a取最小值时，设函数g(x)=x(1-f(x))-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，8]上恰有两个零点，求实数k的取值范围.

解析：(2)问题转化为即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，8]上恰有两个实数根，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围.

答案：(2)由(1)可知，a≥1，当a=1时，f(x)=1-x+lnx，

g(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x2-xlnx-k(x+2)+2，

g(x)在区间[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，8]上恰有两个零点，

即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，8]上恰有两个实数根.

整理方程得，725feca7178f86ab22a9a7d1f153ad44.png，

令bd1b880d23632d7e99a00b5868577cdf.png，x∈[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，8]，

a48c518853253908a535e3528ad98c27.png.

令φ(x)=x2+3x-2lnx-4，x∈[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，8]，

则7f20db104d241b6a681955bf7cbc91c8.png，x∈[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，8]，

于是φ′(x)≥0，φ(x)在[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，8]上单调递增.

因为φ(1)=0，当x∈[93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，1)时，φ(x)＜0，从而s′(x)＜0，s(x)单调递减，

当x∈(1，8]时，φ(x)＞0，从而s′(x)＞0，s(x)单调递增，

deff7986708914db6b901c128c3f8837.png，

因为c757fd083af555b7def958269891cc97.png，

所以实数k的取值范围是(1，1db5b99b8a614e01dcc17d6403ddaf7a.png].

(3)证明不等式：2ln(2×3×4×…×n)＞a49a66905d38b5ad0b894f8ca6434499.png(n∈N*且n≥2).

解析：(3)由(1)可得x-1≥lnx，当且仅当x=1时取等号，令x=e49616e70cfb3a2ee3fecb71aacb0498.png，则有1376fe43ed8794843cc6eb66154970ea.png，其中k∈N*，k≥2，利用放缩裂项，累加求和即可证明.

答案：(3)证明：由(1)可知，当a=1时，有x-1≥lnx，

当且仅当x=1时取等号.

令x=e49616e70cfb3a2ee3fecb71aacb0498.png，则有1376fe43ed8794843cc6eb66154970ea.png，其中k∈N*，k≥2.

整理得：b2700fa8ba2b21884f0a5d4072641205.png，

当k=2，3，…，n时，66889182f68c8d0d61251eca9993b99a.png，3a21dc10104570a6e5902ae05b95cbf6.png，…，6eb585111f5d4f268ce64b488e4c5f7a.png，

上面n-1个式子累加得：2ln(2×3×…×n)＞n-1-1+9ba22ee6c5f55c74af52949dd103f942.png.n∈N*且n≥2，

即2ln(2×3×…×n)＞a49a66905d38b5ad0b894f8ca6434499.png.命题得证.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

[选修4-4：坐标系与参数方程]

22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C1：x2+y2=1，直线l：ρ(cosθ-sinθ)=4.

(1)将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、91a24814efa2661939c57367281c819c.png倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程.

解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.

答案：(1)因为l：ρ(cosθ-sinθ)=4，转化为直角坐标方程为：x-y=4；

设曲线C2上任一点坐标为(x′，y′)，

则e9f6a07fc048e0e359d9da943511941e.png，

所以815a43e60e80e36e5ff6e956dccb392f.png，

代入C1方程得：f7a96c64b64b34d1f0d22b366625db65.png，

所以C2的方程为36261bf66cddf533e7385d9255969241.png.

(2)若直线l1经过点P(1，2)且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|·|PN|的值.

解析：(2)利用直线哈曲线建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.

答案：(2)直线l：x-y=4倾斜角为cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png，由题意可知，

直线l1的参数方程为90e8c9a97df39bd3d081c2e5417e676b.png(t为参数)，

联立直线l1和曲线C2的方程得，

1039e987278d2fbb538287f6682cb6dd.png.

设方程的两根为t1，t2，

则t1t2=2.

由直线参数t的几何意义可知，|PM|·|PN|=|t1t2|=2.

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知a，b是任意非零实数.

(1)求1859dc9c5cbdb711f7042ccb639d48bc.png的最小值.

解析：(1)根据绝对值三角不等式得出结论.

答案：(1)因为|3a+2b|+|3a-2b|≥|3a+2b+3a-2b|=6|a|，

当且仅当(3a+2b)(3a-2b)≥0时取等号，

1859dc9c5cbdb711f7042ccb639d48bc.png的最小值为6.

(2)若不等式|3a+2b|+|3a-2b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数x取值范围.

解析：(2)根据(1)的结论可得：|2+x|+|2-x|≤6，再讨论x的符号解出x的范围.

答案：(2)由题意得：d5bc591832ba5166861f2d14adc6113b.png恒成立，

结合(1)得：|2+x|+|2-x|≤6.

当x≤-2时，-x-2+2-x≤6，解得-3≤x≤-2；

当-2＜x≤2时，x+2+2-x≤6成立，所以-2＜x≤2；

当x＞2时，x+2+x-2≤6，解得2＜x≤3.

综上，实数x的取值范围是[-3，3].

考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生

谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。因为一份试卷的题型有选择题、填空题和解答题，题目的难易程度不等，再加上时间的限制，更需要考生运用考试技巧去合理安排时间进行考试，这样才能获得一个优异的成绩。

在每次考试结束之后，我们总会发现这样有趣的情形：有的学生能超常发挥，考个好成绩，而有的学生却出现粗心大意的状况，令人惋惜。有的学生会说这是“运气”的原因，其实更深次的角度来说，这是说明考试准备不足，如知识掌握不扎实或是考试技巧不熟练等，这些正是考前需要调整的重点。

读书学习终究离不开考试，像中考和高考更是重中之重，影响着很多人的一生，下面就推荐一些与考试有关的方法技巧，希望能帮助大家提高考试成绩。

一是学会合理定位考试成绩

你能在一份卷子当中考几分，很大程度上取决于你对知识定理的掌握和熟练程度。像最后一道选择题和填空题，以及最后两道大题，如果你没有很大把握一次性完成，就要先学会暂时“放一放”，把那些简单题和中等题先解决，再回过头去解决剩下的难题。

因此，在考试来临之前，每位考生必须对自身有一个清晰的了解，面对考试内容，自己处于什么样的知识水平，进而应采取什么样的考试方式，这样才能帮助自己顺利完成考试，获得理想的成绩。

像压轴题的最后一个小题总是比较难，目的是提高考试的区分度，但是一般只有4分左右，很多考生都可以把前面两小题都做对，特别是第一小题。

二是认真审题，理清题意

每次考试结束后，很多考生都会发现很多明明自己会做的题目都解错了，非常可惜。做错的原因让人既气愤又无奈，如算错、看错、抄错等，其中审题不仔细是大部分的通病。

要想把题目做对，首先就要学会把题目看懂看明白，认真审题这是最基本的学习素养。像数学考试，就一定要看清楚，如“两圆相切”，就包括外切和内切，缺一不可；ABC是等腰三角形，就要搞清楚哪两条是腰；二次函数与坐标轴存在交点，就要分清楚x轴和y轴；或是在考试过程中遇到熟悉的题目，绝不可掉以轻心，因为熟悉并不代表一模一样。

三是要活用草稿纸

有时候真的很奇怪，有些学生一场考试下来，几乎可以不用草稿纸，但最终成绩也并不一定见得有多好。不过，我们查看这些学生试卷的时候，上面密密麻麻写了一堆，原来都把试卷当草稿纸，只不过没几个人能看得懂。

考试时间是有限，要想在有限的时间内取得优异的成绩，就必须提高解题速度，这没错，但很多人的解题速度是靠牺牲解题步骤、审清题意等必要环节之上。就像草稿纸，很多学生认为这是在浪费时间，要么不用，要么在打草稿时太潦草，匆忙抄到试卷上时又看错了，这样的毛病难以在考试时发现。

在解题过程后果，我们应该在试卷上列出详细的步骤，不要跳步，需要用到草稿纸的地方一定要用草稿纸。只有认真踏实地完成每步运算，假以时日，就能提高解题速度。

大家一定要记住一点：只要你把每个会做的题目做对，分数自然就会高。

四是学会沉着应对考试

无论是谁，面对考试都会有不同程度的紧张情绪，这很正常，没什么好大惊小怪，偏偏有的学生会把这些情绪放大，出现焦躁不安，甚至是失眠的负面情况，非常可惜。

就像在考试过程中，遇到难题这也很正常，此时的你更应不慌不躁，冷静应对在考试，有些题目难免一时会想不出解题思路，千万记住不要钻牛角尖，可以暂时先放一放，不妨先换一个题目做做，等一会儿往往就会豁然开朗了。

考试，特别像中考和高考这样大型的重要考试，一定要相信一点，那就是所有试题包含的知识定理、能力要求都在考纲范围内，不要有过多的思想负担。

考试遇到难题，容易让人心烦意乱，我们不要急于一时，别总想一口气吃掉整个题目，可以先做一个小题，后面的思路就慢慢理顺了。

[精校]2020年黑龙江省大庆市高考一模数学理