中考数学一模试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．若一元二次方程x2﹣8x+a＝0有一个根是x＝3，则方程的另一个根是（　　）

A．x＝﹣5 B．x＝5 C．x＝15 D．x＝﹣15

2．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝1，则BB′的长为（　　）

A．4 B． C． D．

3．已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　）

A．15° B．30° C．45° D．60°

4．如图，在△ABC中，已知∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、BD、OD、OC，若∠ABD＝15°，且AD∥OC，则∠BOC的度数为（　　）

A．120° B．105° C．100° D．110°

6．如图，直线y1＝kx+n（k≠0）与抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）分别交于A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点，那么当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）

A．﹣1＜x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣1或x＞2 D．x≤﹣1

7．小明、小颖和小凡都想去看山西第二届文博会，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是（　　）

A．三人获胜的概率相同 B．小明获胜的概率大

C．小颖获胜的概率大 D．小凡获胜的概率大

8．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（　　）

A．当x＞0时，y随x的增大而增大

B．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）

C．当x＝2时，y有最大值﹣3

D．图象与x轴有两个交点

9．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的正半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC＝，反比例函数y＝的图象经过点C，与AB交于点D，则△COD的面积为（　　）

A．12 B．20 C．24 D．40

10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，∠ACB＝36°，AB＝BC，AC＝2，则AB的长度是（　　）

A．﹣1 B．1 C． D．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．方程2x2﹣5x﹣1＝0的解是　 　．

12．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于点A，过点C（0，2）作AO的平行线交双曲线于点B，连接AB并延长与y轴交于点D（0，4），则k的值为　 　．

13．如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，那么GE＝　 　．

14．如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（7，3），点E在边AB上，且AE＝1，已知点P为y轴上一动点，连接EP，过点O作直线EP的垂线段，垂足为点H，在点P从点F（0，）运动到原点O的过程中，点H的运动路径长为　 　．

15．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝　 　．

三．解答题（共8小题，满分75分）

16．已知等腰△ABC的一边长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0的两个根，求m的值．

17．消费者在许昌市某火锅店饭后买单时可以参与一个抽奖游戏，规则如下：有4张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为2张笑脸、2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让消费者去翻纸牌．

（1）现小杨有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率．

（2）如果小杨、小月都有翻两张牌的机会．小杨先翻一张，放回后再翻一张；小月同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现一张笑脸就获奖．他们谁获奖的机会更大些？通过树状图或列表法分析说明理由．

18．如图，点C是⊙O直径AB上一点，过C作CD⊥AB交⊙O于点D，连接DA，延长BA至点P，连接DP，使∠PDA＝∠ADC．

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）若AC＝3，tan∠PDC＝，求BC的长．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B 坐标为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）点E是x轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点的坐标．

20．如图，一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向，轮船沿着北偏东60°的方向航行16km后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向．求灯塔P与B之间的距离（结果保留根号）．

21．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图①所示，大门地面宽AB＝4 m，顶部C离地面高度为4.8 m．

（1）在图②所建立的平面直角坐标系xOy中，求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）现有一辆运货卡车高2.6m，宽2.4m，欲通过这个大门，请判断这辆卡车能否顺利通过．

22．如图，正方形ABCD的边长为+1，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC、BD于E、F

（1）求证：△ABF∽△ACE；

（2）求tan∠BAE的值；

（3）在线段AC上找一点P，使得PE+PF最小，求出最小值．

23．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（4，0），C（0，2）三点，直线y＝kx+t经过B、C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E．

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；

（3）点D在运动过程中，若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标．

中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．【分析】利用根与系数的关系求得方程的另一根．

【解答】解：设方程的另一根为x，

则x+3＝8，

解得x＝5．

故选：B．

【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．在利用根与系数的关系x1+x2＝﹣时，一定要弄清楚公式中字母a、b所表示的意义．

2．【分析】在直角△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′＝2AB，据此即可求解．

【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAC＝30°，

∵BC＝1，

∴AB＝2，

根据中心对称的性质得到BB′＝2AB＝4．

故选：A．

【点评】本题主要考查了直角三角形的性质：30°的锐所对的直角边等于斜边的一半，以及旋转的性质．

3．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．

【解答】解：∵sinA＝，

∴∠A＝60°．

故选：D．

【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．

4．【分析】首先证明△AED∽△ACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案．

【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，

∴△AED∽△ACB，

∴＝．

故选：A．

【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角形的性质．

5．【分析】根据直径所对的圆周角是90°和平行线的性质解答即可．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∠ABD＝15°，

∴∠ADB＝90°，

∴∠A＝75°，

∵AD∥OC，

∴∠AOC＝75°，

∴∠BOC＝180°﹣75°＝105°，

故选：B．

【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据直径所对的圆周角是90°和平行线的性质解答．

6．【分析】根据函数图象，分别讨论当x＜﹣1，x＝﹣1，﹣1＜x＜2，x＝2，x＞2时，y1和y2的大小关系，即可得到答案．

【解答】解：根据图象可知：

当x＜﹣1时，y1＜y2，

当x＝﹣1时，y1＝y2，

当﹣1＜x＜2时，y1＞y2，

当x＝2时，y1＝y2，

当x＞2时，y1＜y2，

故选：A．

【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），正确掌握观察函数图象是解题的关键．

7．【分析】利用树状图法得出所有的可能，进而分别求出获胜的概率即可．

【解答】解：如图所示：

，

所有的可能为；（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

故小明获胜的概率为：，小颖获胜的概率为：，小凡获胜的概率为：，

故此游戏小凡获胜概率大，

故选：D．

【点评】本题主要考查了游戏公平性，正确利用树状图法求概率是解题关键．

8．【分析】先把函数的解析式化成顶点式，再逐个判断即可．

【解答】解：A、y＝﹣x2+x﹣4＝﹣（x﹣2）2﹣3，

当x＜2时，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；

B、顶点坐标为（2，﹣3），故本选项不符合题意；

C、当x＝2时，y有最大值是﹣3，故本选项符合题意；

D、∵顶点坐标为（2，﹣3），函数图象开口向下，

∴图象和x轴没有交点，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的图象、性质和最值，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．

9．【分析】易证S菱形ABCO＝2S△CDO，再根据tan∠AOC的值即可求得菱形的边长，即可求得点C的坐标，可得菱形的面积和结论．

【解答】解：作DF∥AO，CE⊥AO，

∵tan∠AOC＝，

∴设CE＝4x，OE＝3x，

∴3x•4x＝24，x＝±，

∴OE＝3，CE＝4，

由勾股定理得：OC＝5，

∴S菱形OABC＝OA•CE＝5×＝40，

∵四边形OABC为菱形，

∴AB∥CO，AO∥BC，

∵DF∥AO，

∴S△ADO＝S△DFO，

同理S△BCD＝S△CDF，

∵S菱形ABCO＝S△ADO+S△DFO+S△BCD+S△CDF，

∴S菱形ABCO＝2（S△DFO+S△CDF）＝2S△CDO＝40，

∴S△CDO＝20；

故选：B．

【点评】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，三角函数的定义，考查了菱形面积的计算，本题中求得S菱形ABCO＝2S△CDO是解题的关键．

10．【分析】首先证明DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，由△DAE∽△CAD，可得AD2＝AE•AC，由此构建方程即可解决问题．

【解答】解：∵AB＝BC，∠ACB＝36°，

∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∠B＝∠CED＝108°，

∴∠AED＝72°，

∴CA＝CD，∠ACD＝36°，

∴∠CAD＝∠CDA＝72°，

∴∠ADE＝∠ACD＝36°，

∴DA＝ED＝EC，设AB＝x，则AD＝DE＝EC＝x，

∵∠DAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACD，

∴△DAE∽△CAD，

∴AD2＝AE•AC，

∴x2＝（2﹣x）•2，

∴x＝﹣1或﹣﹣1（舍弃），

∴AB＝﹣1，

故选：A．

【点评】本题考查相似三角形的应用，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．

二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11．【分析】利用公式法求解可得．

【解答】解：∵a＝2，b＝﹣5，c＝﹣1，

∴△＝25﹣4×2×（﹣1）＝33＞0，

则x＝，

即x1＝，x2＝，

故答案为：x1＝，x2＝．

【点评】此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意选择适宜的解题方法是解此题的关键．

12．【分析】根据“直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于点A，过点C（0，2）作AO的平行线交双曲线于点B”，得到BC的解析式，根据“OD＝4，OC＝2，BC∥AO”，得到△BCD～△AOD，结合点A和点B的坐标，根据点A和点B都在双曲线上，得到关于m的方程，解之，得到点A的坐标，即可得到k的值．

【解答】解：∵OA的解析式为：y＝，

又∵AO∥BC，点C的坐标为：（0，2），

∴BC的解析式为：y＝，

设点B的坐标为：（m， m+2），

∵OD＝4，OC＝2，BC∥AO，

∴△BCD～△AOD，

∴点A的坐标为：（2m， m），

∵点A和点B都在y＝上，

∴m（）＝2m•m，

解得：m＝2，

即点A的坐标为：（4，），

k＝4×＝，

故答案为：．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确掌握代入法和三角形相似的判定定理是解题的关键．

13．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理、三角形相似可以求得GE的长，本题得以解决．

【解答】解：作EF⊥BC于点F，

∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB＝AC＝5，cos∠C＝，

∴AD⊥BC，AD＝3，CD＝4，

∴AD∥EF，BC＝8，

∴EF＝1.5，DF＝2，△BDG∽△BFE，

∴，BF＝6，

∴DG＝1，

∴BG＝，

∴，

得BE＝，

∴GF＝BE﹣BG＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14．【分析】H经过的路径是以OE为直径的弧，连接OE，首先求得△OPE的面积，然后利用三角形面积公式求得OH的长，然后在直角△OEH中，利用三角函数求得∠OEH的度数，然后利用长公式即可求解．

【解答】解：连接OE．

S△OPE＝××7＝，

在直角△OEA中，OE＝＝＝＝5，

PE＝＝，

∵S△OPE＝PE•OH，即×OH＝，

∴OH＝5，

∴在直角△OEH中，sin∠OEH＝＝＝，

∴∠OEH＝45°，

点H的运动路径长是：＝．

故答案是：．

【点评】本题考查了点的运动轨迹以及弧长公式，理解H运动的路径，求得对应的圆心角是关键．

15．【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，由折叠的性质可求BF＝BC＝10，EF＝CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形

∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，

∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，

∴BF＝BC＝10，EF＝CE，

在Rt△ABF中，AF＝＝6

∴DF＝AD﹣AF＝4

在Rt△DEF中，DF2+DE2＝EF2＝CE2，

∴16+（8﹣CE）2＝CE2，

∴CE＝5

故答案为：5

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

三．解答题（共8小题，满分75分）

16．【分析】分腰长为5和底边为5两种情况，根据三角形三边关系定理及等腰三角形的特点，确定另两边的长，从而确定m的值．

【解答】解：方程x2﹣6x+m＝0，得x1+x2＝6，

当5为腰长时，则x2﹣6x+m＝0的一个根为5，

则另一根为1，

∵5，5，1能组成等腰三角形，

∴此时m＝5×1＝5；

当5为底边时，x2﹣6x+m＝0有两个相等的实数根，

故b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，

解得：m＝9，

∴方程为x2﹣6x+9＝0，

解得：x1＝x2＝3，

∵3，3，5能组成等腰三角形，

∴此时m＝9．

所以m的值为5或9．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程的解的定义，三角形三边关系和等腰三角形的性质．

17．【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；

（2）首先根据题意分别画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与获奖的情况，再利用概率公式求解即可求得他们获奖的概率，比较即可求得答案．

【解答】解：（1）有4张纸牌，它们的背面都是小猪佩奇头像，正面为2张笑脸、2张哭脸，翻一次牌正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖，

则小芳获奖的概率＝；

（2）设两张笑脸牌分别为笑1，笑2，两张哭脸牌分别为哭1，哭2，画树状图如下：

小杨：

∵共有12种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有10种情况，

∴小杨获奖的概率是：＝；

小月：

∵共有16种等可能的结果，翻开的两张纸牌中出现笑脸的有12种情况，

∴小月获奖的概率是：＝；

∵＞，

∴P（小杨获奖）＞P（小月获奖），

∴小杨获奖的机会更大些．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意小杨属于不放回实验，小月属于放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

18．【分析】（1）求出∠ODA+∠PDA＝∠ADC+∠DAO＝90°，根据切线的判定得出即可；

（2）求出∠PDC＝∠DOC，解直角三角形求出＝，设DC＝4x，OC＝3x，求出3x+3＝5x，求出x，即可得出答案．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠OAD，

∵CD⊥AB于点C，

∴∠OAD+∠ADC＝90°，

∴∠ODA+∠ADC＝90°，

∵∠PDA＝∠ADC，

∴∠PDA+∠ODA＝90°，

即∠PDO＝90°，

∴PD⊥OD，

∵D在⊙O上，

∴PD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠PDO＝90°，

∴∠PDC+∠CDO＝90°，

∵CD⊥AB于点C，

∴∠DOC+∠CDO＝90°，

∴∠PDC＝∠DOC，

∵，

∴＝，

设DC＝4x，CO＝3x，则OD＝5x，

∵AC＝3，

∴OA＝3x+3，

∴3x+3＝5x，

∴x＝，

∴OC＝3x＝，OD＝OB＝5x＝，

∴BC＝12．

【点评】本题考查了勾股定理、与圆有关的计算、切线的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．

19．【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；

（2）利用一次函数解析式求得C（4，0），即OC＝4，即可得出△AOB的面积＝×4×3＝6；

（3）分类讨论：当AO为等腰三角形腰与底时，求出点E坐标即可．

【解答】解：（1）如图，在Rt△OAD中，∠ADO＝90°，

∵tan∠AOD＝，AD＝3，

∴OD＝2，

∴A（﹣2，3），

把A（﹣2，3）代入y＝，考点：n＝3×（﹣2）＝﹣6，

所以反比例函数解析式为：y＝﹣，

把B（m，﹣1）代入y＝﹣，得：m＝6，

把A（﹣2，3），B（6，﹣1）分别代入y＝kx+b，得：，

解得：，

所以一次函数解析式为：y＝﹣x+2；

（2）当y＝0时，﹣ x+2＝0，

解得：x＝4，

则C（4，0），

所以；

（3）当OE3＝OE2＝AO＝，即E2（﹣，0），E3（，0）；

当OA＝AE1＝时，得到OE1＝2OD＝4，即E1（﹣4，0）；

当AE4＝OE4时，由A（﹣2，3），O（0，0），得到直线AO解析式为y＝﹣x，中点坐标为（﹣1，1.5），

令y＝0，得到y＝﹣，即E4（﹣，0），

综上，当点E（﹣4，0）或（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）时，△AOE是等腰三角形．

【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

20．【分析】作PH⊥AB，由题意得∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，设PH＝x，则AH＝x，BH＝x，PB＝x，由AB＝16可得关于x的方程，解之可得．

【解答】解：过点P作PH⊥AB于点H，

由题意得∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，

设PH＝x，则AH＝x，BH＝x，PB＝x，

∵AB＝16，

∴x+x＝16，

解得：x＝8﹣8，

∴PB＝x＝8﹣8，

答：灯塔P与B之间的距离为（8﹣8）km．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，注意在解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．

21．【分析】（1）由图象可知：B（2，﹣4.8），将点B坐标代入函数y＝ax2即可求解；

（2）设货车从中间通过，设点D在抛物线上，则D横坐标为1.2，求得BD即可求解．

【解答】解：（1）由图象可知：B（2，﹣4.8），

将点B坐标代入函数y＝ax2，解得：a＝﹣1.2，

则函数的表达式为：y＝﹣1.2x2，

（2）设货车从中间通过，如下图BD为车辆通过的最大高度，

设点D在抛物线上，则D横坐标为1.2，代入二次函数表达式，

解得BD＝1.2×1.22＝1.728米，即最大通过高度为1.728米，

而2.6＞1.728，

故不能通过．

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．要弄清楚题意，考虑到最大允许的高度即可．

22．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；

（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE＝EH＝HC，设BE＝EH＝HC＝x，构建方程求出x即可解决问题；

（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，

∴△ABF∽△ACE．

（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．

∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，

∴BE＝EH，

∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，

∴∠HCE＝∠HEC＝45°，

∴HC＝EH，

∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC＝x，

∵BC＝+1，

∴x+x＝+1，

∴x＝1，

在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，

∴tan∠EAB＝＝＝﹣1．

（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小．

作EM⊥BD于M．易知BM＝EM＝，

∵AC＝＝2+，

∴OA＝OC＝OB＝AC＝，

∴OH＝OF＝OA•tan∠OAF＝OA•tan∠EAB＝•（﹣1）＝，

∴HM＝OH+OM＝，

在Rt△EHM中，EH＝＝＝．

∴PE+PF的最小值为．

【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

23．【分析】（1）利用待定系数法求解可得；

（2）设点D坐标为（m， m2﹣m+2），则E点的坐标为（m，﹣ m+2），由DE＝（﹣m+2）﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2可得答案；

（3）分点D在DE上方和下方两种情况，用m的代数式表示出DE的长度，依据DE＝2得出关于m的方程，解之可得．

【解答】解：（1）把点B（4，0），C（0，2）代入直线y＝kx+t，得：

，

解得，

∴y＝﹣x+2；

把点A（1，0）、B（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+bx+c，

得：，

解得，

∴y＝x2﹣x+2；

（2）设点D坐标为（m， m2﹣m+2），E点的坐标为（m，﹣ m+2），

∴DE＝（﹣m+2）﹣（m2﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，

∴当m＝2时，DE的长最大，为2，

当m＝2时， m2﹣m+2＝﹣1，

∴D（2，﹣1）；

（3）①当D在E下方时，如（2）中，DE＝﹣m2+2m，OC＝2，OC∥DE，

∴当DE＝OC时，四边形OCED为平行四边形，

则﹣m2+2m＝2，

解得m＝2，

此时D（2，﹣1）；

②当D在E上方时，DE＝（m2﹣m+2）﹣（﹣m+2）＝m2﹣2m，

令m2﹣2m＝2，

解得m＝2，

∴此时D（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+），

综上所述，点D的坐标是（2，﹣1）或（2+2，3﹣）或（2﹣2，3+）时，都可以使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形．

【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及平行四边形的判定与性质等知识点．

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