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发布时间：1714287272


一、

斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明（如右图）。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……起始的两项是1、1，之后的每一都等于前面两项。
他的发明者是意大利数学家列昂纳多·斐波那契
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：
an
1
nn
1515

225
斐波那契数列的简介
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
下面，我就来具体说明一下通项公式的推导过程。

二、斐波那契数列通项公式的推导
斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……已知
a=1,a2=1,an=a(n1+a(n2(n>=3
设an-ma(n1=n(a(n1-ma(n2得m+n=1mn=-1构造方程x-x-1=0,解得m=
2
12
5
,n=
12
5
或m=
12
5
,n=
12
5

所以an-
12
5
a(n1=
121
5
（a(n1-
12
5
a(n2）=[
12
5
]2(a(n2-
12
5
a(n3
=……=[
12
5
](n2(a2-
52
a1————————————————(1式

或者an-
12
5
a(n1=
12
5
（a(n1-
12
5
a(n2）=[
12
5
]2(a(n2-
12
5
a(n3
=……=[
12
5
](n2(a2-
12
5
a1————————————————（2）式
由（1）式,（2）式,可得
an=[
121255
](n2(a2-
1212
5
a1————————————————（3）式
an=[](n2(a2-
5
a1—————————————————（4）式
将式（3）*化简得
121255
125
-（4）*
12
5
,
an=[
1212
5
](n1(a2-
1212
5
a1
an=[
5
](n1(a2-
5
a1
两式相减得：
5an=[
12
5
](n-[
12
5
]
(n

得到an
1
nn
1515

225
以上的推导方法称为迭代法，在通项公式和求和公式推导的过程中广泛应用。
三、
利用特征方程的办法记sn=a1+a2+...+an由于
an=sn-sn1=a(n1+a(n2=sn1-sn2+sn2-sn3
斐波那契数列求和公式的推导
=sn1-sn3所以

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