2019年数学中考试卷(及答案)-

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2019年数学中考试卷(及答案

一、选择题
1．已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C． D．
2．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
3．为了绿化校园，30名学生共种78棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵，设男生有x人，女生有y人，根据题意，所列方程组正确的是（ ）

xy78A．
3x2y30xy78B．
2x3y30xy30C．
2x3y78xy30D．
3x2y784．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ）

A．14cm 2B．4cm C．15cm D．3cm
5．方程(m2x3mxA．m10有两个实数根，则m的取值范围（ ）
45
2B．m5且m2 C．m3
2D．m3且m2
6．如图,某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为112m2，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是（ ）

A．2x2-25x+16=0
B．x2-25x+32=0
C．x2-17x+16=0
D．x2-17x-16=0
7．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）

A．40°
位数分别是（ ）
B．50°
C．60°
D．70°
8．某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中

A．15.5，15.5 B．15.5，15 C．15，15.5 D．15，15
9．如图，AB为⊙O直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA为（ ）

A．50°
B．20°
C．60°
D．70°
10．一元二次方程(x1(x12x3的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 11．cos45°的值等于( A．2 12．8×200=x+40 解得：x=120
答：商品进价为120元． 故选：B． 【点睛】
此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．
B．1
C．B．有两个相等的实数根 D．没有实数根
3
2D．2
2
二、填空题
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_____．

14．如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= ．


15．中国的陆地面积约为9 600 000km2，把9 600 000用科学记数法表示为 ． 16．如图所示，图①是一个三角形，分别连接三边中点得图②，再分别连接图②中的小三角形三边中点，得图③……按此方法继续下去．

在第n个图形中有______个三角形（用含n的式子表示）
17．甲、乙两人在1200米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y（米）表示甲、乙两人之间的距离，x（秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y与x函数关系，那么，乙到达终点后_____秒与甲相遇．

18．如图，把三角形纸片折叠，使点B，点C都与点A重合，折痕分别为DE,FG，若C15,AEEG2厘米，△ABC则的边BC的长为__________厘米。

k（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACDx的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为_____．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=

20．计算：x1(1＝________．
x22x1x1三、解答题
21．电器专营店的经营利润受地理位置、顾客消费能力等因素的影响，某品牌电脑专营店设有甲、乙两家分店，均销售A、B、C、D四种款式的电脑，每种款式电脑的利润如表1所示．现从甲、乙两店每月售出的电脑中各随机抽取所记录的50台电脑的款式，统计各种款式电脑的销售数量，如表2所示． 表1：四种款式电脑的利润 电脑款式 利润（元/台）
A 160
B 200
C 240
D 320

表2：甲、乙两店电脑销售情况 电脑款式
甲店销售数量（台） 乙店销售数量（台）8
A 20 8
B 15 10
C 10 14
D 5 18

试运用统计与概率知识，解决下列问题：
（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为 ； （2）经市场调查发现，甲、乙两店每月电脑的总销量相当．现由于资金限制，需对其中一家分店作出暂停营业的决定，若从每台电脑的平均利润的角度考虑，你认为应对哪家分店作出暂停营业的决定？并说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两点A（﹣1，0）和B（4，0），与Y轴交于点C，连接AC、BC、AB，


（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线上一点，连接BD、CD，满足SDBC3S5ABC，求点D的坐标；
（3）点E在线段AB上（与A、B不重合），点F在线段BC上（与B、C不重合），是否存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C是点E是OB上一点，且连接BH．
的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，
（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．
24．4月18日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝A，小江抓着风筝线的一端站在D处，他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°，同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC＝30米的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°，已知小江与居民楼的距离CD＝40米，牵引端距地面高度DE＝1.5米，根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈51212，cos67°≈，tan67°≈，135132≈1.414．


25．如图1，菱形ABCD中，ABC120，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PAPE，PE交CD于F，连接CE.

（1）证明：△ADP≌△CDP； （2）判断△CEP的形状，并说明理由.
（3）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接写出线段AP与线．．段CE的数量关系.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除


一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解． 【详解】
∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误； ∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；

当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误； C正确． 故选C． 【点睛】
本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
2．B 解析：B 【解析】 【分析】
①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解． 【详解】
①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4； ②点P在BC上时，3＜x≤5，

∵∠APB+∠BAP=90°， ∠PAD+∠BAP=90°， ∴∠APB=∠PAD， 又∵∠B=∠DEA=90°， ∴△ABP∽△DEA，
ABAPABAP =，
DEADDEAD3x即， y4∴∴y=12，
x纵观各选项，只有B选项图形符合， 故选B．
3．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

xy30该班男生有x人，女生有y人．根据题意得：，
3x2y78故选D．
考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．
4．A 解析：A 【解析】
运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为x，则
(6252(52x2102，x14cm（负值已舍），故选A
5．B 解析：B 【解析】 【分析】
根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到m20，3m≥0，3m【详解】 解：根据题意得
214m20，然后解不等式组即可．
4m20， 3m≥0，
3m解得m≤214m20，
45且m≠2．
2故选B． 6．C 解析：C 【解析】
解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为（16-2x）m，（9-x）m；根据题意即可得出方程为：（16-2x）（9-x）=112，整理得：x2-17x+16=0．故选C． 点睛：本题考查了一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
7．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据折叠的知识和直线平行判定即可解答. 【详解】


解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC， 又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得 ∠2=∠DBC，
又因为∠2+∠ABC=180°， 所以∠EBC+∠2=180°，
即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°. 可求出∠2=70°. 【点睛】
掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.
8．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：
132146158163172181=15岁，
268321该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，
则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁， 故选D．
9．D 解析：D 【解析】
-∠DCB=90°-20°=70°题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
10．A 解析：A 【解析】 【分析】
先化成一般式后，在求根的判别式，即可确定根的状况． 【详解】

解：原方程可化为：x22x40，
a1，b2，c4，
(2241(4200， 方程由两个不相等的实数根．
故选：A． 【点睛】
本题运用了根的判别式的知识点，把方程转化为一般式是解决问题的关键．
11．D 解析：D 【解析】 【分析】
将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】 = 解：cos45°故选D． 【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．
212．无

二、填空题

13．60°【解析】试题解析：∵∠ACB=90°∠ABC=30°∴∠A=90°-30°=60°∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上∴AC=A′C∴△A′AC是等边三角形∴∠ACA
解析：60° 【解析】
试题解析：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°， -30°=60°∴∠A=90°，
∵△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C时点A′恰好落在AB上， ∴AC=A′C，
∴△A′AC是等边三角形， ∴∠ACA′=60°， ∴旋转角为60°． . 故答案为60°14．110°【解析】∵a∥b∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°
解析：110°

【解析】
∵a∥b，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°
15．6×106【解析】【分析】【详解】将9600000用科学记数法表示为96×106故答案为96×106 解析：6×106． 【解析】 【分析】 【详解】
106． 将9600000用科学记数法表示为9.6×106． 故答案为9.6×16．【解析】【分析】分别数出图①图②图③中的三角形的个数可以发现：第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3如图③中三角形的个数为9=4×3-3按照这个规律即可求出第n各图形中有多少三角形【详解】分 解析：4n3
【解析】 【分析】
分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数，可以发现：第几个图形中三角形的个数就3-3．按照这个规律即可求出第n各是4与几的乘积减去3．如图③中三角形的个数为9=4×图形中有多少三角形． 【详解】
分别数出图①、图②、图③中的三角形的个数， 1-3； 图①中三角形的个数为1=4×2-3； 图②中三角形的个数为5=4×3-3； 图③中三角形的个数为9=4×…
可以发现，第几个图形中三角形的个数就是4与几的乘积减去3． 按照这个规律，如果设图形的个数为n，那么其中三角形的个数为4n-3． 故答案为4n-3． 【点睛】
此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，解答此类题目的关键是根据题目中给出的图形，数据等条件，通过认真思考，归纳总结出规律，此类题目难度一般偏大，属于难题．
17．30【解析】【分析】由图象可以V甲＝9030＝3m/sV追＝90120-30＝1m/s故V乙＝1+3＝4m/s由此可求得乙走完全程所用的时间为：12004＝300s则可以求得此时乙与甲的距离即可求出
解析：30 【解析】 【分析】

由图象可以V甲＝＝3m/s，V追＝＝1m/s，故V乙＝1+3＝4m/s，由此可求得乙走完全程所用的时间为：遇的时间． 【详解】 由图象可得V甲＝＝300s，则可以求得此时乙与甲的距离，即可求出最后与甲相＝3m/s，V追＝＝1m/s，
∴V乙＝1+3＝4m/s， ∴乙走完全程所用的时间为：＝300s，
3＝990m． 此时甲所走的路程为：（300+30）×此时甲乙相距：1200﹣990＝210m 则最后相遇的时间为：故答案为：30 【点睛】
此题主要考查一次函数图象的应用，利用函数图象解决行程问题．此时就要求掌握函数图象中数据表示的含义．
＝30s
18．【解析】【分析】过点E作交AG的延长线于H根据折叠的性质得到根据三角形外角的性质可得根据锐角三角函数求出即可求解【详解】如图过点E作交AG的延长线于H厘米`根据折叠的性质可知：根据折叠的性质可知：（ 解析：423
【解析】 【分析】
过点E作EHAG交AG的延长线于H,根据折叠的性质得到CCAG15, 根据三角形外角的性质可得EAGEGA30,根据锐角三角函数求出GC,即可求解. 【详解】
如图，过点E作EHAG交AG的延长线于H，

C15,AEEG2厘米，`
根据折叠的性质可知：CCAG15,

EAGEGA30,


AG2HG2EGcos3022323,
2根据折叠的性质可知：GCAG23,
BEAE2,
BCBEEGGC2223423.（厘米）
故答案为：423. 【点睛】
考查折叠的性质，解直角三角形，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.
19．【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q过C作CM⊥x轴于M过E作EF⊥x轴于F设D点的坐标为（ab）求出CE的坐标代入函数解析式求出a再根据勾股定理求出b即可请求出答案【详解】如图过D作DQ⊥x轴于Q 解析：25 【解析】
【分析】过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），求出C、E的坐标，代入函数解析式，求出a，再根据勾股定理求出b，即可请求出答案．
【详解】如图，过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，

设D点的坐标为（a，b），则C点的坐标为（a+3，b）， ∵E为AC的中点， ∴EF=11111CM=b，AF=AM=OQ=a， 2222211a，b）， 22E点的坐标为（3+把D、E的坐标代入y=解得：a=2，
k11得：k=ab=（3+a）b，
22x在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2=32， 即22+b2=9，
解得：b=5（负数舍去）， ∴k=ab=25，

故答案为25．
【点睛】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等，得出关于a、b的方程是解此题的关键．
20．【解析】【分析】先对括号内分式的通分并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到÷；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算然后约分即可得到化简后的结果【详解】原式=÷=·=故答案为【点睛 解析：1 x1【解析】 【分析】
先对括号内分式的通分，并将括号外的分式的分母利用完全平方公式变形得到xx12÷x11；接下来利用分式的除法法则将除法运算转变为乘法运算，然后约分即x1可得到化简后的结果. 【详解】 原式=xx122÷x11 x1==xx11. x1·x1 x故答案为【点睛】
1. x1本题考查了公式的混合运算，解题的关键是熟练的掌握分式的混合运算法则.
三、解答题

21．（1）【解析】 【分析】
（1）用利润不少于240元的数量除以总数量即可得；
（2）先计算出每售出一台电脑的平均利润值，比较大小即可得． 【详解】
解：（1）从甲店每月售出的电脑中随机抽取一台，其利润不少于240元的概率为3 （2）应对甲店作出暂停营业的决定
101053，
201510510
故答案为3；
101602020015240103205＝20450（2）甲店每售出一台电脑的平均利润值为（元），
乙店每售出一台电脑的平均利润值为（元）， ∵248＞204，
1608200102401432018＝24850∴乙店每售出一台电脑的平均利润值大于甲店； 又两店每月的总销量相当， ∴应对甲店作出暂停营业的决定． 【点睛】
本题主要考查概率公式的应用，解题的关键是熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比及加权平均数的定义． 22．（1）y171712327,27,xx2；（2）D的坐标为，，22225348,（1，﹣3）或（3，﹣2）．（3）存在，F的坐标为，（2，﹣1）或,． 5524【解析】 【分析】
（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点A，B的坐标可得出AB，AC，BC的长度，由AC2+BC2＝25＝AB2可得出∠ACB＝90°，过点D作DM∥BC，交x轴于点M，这样的M有两个，分别记为M1，M2，由D1M1∥BC可得出△AD1M1∽△ACB，利用相似3三角形的性质结合S△DBC＝SABC ，可得出AM1的长度，进而可得出点M1的坐标，由BM15＝BM2可得出点M2的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，进而可得出直线D1M1，D2M2的解析式，联立直线DM和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组即可求出点D的坐标；
（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况考虑：①当点E与点O重合时，过点O作OF1⊥BC于点F1，则△COF1∽△ABC，由点A，C的坐标利用待定系数法可求出直线AC的解析式，进而可得出直线OF1的解析式，联立直线OF1和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点F1的坐标；②当点E不和点O重合时，在线段AB上取点E，使得EB＝EC，过点E作EF2⊥BC于点F2，过点E作EF3⊥CE，交直线BC于点F3，则△CEF2∽△BAC∽△CF3E．由EC＝EB利用等腰三角形的性质可得出点F2为线段BC的中点，进而可得出点F2的坐标；利用相似三角形的性质可求出CF3的长度，设点F3的坐标为（x，1 x﹣2），结合点C的坐标可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，将其正值代入2
点F3的坐标中即可得出结论．综上，此题得解． 【详解】
（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax+bx﹣2，得：
1aab202 ，解得：，
316a4b20b22∴抛物线的解析式为y＝（2）当x＝0时，y＝123 x﹣x﹣2．
22123x﹣x﹣2＝﹣2，
22∴点C的坐标为（0，﹣2）．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）， ∴AC＝1222=5，BC＝4222 ＝25，AB＝5． ∵AC2+BC2＝25＝AB2， ∴∠ACB＝90°．
过点D作DM∥BC，交x轴于点M，这样的M有两个，分别记为M1，M2，如图1所示． ∵D1M1∥BC， ∴△AD1M1∽△ACB．
3∵S△DBC＝SABC，
5∴AM12, AB5∴AM1＝2，
∴点M1的坐标为（1，0）， ∴BM1＝BM2＝3，
∴点M2的坐标为（7，0）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c（k≠0）， 将B（4，0），C（0，﹣2）代入y＝kx+c，得： 14kc0k2 ， ，解得：c2c2∴直线BC的解析式为y＝1 x﹣2．
2∵D1M1∥BC∥D2M2，点M1的坐标为（1，0），点M2的坐标为（7，0）， ∴直线D1M1的解析式为y＝1117 x﹣ ，直线D2M2的解析式为y＝x﹣．
222211xy22 或123yxx22217x22，
123xx222y联立直线DM和抛物线的解析式成方程组，得：y
x127x227x31x43解得： ，， ，， 1717y2y343yy1222∴点D的坐标为（2﹣7 ，2）．
1+71-7 ），（2+7 ，），（1，﹣3）或（3，﹣22（3）分两种情况考虑，如图2所示．
①当点E与点O重合时，过点O作OF1⊥BC于点F1，则△COF1∽△ABC， 设直线AC的解析设为y＝mx+n（m≠0）， 将A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入y＝mx+n，得：
-mn0m2 ，解得： ，
n2n2∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2． ∵AC⊥BC，OF1⊥BC，
∴直线OF1的解析式为y＝﹣2x．
y2x连接直线OF1和直线BC的解析式成方程组，得： ， 1yx224x5解得： ，
8y5∴点F1的坐标为（48 ，﹣ ）；
55②当点E不和点O重合时，在线段AB上取点E，使得EB＝EC，过点E作EF2⊥BC于点F2，过点E作EF3⊥CE，交直线BC于点F3，则△CEF2∽△BAC∽△CF3E． ∵EC＝EB，EF2⊥BC于点F2， ∴点F2为线段BC的中点， ∴点F2的坐标为（2，﹣1）； ∵BC＝25 ， ∴CF2＝11155 BC＝5 ，EF2＝ CF2＝ ，F2F3＝ EF2＝ ， 2222455 ．
4∴CF3＝设点F3的坐标为（x，∵CF3＝1 x﹣2），
255，点C的坐标为（0，﹣2），
4
11252x﹣2﹣（﹣2）]＝，
16255解得：x1＝﹣ （舍去），x2＝，
22∴x+[2∴点F3的坐标为（35，﹣ ）． 244 ，﹣5综上所述：存在以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，点F的坐标为（385 ），（2，﹣1）或（ ，﹣ ）． 524

【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行线的性质、相似三角形的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）找出过点D且与直线BC平行的直线的解析式；（3）分点E与点O重合及点E与点O不重合两种情况，利用相似三角形的性质及等腰三角形的性质求出点F的坐标．
23．（1）证明见解析；（2）BH＝【解析】 【分析】
（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；
（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．
．

【详解】 （1）连接OC，

∵AB是⊙O的直径，点C是∴∠AOC＝90°， ∵OA＝OB，CD＝AC， ∴OC是△ABD是中位线， ∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥BD， ∵点B在⊙O上， ∴BD是⊙O的切线； （2）由（1）知，OC∥BD， ∴△OCE∽△BFE， ∴，
的中点，
∵OB＝2，
∴OC＝OB＝2，AB＝4，∴，
，
∴BF＝3，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5， ∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH， ∴AB•BF＝AF•BH， 3＝5BH， ∴4×∴BH＝【点睛】
此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键． 24．风筝距地面的高度49.9m． 【解析】
．

【分析】
作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H．设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5， 在Rt△AHE中，利用∠AEH的正切列方程求解即可. 【详解】
如图，作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H．

∵∠ABF=45°，∠AFB=90°，
∴AF=BF，设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5， =在Rt△AHE中，tan67°AH， HE12x28.5， 540x解得x≈19.9 m．
∴∴AM=19.9+30=49.9 m． ∴风筝距地面的高度49.9 m． 【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.
25．（1）证明见解析；（2）CEP是等边三角形，理由见解析；（3）CE【解析】 【分析】
（1）由菱形ABCD性质可知，ADCD，ADPCDP，即可证明； （2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，由PA=PE，推出DCPDEP，可知2AP.
CPFEDF60，由PA═PE=PC，即可证明△PEC是等边三角形；
（3）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形即可解答； 【详解】
（1）证明：在菱形ABCD中，ADCD，ADPCDP， 在ADP和CDP

ADCDADPCDP， DPDP∴ADPCDPSAS. （2）CEP是等边三角形，
由（1）知，ADPCDP，∴DAPDCP，APCP， ∵PAPE，∴DAPDEP， ∴DCPDEP，
∵CFPEFD（对顶角相等），
∴180PFCPCF180DFEDEP， 即CPFEDF60， 又∵PAPE，APCP； ∴PEPC， ∴CEP是等边三角形. （3）CE2AP.
过程如下：证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°， 在△PDA和△PDC中，
PD＝PDPDA＝PDC，， DA＝DC∴△PDA≌△PDC， ∴PA=PC，∠3=∠1， ∵PA=PE， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2，
∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC， ∴∠FPC=EDF=90°， ∴△PEC是等腰直角三角形． ∴CE=2PC=2AP.

【点睛】
本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

2019年数学中考试卷(及答案)-

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