初中数学校本教材

———— 《生活与数学》序言

一、把握数学的生活性——“使教学有生活味”

《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。

二、把握数学的美育性——“使教学有韵味”

数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的特点。

简练、精确是数学的美。数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。

数学很讲究它的逻辑美。数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗？

数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，像圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。

中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只要我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要善于挖掘美的素材，在学生感受美的同时既提高教学质量，又使教学韵味深厚。

三、把握校本教材的可读性-------“使教学有拓展性”

陶行知先生早就说过：“在现状下，把学习的基本自由还给学生。”，经过我们反复的思考和研究，同时邀请专家亲临指点，最终我们确定本课程的基本框架，本课程的设计理念就是要“把学习的基本自由还给学生”，所有的过程基本上都是以学生的活动展开的，真正实现“自主、合作、探究”的学习方式的变革，本课程共分为六个章节，分别是：《古老的数学》，《好玩的数学》，《有用的数学》，《智慧的数学》，《先进的数学》和《美丽的数学》。

在《古老的数学》一章中，并不是把数学史作为一门研究数学的起源、发展过程和规律的学科，而是根据现代心理学发现的一个体现数学史的认知功能的“遗传法则”。从数学一次又一次的飞跃中寻找数学发现的故事，用故事的形式让学生了解这些数学知识产生的背景、体会数学家们为寻找这些知识的付出的艰辛。这样一方面可以让学生从本质上更好的理解自己所学的知识；另一方面也可以以此作为人生观与价值观教育的教材，让学生体会“只有付出努力才会获得成功的人生道理”，“为实现理想而不懈追求的数学精神”。

在《好玩的数学》一章中，利用心理学中“兴趣是学习最好的老师”的规律，以一系列数学游戏为载体，让学生感受到数学并不是“枯燥”的代名词，真正的数学其实可以是乐趣无穷的，以此来激发学生的学习兴趣，并以这种兴趣作为他以后学习数学的动力和源泉。这样一方面可以让学生主动意识到自己爱玩的游戏原来与数学紧密相连，从而为学生学好数学培养内在驱动力；另一方面，也可以在学生玩游戏的过程中帮助学生巩固看似乏味的知识，让学生的学科知识在游戏中得到锻炼和提升。

在《有用的数学》一章中，根据《数学课程标准》：义务教育阶段的数学课程要求“人人学有价值的数学”，设计了很多贴近学生、符合实际、利用学生现有知识能够解决的生活实例。这样做可以使学生深刻的感受到生活中处处存在着数学，数学来源于生活。这些在生活中经常碰到的数学问题需要我们去探究，学生通过对这些数学问题的解决，能够更具体更深刻的理解什么是数学，知道学习和学好数学是很有用的，从而进一步培养学生学习数学的兴趣、增强学生学好数学的内在驱动力。

在《智慧的数学》一章中，通过穿插一些有趣的数学小故事,以改变人们认为科学研究枯燥无味的看法。本章内容主要包括有趣的数学问题、经典的数学问题、奇怪的数学问题。通过对“有趣的数学问题”的研究，使学生对数学中的存在的智慧产生强烈的好奇与追求，从而激发学生天生的求知欲；通过对“经典的数学问题”的研究使学生掌握一些基本的数学方法，学会用数学的方法解决问题；通过对“奇怪的数学问题”的研究，帮助学生开阔眼界，增长知识、锻炼和培养学生的创新思维。

在《先进的数学》一章中，主要学习和研究数学软件“几何画板”的使用方法。通过对几何画板软件的学习，可以激发学生的学习兴趣，拓宽学生的知识面，改变学生“数学枯燥论”和“数学无用论”的观点；可以开发学生的学习潜能，培养学生的学习习惯，改变学生的学习方式，从而实现提高学生数学素养的目的；另外，通过对几何画板软件的学习，可为学生学习其他计算机软件打下了一个结实的基础，从而提高学生的电脑素养，为学生终身发展和可持续发展做出数学教育上的贡献。

在《美丽的数学》一章中，展示给大家的是数学的美丽无所不在，数学的符号、公式、算法、图形、表格、方程、解题思路、解题方法……都是很美丽的。这些“数学之美”都需要我们能够和我们的学生一起去寻找、去发现、去挖掘、去欣赏，使美丽的数学成为学生快乐学习的源泉。数学的美丽使我们深刻感受到数学的教育不应该仅仅是作为对数学学科的教学，更应该把它作为一种审美教育的载体，用它来感染和启迪学生的心灵，让学生的人格更健全，心灵更美好。

开发校本课程要有高度的责任感、使命感和强烈的事业心，决不能仅仅凭着自己的兴趣，更重要的是要把它作为自己的事业来做，要付出艰辛的努力、经历痛苦的历程，只有付出艰辛的努力、经历痛苦的历程才能在这个过程中感受成功的喜悦与幸福。

开发校本课程，首先要有一个追求（对我们国家的教育事业无比热爱，功利心不能太强，不要一说到数学研究就问这件事情对我职称评审有没有用，对我评骨干教师有没有用……），要确定一个核心思想（即开发的核心宗旨、研究方向、基本要求），要充分利用校内外各类资源，要不断地进行课程资源的积累和课程特色的培育；校本课程的规划要根据学生的课程需要来制订；要选择贴近时代特点、社会发展与学生实际的课程内容，要变革教学方式和学习方式，充分发挥师生的独立性、自主性和创造性，引导学生在身心愉悦的环境中实践和研究。

校本课程的开发和建设是一个漫长的道路，需要我们时时刻刻做一个有心人，心中时时刻刻装着为学生的终身发展和可持续发展考虑，装着为我们数学教学向数学教育转变服务的理想和追求。

第一章 兴趣数学

第一节 七桥问题（一笔画问题）

18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛A与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线

只画一次不准重复），并且最后返回起点？

欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？

如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理 ：  如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，

那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

一笔画：

■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）

图例1

图例2

图例3

图例4

第二节 四色问题

人人都熟悉地图，可是绘制一张普通的政区图，至少需要几种颜色，才能把相邻的政区或区域通过不同的颜色区分开来，就未必是一个简单的问题了。

这个地图着色问题，是一个著名的数学难题。大家不妨用一张中国政区图来试一试，无论从哪里开始着色，至少都要用上四种颜色，才能把所有省份都区别开来。所以，很早的时候就有数学家猜想：“任何地图的着色，只需四种颜色就足够了。”这就是“四色问题”这个名称的由来。

四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。

四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”（上右图）。

这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

数学史上正式提出“四色问题”的时间是在1852年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个“悬案”。

一直到二十年前的1976年9月，《美国数学会通告》正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足1200个小时，作了100亿判断，最后成功地证明了四色问题，轰动了世界。

这是一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者的大事，当两位数学家将他们的研究成果发表的时候，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决。

第三节 麦比乌斯带

数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？

对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家麦比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。

　　有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。

　　一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯曲着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圆圈。

　　麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。

　　圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 麦比乌斯圈就这样被发现了。

　　做几个简单的实验，就会发现“麦比乌斯圈”有许多让我们感到惊奇而有趣的结果。弄好一个圈,粘好,绕一圈后可以发现,另一个面的入口被堵住了,原理就是这样啊.

实验一

　　如果在裁好的一张纸条正中间画一条线，粘成“麦比乌斯圈”，再沿线剪开，把这个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟是一个大圈儿。

实验二

　　如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开，剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现，纸带不一分为二，一大一小的相扣环。

　　有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中，只是每条纸圈本身并不打结罢了。

奇妙之处有三：

　　一、麦比乌斯环只存在一个面。

　　二、如果沿着麦比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环（在本文中将之编号为：环0），而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。

　　三、如果再沿着环0的中间剪开，将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的（在本文中将之编号为：环1和环2），从此以后再沿着环1和环2以及因沿着环1和环2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两个与环0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境……且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。

数学中有一个重要分支叫拓扑学，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，麦比乌斯圈变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。

麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。　

一、1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。　

二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。　

三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车——它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。　

四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。

垃圾回收标志 Power Architecture 标志

第四节 分割图形

分割图形是使我们的头脑灵活，增强观察能力的一种有趣的游戏。

我们先来看一个简单的分割图形的题目──分割正方形。

在正方形内用4条线段作“井”字形分割，可以把正方形分

成大小相等的9块，这种图形我们常称为九宫格。

用4条线段还可以把一个正方形分成10块，只是和九宫格不同的是，每块的大小不一定都相等。那么，怎样才能用4条线段把正方形分成10块呢？请你先动脑筋想想，在动脑的同时还要动手画一画

其实，正方形是不难分割成10块的，下面就是其中两种分割方法。

练习：想一想，用4条线段能将正方形分成11块吗？应该怎样分？

第五节 数学故事

（1）奇特的墓志铭

在大数学家阿基米德的墓碑上，镌刻着一个有趣的几 何图形：一个圆球镶嵌在一个圆柱内。相传，它是阿基米 德生前最为欣赏的一个定理。

在数学家鲁道夫的墓碑上，则镌刻着圆周率π的35位 数值。这个数值被叫做。”鲁道夫数”。它是鲁道夫毕生心血 的结晶。

大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他 的墓碑上刻上一个正17边形。因为他是在完成了正17边形 的尺规作图后，才决定献身于数学研究的……

不过，最奇特的墓志铭，却是属于古希腊数学家丢番 图的。他的墓碑上刻着一道谜语般的数学题： “过路人，这座石墓里安葬着丢番图。他生命的1／6 是幸福的童年，生命的1／12是青少年时期。又过了生命 的 1／ 7他才结婚。婚后 5年有了一个孩子，孩子活到他 父亲一半的年纪便死去了。孩子死后，丢番图在深深的悲 哀中又活了4年，也结束了尘世生涯。过路人，你知道丢 番图的年纪吗？”

丢番图的年纪究竟有多大呢？

设他活了X岁，依题意可列出方程。这样，要知道丢番图的年纪，只要解出这个方程就行了。

这段墓志铭写得太妙了。谁想知道丢番图的年纪，谁 就得解一个一元一次方程；而这又正好提醒前来瞻仰的人 们，不要忘记了丢番图献身的事业。

在丢番图之前，古希腊数学家习惯用几何的观点看待 遇到的所有数学问题，而丢番图则不然，他是古希腊第一 个大代数学家，喜欢用代数的方法来解决问题。现代解方程的基本步骤，如移项、合并同类项、，方程两边乘以同一因子等等，丢番图都已知道了。他尤其擅长解答不定方 程，发明了许多巧妙的方法，被西方数学家誉为这门数学 分支的开山鼻祖。

丢番图也是古希腊最后一个大数学家。遗憾的是，关 于他的生平。后人几乎一无所知，既不知道他生于何地， 也不知道他卒于何时。幸亏有了这段奇特的墓志铭，才知 道他曾享有84岁的高龄。

（2）希腊十字架问题

图上那只巨大的复活节彩蛋上有一个希腊十字架，从它引发出许多切割问题，下面是其中的三个。

　(a)将十字架图形分成四块，用它们拼成一个正方形;

有无限多种办法把一个希腊十字架分成四块，再把它们拼成一个正方形，下图给出了其中的一个解法。 奇妙的是，任何两条切割直线，只要与图上的直线分别平行，也可取得同样的结果，分成的四块东西总是能拼出一个正方形。

(b)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个菱形;

(c)将十字架图形分成三块，用它们拼成一个矩形，要求其 长是宽的两倍。

第二章 最完美的数

完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯(Pythagoras)的信徒发现的,他们注意到:

数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和: 6=1+2+3,

下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14

接着是496和8128.他们称这类数为完美数.

欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:

若2n-1是素数,则数

2n-1[2n-1] (1) 是完全数.

两千年后,欧拉证明每个偶完全数都具有这种形式.这就在完全数与梅森数(形式为的素数)之间建立了紧密的联系,到1999年6月1日为止,共发现了38个梅森素数,这就是说已发现了38个完全数.

1：完全数是非常奇特的数,它们有一些特殊性质,例如每个完全数都是三角形数,即都能写成n(n+1)/2.

6=1+2+3=3*4/2

28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2

496=1+2+3+4+...+31=31*32/2　　....

2n-1(2n-1)=1+2+3+...+(2n-1)=(2n-1)2n/2

2：把它们(6除外)的各位数字相加,直到变成一位数,那么这个一位数一定是1;它们都是连续奇数的立方和(6除外),

22(23-1)=28=13+33

24(25-1)=496=13+33+53+73

26(27-1)=8128=13+33+53+73+93+113+133+153 　　....

2n-1(2n-1)=13+33+53+...+(2(n+1)/2-1)3

3：除了因子1之外,每个完全数的所有因子(包括自身)的倒数和等于1,比如:

1/2+1/3+1/6=1

1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1 ....

4：完全数都是以6或8结尾的,如果以8结尾,那么就肯定是以28结尾.

注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数,如果真的存在奇完全数.

第三章 有理数的巧算

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．

　1．括号的使用　　

　　在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．

　　例1 计算：

　　分析 中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意 在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．

　　例2 计算下式的值：

211×555+445×789+555×789+211×445．

分析 直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．

　解 原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)

　　　　 　=211×(555+445)+(445+555)×789

　　　　 　=211×1000+1000×789

　　　　 　=1000×(211+789)

　　　　 　=1 000 000．

说明 加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．

例3 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

　　分析与解 因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．

　　现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然

n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．

　　这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即

(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．

所以，所求最小非负数是1．

说明 本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．

2．用字母表示数

　　我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：

(100+2)×(100-2)

=100×100-2×100+2×100-4

=1002-22．

　　这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为

(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

　　于是我们得到了一个重要的计算公式

(a+b)(a-b)=a2-b2， ①

这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．

例4 计算 3001×2999的值．

　　解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)

=30002-12=8 999 999．

例5 计算 103×97×10 009的值．

　　解 原式=(100+3)(100-3)(10000+9)

=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．

　　例6 计算：

　　分析与解 直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得

n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，

即原式分母的值是1，所以原式=24 690．

　　例7 计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

　　分析 式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．

　　解 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)

　　 　　　=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)

　　　　　 =(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……

　　　　 　=(232-1)(232+1) =264-1．

　　例8 计算：

　　分析 在前面的例题中，应用过公式

(a+b)(a-b)=a2-b2．

　　这个公式也可以反着使用，即

a2-b2=(a+b)(a-b)．

　　本题就是一个例子．

通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．

　　例9计算：

我们用一个字母表示它以简化计算．

1． 观察算式找规律

　　例10 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．

　　87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

　　分析与解 若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为

　　90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)

　　　　+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)

　　　　+2+5+(-2)

　　=1800-1=1799，

平均分为 90+(-1)÷20=89.95．

例11 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．

　　分析 观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．

　　解 用字母S表示所求算式，即

S=1+3+5+…+1997+1999． ①

　　再将S各项倒过来写为

S=1999+1997+1995+…+3+1． ②

　　将①，②两式左右分别相加，得

　　2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)

　　　=2000+2000+…+2000+2000(1000个2000)

　　　=2000×1000．

　　从而有 S=1000 000．

说明 一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．

例13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．

分析 观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．

　　解 设

S=1+5+52+…+599+5100， ①

　　所以

5S=5+52+53+…+5100+5101． ②

　　②—①得

4S=5101-1，

说明 如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．

例14 计算：

　　分析 一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式

来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．

　　解 由于

　　所以

说明 本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．

练习

1．计算下列各式的值：

　　(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；

(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；

　　(3)1991×1999-1990×2000；

　　(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；

　　(6)1+4+7+…+244；

　　2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．

　　81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．

第四章 归纳与发现

归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段．这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法．下面举几个例题，以见一般．

　　例1 如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，…这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？

分析与解 我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数． 第一层有点数：1；

第二层有点数：1×6；

第三层有点数：2×6；

第四层有点数：3×6；

……

第n层有点数：(n-1)×6.

　　因此，这个点阵的第n层有点(n-1)×6个．n层共有点数为

　　例2 在平面上有过同一点P，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P点外无其他公共点，那么试问：

　　(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？

　　(2)这n个圆共有多少个交点？

　　分析与解 (1)在图2-100中，设以P点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表18．1．

　　由表18．1易知

S2-S1=2，

S3-S2＝3，

S4-S3＝4，

S5-S4＝5，

……

　　由此，不难推测

Sn-Sn-1＝n．

　　把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到

Sn-S1＝2＋3＋4＋…＋n，

　　因为S1=2，所以

　　下面对Sn-Sn-1=n，即Sn=Sn-1＋n的正确性略作说明．

　　因为Sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点P时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在Sn-1上，所以有Sn=Sn-1＋n．

　　(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决．为此，可列出表18．2．

　　由表18．2容易发现

a1＝1，

a2-a1＝1，

a3-a2＝2，

a4-a3＝3，

a5-a4＝4，

……

an-1-an-2＝n-2，

an-an-1＝n-1．

　　n个式子相加

　　注意 请读者说明an=an-1＋(n-1)的正确性．

　　例3 设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中a≤b≤c，如果 b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？

　　分析与解 我们先来研究一些特殊情况：

　　(1)设b=n=1，这时b=1，因为a≤b≤c，所以a=1，c可取1，2，3，…．若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c≥2，由于a＋b=2，那么a＋b不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个．

　　(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表18．3．

　　这时满足条件的三角形总数为：1+2=3．

　　(3)设b=n=3，类似地可得表18．4．

　　这时满足条件的三角形总数为：1＋2＋3=6．

　　通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

　　这个猜想是正确的．因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，…，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1≤k≤n)．由于b≤c＜a＋b，即n≤c＜n＋k，所以c可能取的值恰好有k个(n，n＋1，n＋2，…，n＋k-1)．所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为：

　　例4 设1×2×3×…×n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简：1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n.

　　分析与解 先观察特殊情况：

　　(1)当n=1时，原式=1=(1＋1)！-1；

　　(2)当n=2时，原式=5=(2＋1)！-1；

　　(3)当n=3时，原式=23=(3＋1)！-1；

　　(4)当n=4时，原式=119=(4＋1)！-1．

　　由此做出一般归纳猜想：原式=(n+1)！-1.

　　下面我们证明这个猜想的正确性．

　　1+原式=1+(1！×1＋2！×2＋3！×3+…+n！×n)

　　　　　=1！×2＋2！×2＋3！×3+…+n！×n

　　　　　=2！+2！×2＋3！×3＋…+n！×n

　　　　　=2！×3+3！×3+…＋n！×n

　　　　　=3！+3！×3+…+n！×n＝…

　　　　　=n！+n！×n=(n＋1)！，

　　所以原式=(n+1)！-1.

　　例5 设x＞0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小．

　　分析与解 本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路．为此，设x=0，显然有

x3＜x2+x+2．①

　　设x=10，则有x3=1000，x2+x＋2=112，所以

x3＞x2+x+2．②

　　设x=100，则有x3＞x2+x+2．

　　观察、比较①，②两式的条件和结论，可以发现：当x值较小时，x3＜x2+x+2；当x值较大时，x3＞x2+x+2．

　　那么自然会想到：当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”．为此，设x3=x2＋x＋2，则

x3-x2-x-2＝0，

(x3-x2-2x)＋(x-2)=0，

(x-2)(x2+x+1)=0．

　　因为x＞0，所以x2+x+1＞0，所以x-2=0，所以x=2．这样

　　(1)当x=2时，x3=x2+x+2；

　　(2)当0＜x＜2时，因为

x-2＜0，x2+x+2＞0，

　　所以 (x-2)(x2＋x+2)＜0，

即

x3-(x2＋x+2)＜0，

　　所以 x3＜x2＋x＋2.

　　(3)当x＞2时，因为

x-2＞0，x2+x+2＞0，

　　所以 (x-2)(x2+x+2)＞0，

　　即

x3-(x2＋x＋2)＞0，

　　所以 x3＞x2＋x＋2．

　　综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答．

练习七

　　1．试证明例7中：

　　2．平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点．试求：

　　(1)这n条直线共有多少个交点？

　　(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？

　　然后做出证明.)

　　3．求适合x5=656356768的整数x．

　　(提示：显然x不易直接求出，但可注意其取值范围：505＜656356768＜605，所以502＜x＜602．)

第五章 生活中的数学（储蓄、保险与纳税）

储蓄、保险、纳税是最常见的有关理财方面的数学问题，几乎人人都会遇到，因此，我们在这一讲举例介绍有关这方面的知识，以增强理财的自我保护意识和处理简单财务问题的数学能力．

　　1．储蓄

　　银行对存款人付给利息，这叫储蓄．存入的钱叫本金．一定存期(年、月或日)内的利息对本金的比叫利率．本金加上利息叫本利和．

利息=本金×利率×存期，

本利和=本金×(1+利率经×存期)．

　　如果用p，r，n，i，s分别表示本金、利率、存期、利息与本利和，那么有

i=prn，s=p(1+rn)．

　　例1 设年利率为0.0171，某人存入银行2000元，3年后得到利息多少元？本利和为多少元？

　　解 i=2000×0.0171×3=102.6(元)．

　　s=2000×(1+0.0171×3)=2102.6(元)．

　　答 某人得到利息102.6元，本利和为2102.6元．

　　以上计算利息的方法叫单利法，单利法的特点是无论存款多少年，利息都不加入本金．相对地，如果存款年限较长，约定在每年的某月把利息加入本金，这就是复利法，即利息再生利息．目前我国银行存款多数实行的是单利法．不过规定存款的年限越长利率也越高．例如，1998年3月我国银行公布的定期储蓄人民币的年利率如表22．1所示．

　　用复利法计算本利和，如果设本金是p元，年利率是r,存期是n年，那么若第1年到第n年的本利和分别是s1，s2,…，sn，则

　　s1=p(1+r)，

　　s2=s1(1+r)=p(1+r)(1+r)=p(1+r)2，

　　s3＝s2(1+r)=p(1+r)2(1+r)=p(1+r)3，

　　……，sn=p(1+r)n．

　　例2 小李有20000元，想存入银行储蓄5年，可有几种储蓄方案，哪种方案获利最多？

　　解 按表22．1的利率计算．

　　(1)连续存五个1年期，则5年期满的本利和为

20000(1+0.0522)5≈25794(元)．

　　(2)先存一个2年期，再连续存三个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)·(1+0.0522)3≈25898(元)．

　　(3)先连续存二个2年期，再存一个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0558×2)2·(1+0.0552)≈26003(元)．

　　(4)先存一个3年期，再转存一个2年期，则5年后的本利和为

20000(1＋0.0621×3)·(1+0.0558×2)≈26374(元)．

　　(5)先存一个3年期，然后再连续存二个1年期，则5年后本利和为

20000(1+0.0621×3)·(1+0.0522)2≈26268(元)．

　　(6)存一个5年期，则到期后本利和为

20000(1+0.0666×5)≈26660(元)．

　　显然，第六种方案，获利最多，可见国家所规定的年利率已经充分考虑了你可能选择的存款方案，利率是合理的．

　　2．保险

　　保险是现代社会必不可少的一种生活、生命和财产保护的金融事业．例如，火灾保险就是由于火灾所引起损失的保险，人寿保险是由于人身意外伤害或养老的保险，等等．下面举两个简单的实例．

　　例3 假设一个小城镇过去10年中，发生火灾情况如表22．2所示．

　　试问：(1)设想平均每年在1000家中烧掉几家？

　　(2)如果保户投保30万元的火灾保险，最低限度要交多少保险费保险公司才不亏本？

　　解 (1)因为

　　1+0+1+2+0+2+1+2+0+2=11(家)，

　　365+371+385+395+412+418+430+435+440＋445=4096(家)．

　　11÷4096≈0.0026．

　　(2)300000×0.0026=780(元)．

　　答(1)每年在1000家中，大约烧掉2.6家．

　　(2)投保30万元的保险费，至少需交780元的保险费．

　　例4 财产保险是常见的保险．假定A种财产保险是每投保1000元财产，要交3元保险费，保险期为1年，期满后不退保险费，续保需重新交费．B种财产保险是按储蓄方式，每1000元财产保险交储蓄金25元，保险一年．期满后不论是否得到赔款均全额退还储蓄金，以利息作为保险费．今有兄弟二人，哥哥投保8万元A种保险一年，弟弟投保8万元B种保险一年．试问兄弟二人谁投的保险更合算些？(假定定期存款1年期利率为5.22％)

　　解 哥哥投保8万元A种财产保险，需交保险费

80000÷1000×3=80×3=240(元)．

　　弟弟投保8万元B种财产保险，按每1000元交25元保险储蓄金算，共交

80000÷1000×25=2000(元)，

　　而2000元一年的利息为

2000×0.0522=104.4(元)．

　　兄弟二人相比较，弟弟少花了保险费约

240-104.4=135.60(元)．

　　因此，弟弟投的保险更合算些．

　3．纳税

　　纳税是每个公民的义务，对于每个工作人员来说，除了工资部分按国家规定纳税外，个人劳务增收也应纳税．现行劳务报酬纳税办法有三种：

　　(1)每次取得劳务报酬不超过1000元的(包括1000元)，预扣率为3％，全额计税．

　　(2)每次取得劳务报酬1000元以上、4000元以下，减除费用800元后的余额，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

　　(3)每次取得劳务报酬4000元以上的，减除20％的费用后，依照20％的比例税率，计算应纳税额．

　　每次取得劳务报酬超过20000元的(暂略)．

　　由(1)，(2)，(3)的规定，我们如果设个人每次劳务报酬为x元，y为相应的纳税金额(元)，那么，我们可以写出关于劳务报酬纳税的分段函数：

　　例5 小王和小张两人一次共取得劳务报酬10000元，已知小王的报酬是小张的2倍多，两人共缴纳个人所得税1560元，问小王和小张各得劳务报酬多少元？

　　解 根据劳务报酬所得税计算方法(见函数①)，从已知条件分析可知小王的收入超过4000元，而小张的收入在1000～4000之间，如果设小王的收入为x元，小张的收入为y元，则有方程组：

　　由①得y=10000-x，将之代入②得

x(1-20％)20％+(10000-x-800)20％=1560，

　　化简、整理得

0.16x-0.2x+1840=1560，

　　所以

0.04x=280，x=7000(元)．

　　则 y=10000-7000=3000(元)．

　　所以

　　答 小王收入7000元，小张收入3000元．

　　例6 如果对写文章、出版图书所获稿费的纳税计算方法是

　　其中y(x)表示稿费为x元应缴纳的税额．

　　那么若小红的爸爸取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到6216元，问这笔稿费是多少元？

　　解 设这笔稿费为x元，由于x＞4000，所以，根据相应的纳税规定，有方程

x(1-20％)· 20％×(1-30％)=x-6216，

　　化简、整理得

0.112x=x-6216，

　　所以 0.888x=6216，

　　所以 x=7000(元)．

答 这笔稿费是7000元．

练习八

　　1．按下列三种方法，将100元存入银行，10年后的本利和各是多少？(设1年期、3年期、5年期的年利率分别为5.22％，6.21％，6.66％保持不变)

　　(1)定期1年，每存满1年，将本利和自动转存下一年，共续存10年；

　　(2)先连续存三个3年期，9年后将本利和转存1年期，合计共存10年；

　　(3)连续存二个5年期．

　　2．李光购买了25000元某公司5年期的债券，5年后得到本利和为40000元，问这种债券的年利率是多少？

　　3．王芳取得一笔稿费，缴纳个人所得税后，得到2580元，问这笔稿费是多少元？

　　4．把本金5000元存入银行，年利率为0.0522，几年后本利和为6566元(单利法)？

第六章 中外著名数学家

1、韦达（1540-1603），法国数学家。

年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”。1579年，韦达出版《应用于三角形的数学定律》

2、帕斯卡（1623──1662年）是法国数学家、物理学家和哲学家．

16岁的时候就发现了著名的“帕斯卡定理”，即“圆锥曲线内接六边形的三组对边的交点共线”，对射影几何学作出了重要贡献．19岁时，发明了一种能做加法和减法运算的计算器，这是世界上第一台机械式的计算机．他对连续不可分量、微分三角形、面积和重心等问题的深入研究，对微积分学的建立起到了积极的作用．帕斯卡对数学的最大贡献是创立概率论，为了解决概率论和组合分析方面的问题，帕斯卡广泛应用了算术三角形（即二项式定理系数表，西方称帕斯卡三角，我国称贾宪三角或杨辉三角），并深入研究了二项展开式的系数规律以及这个三角形的构造及其许多有趣的性质。帕斯卡在物理学方面提出了重要的“帕斯卡定律”。他所著《思想录》和《致乡人书》对法国散文的发展产生了重要的影响。

3、在数学史上，很难再找到如此年轻而如此有创见的数学家。他就是出生在法国的伽罗华（1811——1832）

　　伽罗华才华横溢，思维敏捷，十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念——“群”。可是这篇论文被法国科学院一位目空一切的数学家丢失了。次年，他又写了几篇数学论文送交法国科学院，不料主审人因车祸去世，论文也不知所踪。再过两年，他被近把自己的研究再次写成简述，寄往法国科学，他去信尖锐地提醒权威们：“第一，不要因为我叫伽罗化，第二，不要因为我是大学生，”而“预先决定我对这个问题无能为力。”在这封咄咄逼人的书信面前，有两位数学家不得不宣读了他的研究简述，但随即又以“完全不能理解”予以否定，其实，他们并没有读懂伽罗华的论文。

　　伽罗华二十一岁那年死于决斗。临死前他对守在旁边的弟弟说：“不要忘了我，因为命运不让我活到祖国知道我的名字的时候。”在决斗前夜，他给友人写了著名的“科学遗嘱”，其中充满自信地说：“我一行中不只一次敢于提出我没有把握的命题，我期待着将来总会有人认识到：解开这个谜对雅可比和高斯是有好处的。”

　　他的预言成为现实，那是在三十八年他的六十页厚的论文终于出版的时候，从此，他被认为“群论”的奠基 人。

4、刘　徽　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．

　　《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明．在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作．

　　《海岛算经》一书中， 刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．

　　刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．

　　刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．

5、贾　宪

　　贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：数导）均已失传。　　

　　他的主要贡献是创造了"贾宪三角"和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。

6、秦九韶　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术"(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

7、李冶　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　李冶(1192----1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作《益古演段》（1259）也是讲解天元术的。

8、朱世杰

朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）．

9、祖冲之

祖冲之（公元429～500年）祖籍是现今河北省涞源县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐等领域，并且是一位天文学家。

　　祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，他算出的圆周率为3.1415926<π<3.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值，约率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，这两个数都是π的渐近分数。

10、祖　暅

　　祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。

11、杨辉

　　杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。 　　

　　他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。　　

　　杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。　　他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。　　

　　他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。

12、赵　爽

　　赵爽，三国时期东吴的数学家。曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有云幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。　　

　　赵爽还在《勾股圆方图注》中推导出二次方程 (其中a>0,A>0)的求根公式 　　

　　在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了"重差术"的证明。（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）。

13、华罗庚

　华罗庚，中国现代数学家。1910年11月12日生于江苏省金坛县。1985年6月12日在日本东京逝世。华罗庚1924年初中毕业之后，在上海中华职业学校学习不到一年，因家贫辍学，他刻苦自修数学，1930年在《科学》上发表了关于代数方程式解法的文章，受到专家重视，被邀到清华大学工作，开始了数论的研究，1934年成为中华教育文化基金会研究员。1936年作为访问学者去英国剑桥大学工作。1938年回国，受聘为西南联合大学教授。1946年应苏联普林斯顿高等研究所邀请任研究员，并在普林斯顿大学执教。1948年始，他为伊利诺伊大学教授。　　

1924年金坛中学初中毕业，后刻苦自学。1930年后在清华大学任教。 1936年赴英国剑桥大学访问、学习。1938年回国后任西南联合大学教授。1946年赴美国，任普林斯顿数学研究所研究员、普林斯顿大学和伊利诺斯大学教授，1950年回国。历任清华大学教授，中国科学院数学研究所、应用数学研究所所长、名誉所长，中国数学学会理事长、名誉理事长，全国数学竞赛委员会主任，美国国家科学院国外院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士，中国科学院物理学数学化学部副主任、副院长、主席团成员，中国科学技术大学数学系主任、副校长，中国科协副主席，国务院学位委员会委员等职。曾任一至六届全国人大常务委员，六届全国政协副主席。 曾被授予法国南锡大学、香港中文大学和美国伊利诺斯大学荣誉博士学位。主要从事解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积 分等领域的研究与教授工作并取得突出成就。40年代，解决了高斯完整三角和的估计这 一历史难题，得到了最佳误差阶估计（此结果在数论中有着广泛的应用）；对Ｇ.Ｈ.哈代与Ｊ.Ｅ.李特尔伍德关于华林问题及Ｅ.赖特关于塔里问题的结果作了重大的改进，至 今仍是最佳纪录。 代数方面，证明了历史长久遗留的一维射影几何的基本定理；给出了体的正规子体一定包含在它的中心之中这个结果的一个简单而直接的证明，被称为嘉 当-布饶尔-华定理。其专著《堆垒素数论》系统地总结、发展与改进了哈代与李特尔伍 德圆法、维诺格拉多夫三角和估计方法及他本人的方法，发表40余年来其主要结果仍居世界领先地位，先后被译为俄、匈、日、德、英文出版，成为20世纪经典数论著作之 一。其专著《多个复变典型域上的调和分析》以精密的分析和矩阵技巧，结合群表示论，具体给出了典型域的完整正交系，从而给出了柯西与泊松核的表达式。这项工作在调和分析、复分析、微分方程等研究中有着广泛深入的影响，曾获中国自然科学奖一等 奖。倡导应用数学与计算机的研制，曾出版《统筹方法平话》、《优选学》等多部著作 并在中国推广应用。与王元教授合作在近代数论方法应用研究方面获重要成果，被称为 “华-王方法”。在发展数学教育和科学普及方面做出了重要贡献。发表研究论文200多篇，并有专著和科普性著作数十种。

14、陈景润

数学家，中国科学院院士。1933 年5月22日生于福建福州。1953年毕业于厦门大学 数学系。1957年进入中国科学院数学研究所并在华罗庚教授指导下从事数论方面的研究。历任中国科学院数学研究所研究员、所学术委员会委员兼贵阳民族学院、河南大学、青岛大学、华中工学院、福建师范大学等校教授，国家科委数学学科组成员，《数学季刊》主编等职。主要从事解析数论方面的研究，并在哥德巴赫猜想研究方面取得国 际领先的成果。这一成果国际上誉为“陈氏定理”，受到广泛引用。这项工作，使之与王 元教授、潘承洞教授共同获得1978年国家自然科学奖一等奖。其后对上述定理又作了改进，并于1979年初完成论文《算术级数中的最小素数》，将最小素数从原有的80推进到 16 ，受到国际数学界好评。对组合数学与现代经济管理、科学实验、尖端技术、人类生活密切关系等问题也作了研究。发表研究论文70余篇，并有《数学趣味谈》、《组合 数学》等著作。

15、我们的希望是在21世纪看见中国成为数学大国。”——陈省身

2004年12月3日，国际数学大师、中科院外籍院士陈省身，在天津病逝．享年93岁．陈省身，1911年10月26日生于浙江嘉兴．少年时就喜爱数学，觉得数学既有趣又较容易，并且喜欢独立思考，自主发展，常常“自己主动去看书，不是老师指定什么参考书才去看”．陈省身1927年进入南开大学数学系，该系的姜立夫教授对陈省身影响很大．在南开大学学习期间，他还为姜立夫当助教．1930年毕业于南开大学，1931年考入清华大学研究院，成为中国国内最早的数学研究生之一．在孙光远博士指导下，发表了第—篇研究论文，内容是关于射影微分几何的．1932年4月应邀来华讲学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响也不小，使他确定了以微分几何为以后的研究方向．1934年，他毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学的奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学．在布拉希克研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当方法在微分几何中的应用．1936年获得博土学位．从汉堡大学毕业之后，他来到巴黎．1936年至1937年间在法国几何学大师E•嘉当那里从事研究．E•嘉当每两个星期约陈省身去他家里谈一次，每次一小时．“听君一席话，胜读十年书．”大师面对面的指导，使陈省身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益．陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快的时光时说，“年轻人做学问应该去找这方面最好的人”．

陈省身先后担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究所研究员，芝加哥大学、伯克利加州大学终身教授等，是美国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长．陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何学等多方面．他是创立现代微分几何学的大师．早在40年代，他结合微分几何与拓扑学的方法，完成了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论．他首次应用纤维丛概念于微分几何的研究，引进了后来通称的陈氏示性类．为大范围微分几何提供了不可缺少的工具．他引近的一些概念、方法和工具，已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学中的重要组成部分．陈省身还是一位杰出的教育家，他培养了大批优秀的博士生．他本人也获得了许多荣誉和奖励，例如1975年获美国总统颁发的美国国家科学奖，1983年获美国数学会“全体成就”靳蒂尔奖，1984年获沃尔夫奖．中国数学会在1985年通过决议．设立陈省身数学奖．他是有史以来惟一获得数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被称为“当代最伟大的数学家”．被国际数学界尊为“微分几何之父”．韦伊曾说，“我相信未来的微分几何学史一定会认为他是嘉当的继承人”．

菲尔兹奖得主、华人数学家丘成桐这样评价他的老师：“陈省身是世界上领先的数学家……没有什么障碍可以阻止一个中国人成为世界级的数学家．”

2004年11月2日，经国际天文学联合会下属的小天体命名委员会讨论通过，国际小行星中心正式发布第52733号《小行星公报》通知国际社会，将一颗永久编号为1998CS2号的小行星命名为“陈省身星”，以表彰他对全人类的贡献．

16、江泽涵

江泽涵,中国人。1902年10月6日生于安徽省知旌县。1922年至1926年在南开大学学习,毕业后在厦门大学工作了一年。1927年赴美国哈佛大学博士学位。接着在普林斯顿大学工作了一年。1931年回国,受聘在北京大学数学系任教授,1934年起任系主任。1936年至1937年再次赴美。1947年至1949年赴瑞士做研究工作。1949年回国,并任北京大学数学系教授兼系主任。1952年院系调整后,改任几何代数教研室主任。中国数学会成立后,他任副理事长。1962年起任北京市数学会理事长。1982年改任名誉理事长。1955年江泽涵被选为中国科学院学部委员。他还是中国国家科学技术委员会数学学科组成员。

江泽涵在数学上的贡献主要在拓扑学方面。

江泽涵最先将拓扑学的临界点理论直接用到分析中去,得到了关于调函数的重要结果:在三维欧几里得空间中总质量不为零的S个质点(每个质点的质量可正、可负)所产生的牛顿位势函数,若无退化临界点,则至少(S-1)个临界点且超额的个数一定是偶数.江泽涵就各种分布类型(体分布、面分布、点分布),总质量为正、负、零的情况,系统地研究了区域的拓扑特征与牛顿位势的临界点的型的关系。证明了存在一个内胚于球体的区域,它的以一个内点为极点的格林函数在它内部确有临界点。他还证明了：在平面上，如果单连通区域Ｒ是一个具有光滑边界的m重连通的区域，Ｒ的以任一内点为极点的格林函数在Ｒ内恰有（m－1）个临界点。

江泽涵在复迭空间和纤维丛方面进行了深入的研究，并证明了不可定向流形Ｍ的任一可定向复迭必是Ｍ可定向二叶复迭形Ｍ的复迭形，且Ｍ有一个周期为2的、无不动点的、反定向的自同胚。他计算了n维球面的有线素流形的同调群。

江泽涵对不动点理论进行了长期的研究，并利用曲面基本群的既约母元叙列，成功地定义了曲面万有复迭形用圆周紧化，还证明它与非欧几何得紧化是同胚的。从1961年起，他与他的学生姜伯驹出了自映射的伦型的概念，证明了尼尔生数的伦型不变性以及尼尔生数等于具有相同伦型的自映射的最少不动点数。不动点理论方面的成果集中写入了其专著《不动点类理论》（科学出版社，1979年）中。

江泽涵已发表学术论文15篇，专著有《不动点理论》、《拓扑学引论》（上

海科学出版社，1964、1978）等，还有普及读物《多面体的欧拉定理和闭曲面的拓扑分类》（人民教育出版社，19640）等。另外还有译著8部。

江泽涵是一位数学教育家，培养了一大批数学家，如姜伯驹等。

初中数学校本教材

《生活与数学》

进化中心学校

刘 桂 兰

目 录

序言 1----3

第一章 兴趣数学 4---14

第二章 最完美的数 15---16

第三章 有理数的巧算 17---26

第四章 归纳与发现 27---36

第五章 生活中的数学 37---45

第六章 中外著名数学家 46---57

初中数学校本教材（完整版）