浅谈度量空间介绍
发布时间：2023-04-05 11:45:31
度量空间
摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过程.因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质.并且引入一些度量空间的其它性质.关键词:度量空间导集闭集
正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.1.度量空间的定义
度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.定义1.1设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x,y都有唯一确定的实数px,y与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：
(1正定性px,y0,并且px,y0当且仅当xy；(2对称性px,ypx,y；
(3三角不等式px,zpx,ypy,z.则称p是集合X的一个度量，同时将X,p称为度
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量空间或距离空间.X中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.定义1.2设X,p是一个度量空间，xX.对于任意给定的实数0,集合yXpx,y，记作Bx,,称为一个以x为中心，以为半径的球形邻域，简称为x的一个球形邻域.2度量空间的一些例子
例2.1离散的度量空间
设X是任意的非空集合，对X中的任意两点x,yX，令
1当xydx,y0当xy
容易验证dx,y满足关于距离的定义中的条件.我们称X 