清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）

1．已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）

A． B． C． D．取决于的值

【答案】C

【解析】注意，答案C．

2． 已知的三个内角所对的边为．下列条件中，能使得的形状唯一确定的有（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AD．

3．已知函数，下列说法中正确的有（ ）

A．在点处有公切线

B．存在的某条切线与的某条切线平行

C．有且只有一个交点

D．有且只有两个交点

【答案】BD

【解析】注意到为函数在处的切线，如图，因此答案BD．

4．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点．下列说法中正确的有（ ）

A．以线段为直径的圆与直线一定相离

B．的最小值为

C．的最小值为

D．以线段为直径的圆与轴一定相切

【答案】AB

【解析】对于选项A，点到准线的距离为，于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离；对于选项B，C，设，则，于是，最小值为4．也可将转化为中点到准线的距离的2倍去得到最小值；对于选项D，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误．

5．已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．下列说法中正确的有（ ）

A．时，满足的点有两个

B．时，满足的点有四个

C．的周长小于

D．的面积小于等于

【答案】ABCD．

【解析】对于选项A，B，椭圆中使得最大的点位于短轴的两个端点；对于选项C，的周长为；选项D，的面积为．

6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：

甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；

乙：我没有获奖，丙获奖了；

丙：甲、丁中有且只有一个获奖；

丁：乙说得对．

已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（ ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】BD

【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．

7．已知为圆的一条弦（非直径），于，为圆上任意一点，直线与直线相交于点，直线与直线相交于点．以下说法正确的有（ ）

A．四点共圆 B．四点共圆

C．四点共圆 D．以上三个说法均不对

【答案】AC

【解析】对于选项A，即得；对于选项B，若命题成立，则为直径，必然有为直角，不符合题意；对于选项C，即得．答案：AC．

8．是为锐角三角形的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】必要性：由于，

类似地，有，于是．

不充分性：当时，不等式成立，但不是锐角三角形．

9．已知为正整数，且，那么方程的解的组数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由于，故．

若，则，可得；

若，则，可得；

若，则，进而解得；

若，则，可得．

答案：B．

10．集合，任取这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

11．已知，则下列各式中成立的有（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】BD

【解析】令，则，所以，以上三式相加，即有．

类似地，有，以上三式相加，即有．答案BD．

12．已知实数满足，则的最大值也最小值乘积属于区间（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设函数，则其导函数，作出的图象，函数的图象在处的切线，以及函数的图象过点和的割线，如图，于是可得，左侧等号当或时取得； 右侧等号当时取得．因此原式的最大值为，当时取得；最小值为，当时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为．答案B．

13．已知，则下列结论正确的有（ ）

A．的最大值为 B．的最大值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】ABD

14．数列满足，对任意正整数，以下说法中正确的有（ ）

A．为定值 B．或

C．为完全平方数 D．为完全平方数

【答案】ACD

【解析】因为，选项A正确；由于，故，又对任意正整数恒成立，所以，故选项C、D正确．计算前几个数可判断选项B错误．

说明：若数列满足，则为定值．

15．若复数满足，则可以取到的值有（ ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【解析】因为，故，等号分别当和时取得．答案CD．

16． 从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】从2016的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2016个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016和1008．考虑到，因此所求正多边形的个数为

．答案C．

17．已知椭圆与直线，过椭圆上一点作的平行线，分别交于两点．若为定值，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设点，可得，故意为定值，所以，答案：C．

说明：（1）若将两条直线的方程改为，则；（2）两条相交直线上各取一点，使得为定值，则线段中点的轨迹为圆或椭圆．

18． 关于的不定方程的正整数解的组数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数相乘的时候，可以有等等不同的次序．记个实数相乘时不同的次序有种，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据卡特兰数的定义，可得．答案：AB．

关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利》．

20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：

表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁的概率是0.4．那么甲刻冠军的概率是 ．

【答案】0.165

【解析】根据概率的乘法公式 ，所示概率为．

21．在正三棱锥中，的边长为1．设点到平面的距离为，异面直线的距离为．则 ．

【答案】

【解析】当时，趋于与平面垂直，所求极限为中边上的高，为．

22．如图，正方体的棱长为1，中心为，则四面体的体积为 ．

【答案】

【解析】如图，．

23． ．

【答案】0

【解析】根据题意，有．

24．实数满足，则的最大值为 ．

【答案】1

【解析】根据题意，有，于是，等号当时取得，因此所求最大值为1．

25．均为非负实数，满足，则的最大值与最小值分别为 ．

【答案】

【解析】由柯西不等式可知，当且仅当时，取到最大值．根据题意，有，于是解得．于是的最小值当时取得，为．

26．若为内一点，满足，设，则 ．

【答案】

【解析】根据奔驰定理，有．

27．已知复数，则 ．

【答案】

【解析】根据题意，有．

28．已知为非零复数，的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，所对应的向量的端点运动所形成的图形的面积为 .

【答案】

【解析】设，由于，于是如图，弓形面积为，四边形的面积为.

于是所示求面积为.

29．若，则 ．

【答案】

【解析】根据题意，有

．

30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有 种填法．

【答案】441000

31．设是集合的子集，从中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则中元素个数的最大值为 ．

【答案】8

【解析】一方面，设，其中．不妨假设．

若，由题意，，且，故．同理．又因为，所以，矛盾！故．

另一方面，取，满足题意．

综上所述，中元素个数的最大值为8．

2019年清华大学自主招生暨领军计划数学试题（解析版）