§圆锥曲线定义的探究

预学案：自主学习、知识构建

一、学习目标

1、通过直观感知，操作确认，并进一步探索圆锥曲线的定义；

2、利用“三案五环节”，引导学生提前预习，主动学习，并发现问题；

3、引导学生通过联想、类比、归纳等方法，提升合情推理的应用能力；

4、提高学生对信息的解读、提取、归纳、应用等能力，锻炼分组协作下的学习能力。

二、知识准备

1、圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义；

2、中心投影与平行投影的概念；

三、即学即练

问题1：将一个放在桌面上的圆柱形玻璃杯中倒入半杯水，

水面是一个圆；如果将玻璃杯倾斜一定角度呢？

结论：用一个平面去截一个圆柱，

当平面与圆柱两底面平行时，截面形状是是一个_____________；

当平面与两底面不平行时，截面形状是是一个 ___ 。

问题2：用一平面去截一个圆锥，当平面不过圆锥顶点时，其截面形状又怎样呢？

【动手操作】

第一步：用垂直于锥轴的平面去截圆锥 第二步：把平面渐渐倾斜去截圆锥

第三步：平面和圆锥的一条母线平行去截圆锥 第四步：平面再倾斜一些去截圆锥

问题3：有位同学针对椭圆的方程做如下变形：，

之后他把推导过程倒回去，得出一个结论：到两个定点的斜率之积为定值的动点的轨迹为椭

圆。你认为他的结论靠谱吗？请结合下面两个问题，作出判断，并对结论进行完善。

（1）已知点A、B的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-1，则点M的轨迹方程_________________________；

（2）已知点B与点A（-1,1）关于原点O对称，M是动点，且直线AM与BM的斜率之积等于，则动点M的轨迹方程_____________________；

四、我的疑惑

导学案：教师引导、合作学习

一、合作探究

探究一：用一个平面截圆锥，得到的截口曲线形状是？它跟什么因素有关？请根据下图探索截面形状与圆锥的轴夹角的大小关系。

椭圆 抛物线 双曲线

探究小结

1、在空间中，取直线AD为轴，直线AB与AD相交于A点，其夹角为α，围绕AD旋转得到以A为顶点,AB为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β（当平面π与AB平行时，记作β＝0），则满足下列条件：

（1）_____________，交线为圆，此时_______________；

（2）_____________，交线为椭圆，此时______________；

（3）_____________，交线为抛物线，此时____________；

（4）_____________，交线为双曲线，此时_____________；

2、分析上述结论，通过比值的范围与交线形状的对应关系，猜猜它是什么量？

3、借助几何图霸播放课件和Dandelin双球法，几何证明截面形状即为圆锥曲线并对离心率的结果进行验证。（下图左）

4、通过类比得到，平面截圆柱得到的截口曲线形状是？并探讨的含义（上图右）。

5、资源链接：平面截圆锥面得到圆锥曲线的坐标法证明

http://wenku.baidu.com/link?url=83z05BmyUDssnP_v4pIC_ayoAjenONWfso4QyM254FRfanXh828OKFJKsnhOseuj6JPzm-AfeDLZJKjFEOMk6HWeqUq4YRG917anTgcUqFy

拓展应用

1、（苏教版选修1-1）一广告气球被一束平行光线投射到水平面上，

形成一个离心率为的椭圆，求这束光线与水平面的入射角的大小。

2、一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距

处有一点光源O，OA与球相切，求球在桌面上的投影

——椭圆的离心率。

探究二、动点M到两定点A、B的斜率之积为常数t，则动点M的轨迹形状是什么类型的曲线？通过下述问题并结合预学案的问题3，归纳出一个一般性规律。

（2011年湖北）平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；

探究小结

（1）定点A、B与动点M的轨迹的位置关系？

（2）动点M的轨迹的形状与常数t的关系？

拓展应用

1、设椭圆＋＝1(a>b>0)的两个顶点分别为A(－a,0)、B(a,0)，

弦PQ⊥AB，求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

2、（2011年江苏）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的方程

为，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在

第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交

椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，对任意k>0，求证：PA⊥PB.

二、当堂训练

1、已知M，N是过原点的直线与椭圆的交点，P是椭圆上的一点(异于M，N）若PM，PN

的斜率之积为，则椭圆离心率等于___________________.

2、如图，直线，垂足为，直线是平面的一条斜线，斜足为，其中，过点的动直线交平面于点，，则下列说法正确的是（ ）

①若，则动点B的轨迹是一个圆；

②若，则动点B的轨迹是一条直线；

③若，则动点B的轨迹是抛物线；

④，则动点B的轨迹是椭圆；

⑤，则动点B的轨迹是双曲线；

三、小结反思

固学案：深化巩固、能力提升

1、已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两圆C1、C2都相切，

则动圆圆心M的轨迹方程是 (　 　)

A、 B、 C、 D、

2、已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，M在棱AB上，

且AM=，面ABCD内的点P到直线A1D1的距离与它到点M的

距离的平方差为1，则点P的轨迹为 ___ ______.

3、在中，，，求顶点C的轨迹方程.

4、设点A、B的坐标分别为。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程是____________________。

5、在正三棱锥中，侧面与底面所成的角为，动点在侧面内，底面，垂足为，，则动点的轨迹为 （ ）

Ａ．线段 Ｂ．圆 Ｃ．一段抛物线 　Ｄ．一段圆弧

6、正方体，棱长为1，P为正方形ABCD内的动点，

满足，则动点P的轨迹形状为（ ）

A、圆的一部分 B、椭圆的一部分

C、双曲线的一部分 D、抛物线的一部分

7、（课本P50《椭圆》，B组，练习4改编）

如图，矩形AOBC中，，分别

是线段OB的四等分点，分别是线段CB的

四等分点，请证明：直线与、

与、与`的交点都在椭圆上。

8、 (2012年湖北)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，并判断曲线C为何种圆锥曲线。

探索1：体会圆与椭圆的区别与联系，你能归纳出圆与椭圆相互转化的实质吗？

探索2：类比直线与圆的位置关系，如何更方便处理直线与椭圆的位置关系？

思考并证明：记椭圆C的两焦点到直线的距离分别为，则

（1）当时，椭圆C与直线相交；（2）当时，椭圆C与直线相切；

（3）当时，椭圆C与直线相离；

特别地，当无限接近时，椭圆无限接近于圆，此时，可得直线与圆的结论。

9、如图所示，矩形ABCD中，分别是线段BC的的四等分点，分别是

线段DC的四等分点。请证明：

直线

的交点都在双曲线上。

并进一步思考本题是如何构造出来的？

《圆锥曲线定义的探究》教案（泉州市第七中学 林志敏）