卜一、行船问题

【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清 船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行 的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和； 船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】 （顺水速度+逆水速度）宁2 =船速

（顺水速度—逆水速度）宁2=水速

顺水速=船速X 2—逆水速=逆水速+水速X 2

逆水速=船速X 2—顺水速=顺水速—水速X 2

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1、一只船顺水行320千米需要用8小时，水流速度为每小时15 千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解：由条件知，顺水速二船速+水速=320宁8,而水速为每小时15千米， 所以，

船速为每小时320宁8-15=25 （千米）；

船的逆水速为25-15=10 （千米）；

船逆水行这段路程的时间为 320- 10=32 （小时）

答：这只船逆水行这段路程需要用 32小时。

例2、甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆 水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

解：由题意得 甲船速+ 水速=360— 10=36 （千米）

甲船速一水速=360—18=20 （千米）

可见（36-20）相当于水速的2倍 所以，

水速为每小时（36—20）- 2=8 （千米）

又因为，乙船速一水速=360—15

所以乙船速为360- 15+8=32（千米）

乙船顺水速为32+8=40 （千米）

所以，乙船顺水航行360千米需要360 — 40=9 （小时） 答：乙船返回原地需要9小时。

例3: 一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米, 风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几 个小时？

解：这道题可按流水问题来解答。

（1） 两城市相距多少千米？

（576-24） X 3=1656 （千米）

（2） 顺风飞回需要几个小时？

1656 -（ 576+24） =2.76 （小时）

列成综合算式

{ （576— 24）X 3} -（ 576+24） =2.76 （小时）

答：飞机顺风飞回需要2.76小时

十二、列车问题

【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身

的长度。

【数量关系】 火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）宁车速

火车追及： 追及时间=（甲车长+乙车长+距离）

+ （甲车速一乙车速）

火车相遇： 相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）

+ （甲车速+乙车速）

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1、一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900的速度通过大桥,

从车头开上桥到车尾离开桥共需 3分钟。这列火车长多少米？

解：火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。

（1） 火车3分钟行多少千米？ 900X 3=2700 （米）

（2） 这列火车长多少米？ 2700—2400=300 （米）

列成综合算式900X 3—2400=300 （米）

答：这列火车长300米。

例2、一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了 2 分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？

解：火车过桥所用的时间是2分5秒= 125秒，

所走的路程是（8X25）米，

这段路程就是（200米+桥长），

所以，桥长为：8X 125— 200=800 （米）

答：大桥的长度是800米。

例3、一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米 的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需 要多长时间？

解：从追上到追过，快车比慢车要多行（225+140）米，

而快车比慢车每秒多行（22—17）米，

因此所求的时间为，（225+140） -（ 22—17） =73 （妙）

答：需要73秒。

三、时钟问题

【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两 针垂直、两针成一线、两针夹角为 60度等。时钟问题可与追及问题 相类比。

【数量关系】 分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1、从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好和分针重合？ 解：钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时 针每小时走5格，每分钟走仝二丄格。每分钟分针比时针多走（1—丄）

60 12 12

=11格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距 20格。所以

12

分针追上时针的时间为20+（ 1— 1 ）〜22 （分）

12

答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2、四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？

解:钟面上有60格，它的1是15格，因而两针成直角的时候相差15

4

格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分 针在时针后（5X 4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就 要比时针多走（5X4—15）格，如果分针在时针前与它成直角，那么 分针就要比时针多走（5X 4+15）格。据1分钟分针比时针多走（1 —1 ）格就求出二针成直角的时间。

12

（5X 4—15） + （ 1— 1 ）〜6 （分）

12

（5X4+15） + （ 1 —丄）〜38 （分）

12

答：4点06分及4点38分是两针成直角。

例3、六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

解: 6点整的时候，分针在时针后（5 X 6）格，分针要与时针重合，就 得追上时针。这实际上是一个追及问题。

（5X 6） + （ 1— 1 ）~ 33 （分）

12

答：6点33分的时候分针与时针重合。

四、盈亏问题

【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次 有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人 数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则

有：

参加分配总人数=（盈+亏）+分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数=（大盈-小盈）+分配差

参加分配总人数=（大亏—小亏）+分配差

【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1、给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4 个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？

解：按照“参加分配的总人数 二（盈+亏）+分配差”的数量关系

（1） 有小朋友多少人？ （ 11 + 1）宁（4— 3） =12 （人）

（2） 有多少个苹果？ 3 X 12+1仁47 （个）

答：有小朋友12人，有47个苹果。

例2、修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如 果每天修300米，修完全场仍得延长4天。这条路全长多少米？

解：题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数 二（大

亏一小亏）+分配差”的数量关系，可以得知

原定完成任务的天数

（260X 8— 300X 4）-（ 300-260） =22 （天）

这条路全长为300X（ 22+4） =7800 （米）

答：这条路全长7800米。

例3:学校组织春游，如果每辆车做 40人，就余下30人；如果每辆 车做45人，就刚好坐完。问有多少车？有多少人？

解：本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有

（1） 有多少车？ （ 30-0） -（ 45-40） =6 （辆）

（2） 有多少人？ 40X 6+30=270 （人

答：有6辆车，270人。

十五、工程问题

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间 的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只 提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等， 在解题时，常常用单位“ 1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“ 1”，这样， 工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几 分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的 关系列出算式。

工作量=工作效率X工作时间

工作时间=工作量+工作效率

工作时间=总工作量+（甲工作效率+乙工作效率）

【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天 完成，现在两队合作，需要几天完成？

解：题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体 数量，因此，吧此项工程看做单位“ 1”。由于甲队独做许10天完成， 那么每天完成工程的1 ;乙队单独许15天完成，每天完成这项工程

10

的1 ；两队合作，每天可以完成这项工程的（1 + 1 ）。

15 10 15

由此可以列出算式：1 + （丄+丄）=1 +丄=6 （天）

10 15 6

答：两队合作需要6天完成。

例2、一批零件甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合 作，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

解：设总工作量为1,则甲每小时完成-，乙每小时完成-，甲比乙

6 8

每小时多完成（1 -1 ），二人合做时每小时完成（1 1 ）。因为二人

6 8 6 8

合作需要【1宁（1 1 ）】小时，在这个时间内，甲比乙多做 24个零

6 8

件，所以

（1） 每小时甲比乙多做多少零件？

24+【1-（ 1 1 ）】=7（个）

6 8

（2） 这批零件共有多少个？

1 1

7+（ 6 _8） =168 （个）

答：这批零件共有168个。

解2: 上面这道题还可以用另一种方法计算。

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 丄：1二4:3

6 8

由此可知，甲比乙多完成总工作量的 土兰=丄

4+3 7

所以，这批零件共有24 + 1=168 （个）

例3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做 15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几 小时才能完成？

解：必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示， 就会给计算带来方便，因此，我们社总工作量为 12、10和15的某一 公倍数，例如最小公倍数是60,则甲、乙、丙三人的工作效率分别

是

60 -12=5、60 -10=6、60- 15=4;

因此余下的工作由乙、丙合作还需

(60-5 X 2) + ( 6+4) =5 (小时)

答：还需5小时才能做完。

十六、正反比例问题

【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如 果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定(即商一定)，那么这 两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应 用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量 中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的 关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识 的综合运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许 多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率(倍数)

转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例1、修一条公路，已修的是未修的1，再修300米后，已修的变成

3

未修的1，求这条公路总长是多少？

2

解：由条件已知，公路总长不变。

原已修长度：总长度=1:( 1+3)=1： 4=3： 12

现已修长度：总长度=1:( 1+2)=1 : 3=4 : 12

比较以上两式可知，把总长度当做12份，则300米相当于(4-3)份, 从而知公路总长为

300-( 4-3 ) X 12=3600 (米)

答：这条路总长3600米。

例2、张晗做4道应用题用了 28分钟，照这样计算，91分钟可以做 几道应用题？

解：做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题，则有28:4=91 : X

28X=94 X 4 X=376 -

28=13 （道）

答：91分钟可以做13道应用题。

例3、孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看 24页，15天看完，

如果每天看36页，几天可以看完？

解：书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设 X 天可以看完，就有 24: 36=x : 15 36X=24 X 15 x=360

-36=10

答：10天就可以看完。

十七、 按比例分配问题

【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。

这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部 分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。

【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，

求几个部分量各是多少。总份数=比的前后项之和

【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几， 把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总

份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几 是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例1、学校把植树560课的任务按人数分配给五年级三个班，已知 一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵?

解：总份数为47+48+45=140

、二、三班分别植树 188棵、192棵、180棵。

例2、用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3:4:5. 三条边的长各是多少？

解：3+4+5=12

60 X 3 =15 （厘米） 60 X 4 =20 （厘米） 60 X 5 =25 （厘米）

12 12 12

答：三角形三条边的长分别是15厘米，20厘米，25厘米。

例3、从前有个牧民，临死前留下遗言，要把 17只羊分给三个儿子，

大儿子份总数的1，二儿子份总数的1，三儿子分总数1，并规定不

2 3 9

许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊？

解：如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。

如果用按比例分配的方法解答，则很容易得到

1:1 :1 =9： 6： 2 9+6+2=17

2 3 9

17X 9 =9 17 X 6 =6 17 X 2 =2

17 17 17

答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊，三儿子分得2只羊

十八、百分数问题

【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数 是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分 数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”； 分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分 数有一个专门的记号“ %。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%两个

百分点就是2%

【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的 数量关系：

百分数=比较量—标准量

标准量=比较量—百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型：

(1) 求一个数是另一个数的百分之几；

(2) 已知一个数，求它的百分之几是多少；

(3) 已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1、创库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的

与剩下的各占原重量的百分之几？

例2、红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女

职工少百分之几？

例3、红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工

人数多百分之几？

解：本题中男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数是比较量

因此(525-420) - 420=0.22=25%或者 525+420-仁0.25=25 %

答：女职工人数比男职工多25%。

十九、“牛吃草”问题

【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿 问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】 草总量=原有草量+草每天生长量x天数

【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把 草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解：草是均匀生长的，所以，草总量二原有草量+草每天生长量x天数。 求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃 完的话，得有多少头牛？

设每头牛每天吃草量为1,按一下步骤来解答：

(1) 求草每天的生长量 因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即(1

x 10X 20);另一方面，20天内的草总量又等于原有的草量加上 20天

内的生长量，所以

1 x 10X 20二原有草量+20天内的生长量

同理1X 15X10二原有草量+10天内生长量；

由此可知(20-10)天内草的生长量为 1X 10X20-1 x 15X 10=50

因此，草每天的生长量为50宁(20-10) =5

(2) 求原有草量

原有草量=10天内总草量-10天内生长量=1X 15X 10-5 X 10=100

(3) 求5天内草总量

5天内草总量二原有草量+5天内生长量=100+5X 5=125

(4) 求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1,所以每头牛5天吃草量为5。因此5天 吃完草需要牛的头数125-5=25 (头)

答：需要5头牛5天可以吃完草。

例2、一只船有一漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进 了一些水。如果有12个人淘水，三小时可以淘完；如果只有 5人淘 水，需要10小时才能淘完。求17人几小时淘完？

解：这是一道变相的”牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给

出了人数（相当于“牛数”），求时间，设每人每小时淘水量为 1,

按以下步骤计算：

（1） 求每小时的进水量

因为，3小时内的总水量=1 x 12X 3二原有水量+3小时进水量

10 小时内的总水量=1 x 5x 10二原有水量+10小时进水量

所以，（10-3 ）小时内的进水量为1x 5x 10-1 x 12x 3=14

因此，每小时的进水量为14+（ 10-3） =2

（2） 求淘水前原有水量

原有水量=1x 12X 3-3小时进水量=36-2 x 3=30

（3） 求17人几小时淘完

17人每小时的淘水量为17,因为每小时漏进水为2,所以实际上船 中每小时减少的水量为（17-2 ），所以17人淘完水的时间是

30 +(17-2) =2

答：17人2小时可以淘完水

二十、鸡兔同笼问题

【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多 少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知 鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡 兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=（实际脚数一2X鸡兔总数）宁（4-2）

假设全都是兔，则有

鸡数=（4X鸡兔总数—实际脚数）+ （ 4-2）

第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有

兔数=（2X鸡兔总数—鸡与兔脚之差）+ （ 4 + 2）

假设全都是兔，则有

鸡数=（4X鸡兔总数+鸡与兔脚之差）+ （ 4 + 2）

【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都

是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果 先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设, 再置换，使问题得到解决。

例1、长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里，数数头有三十五，脚数共

有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

解：假设35只全为兔，则

鸡数二（4X 35-94） -（ 4-2 ） =23 （只）

兔数=35-23=12 （只）

也可以先假设35只全为鸡，则

兔数二（94-2 X 35）-（ 4-2 ） =12 （只）

鸡数=35-12=23 （只）

答：有鸡23只，有兔12只。

例2、2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共种

16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

解：此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥(1 宁2千克)”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥(3宁5) 千克”与“每只兔子有4只脚”相对应，“ 16亩”与“鸡兔总数” 相对应。假设16亩全都是菠菜，

则有 白菜亩数二(9-1 -2X 16)-( 3-5-1 -2) =10亩

答：白菜地有10亩。

例3、李老师用69元给学校买作业本和日记本公 45本，作业本每本

3.2元，日记本每本0.7元。问作业本和日记本各买了多少本？

解：此题可变通为“鸡兔同笼”问题。假设 45本全都是日记本，

则有

作业本书二(69-0.7 X 45)- (320.7)=15( 本)

日记本数=45-15=30(本) 答：作业本有15本,日记本有30本. 其实，文章中给孩子归纳总结的30个类型，其实都应该是孩子自己 的工作，但大部分孩子都做不到，但班上成绩顶尖的孩子往往却能做 得非常好，不信，叫孩子借学霸们的笔记本来看看。

归纳总结的能力在孩子12年学习生涯中都是很重要的，尤其是上初 中以后，年级越高，对孩子自身的学习能力要求就越高，如果孩子不 具备这种能力，那么学习起来相当吃力，甚至吃力不讨好！所以家长 们要注意培养孩子归纳总结以及记忆能力。

小升初30道必考数学应用题，带答案