中考数学信息交流试卷（一）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. -5的相反数是（　　）

A. -5 B. 5 C. D. -

2. 计算（-x）3•（-2x）2的结果是（　　）

A. -4x6 B. -4x5 C. 2x5 D. 4x6

3. 如图所示几何体的俯视图是（　　）

A.
B.
C.
D.

4. 下面的多项式中，能分解因式的是（　　）

A. a2-6a+9 B. a2-2a+4 C. 4a2+b2 D. -a2-16b2

5. 如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=55°，那么∠4的度数是（　　）

A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 125°

6. 如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C+∠O=63°，则∠O的度数是（　　）

A. 21°
B. 27°
C. 30°
D. 42°

7. 某研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的养老模式主要有A，B，C，D，E五种，抽样调查的统计结果如图，那么下列说法不正确的是（　　）

A. 选择A型养老的频率是
B. 选择养老模式E的人数最多
C. 估计当地30000个老年人中有8000人选择C型养老
D. 样本容量是1500

8. 某地区2019年元月份的国民生产总值为a万元，2月份比元月份减少5%，3月份预计比2月份增加了9%，若该地区2019年3月份的国民生产总值为b万元，则a、b之间的关系为（　　）

A. b=（a-5%）（a+9%） B. b=（a-5%+9%）
C. b=a（1-5%+9%） D. b=a（1-5%）（1+9%）

9. 若点A（a，b），B（，c）都在反比例函数y=的图象上，且-1＜c＜0，则一次函数y=（b-c）x+ac的大致图象是（　　）

A. B.
C. D.

10. 如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，折叠矩形ABCD，使点C与点A重合，点D对应点为E，折痕与AD、BC相交于点N，M，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则的值是（　　）

A.
B. 2
C. 3
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 根据安徽省旅游市场统计，2018年国庆期间，我省各大旅游景点共接待游客5300万人次，其中，“5300万”用科学记数法可表示为______．

12. 化简的结果是______．

13. 如图，直线l1经过点A（3，），过点A且垂直于l1的直线与x轴交于点B，与直线l2交于点C，且∠BOC=30°，则BC的长等于______．

14. 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E是边AB上一动点（不与点A、B重合），过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF，当△ADF是等腰三角形时，AE的长等于______．

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

15. 计算：．

16. 我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有-一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．
请解答上述问题．

四、解答题（本大题共7小题，共74.0分）

17. 观察下列关于自然数的等式：
1×7=42-32①；2×8=52-32②；3×9=62-32③；…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式：4×______=______；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

18. 如图所示，每个小正方形的边长为1，△ABC，△DEF的顶点都在小正方形的顶点处．
（1）将△ABC平移，使点A平移到点F，点B，C的对应点分别是点B'，C'，画出△FB'C'；
（2）画出△DEF关于DF所在直线对称的△DE'F；
（3）直接写出四边形B'C'FE'的面积是______．

19. 某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点．再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示．斜坡AB的长为300万米，坡度i=1：，斜坡BC的长为240米，在B点测得C点的仰角为40°，求山顶C的铅直高度CD．（精确到1米，参考数据：sin40°=0.64，cos40°=0.77，tan40°=0.84，=1.73）

20. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若CF=5，，求AC的长．

21. 为了加强中华优秀传统文化教育，培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括A（经典诵读），B（我爱戏曲），C（中华功夫），D（民族乐器）四门课程．校学生会、团委随机抽取了部分学生进行调查，以了解学生最喜欢哪一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图．

请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生，图中扇形“C”的圆心角度是______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人刚好是甲和乙的概率．

22. 如图，已知抛物线y=--x+4与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点E是抛物线在第二象限部分上的一动点，其横坐标为a，求a为何值时，图中阴影部分面积最小，并写出此时点E的坐标．

23. 已知，如图△ABC和△ECD是等腰直角三角形．CE⊥BC于点C，取BD的中点N，连接EN并延长交BC于M，连接AN、AM、AE．
（1）①直接写出：AN与EM的位置关系是______，AN与EM的数量关系是______．
②请任意选择上述关系中的一个加以证明．
（2）已知AB=4，CD=2，若BD与CE交于点F，求DF的长．

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：-5的相反数是5．
故选：B．
根据相反数的定义直接求得结果．
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．
2.【答案】B

【解析】解：（-x）3•（-2x）2
=-x3•（4x2）
=-4x5，
故选：B．
先算乘方，再算乘法即可．
本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能熟记法则的内容是解此题的关键．
3.【答案】C

【解析】解：从上面看所得到的图形为C．
故选：C．
从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从上面看所得到的图形即可．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．
4.【答案】A

【解析】解：A、a2-6a+9=（a-3）2，故本选项正确；
B、不能分解因式，故本选项错误；
C、不能分解因式，故本选项错误；
D、不能分解因式，故本选项错误．
故选：A．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．
5.【答案】C

【解析】解：如图，

∵∠1+∠2=180°，
∴a∥b，
∴∠4=∠5，
∵∠3=∠5，∠3=55°，
∴∠4=∠3=55°，
故选：C．
利用平行线的判定和性质即可解决问题．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
​直接根据圆周角定理得出方程即可得出结论．
【解答】
解：∵2∠C=∠O，
∵∠C+∠O=63°，
∴∠O=42°，
故选：D．
7.【答案】C

【解析】解：A、选择A型养老的频率是=，此选项说法正确；
B、选择养老模式E的人数最多，此选项说法正确；
C．可以估计当地30000个老年人中选择C型养老的人数为30000×=4000人，此选项说法错误；
D、样本容量是1500，此选项说法正确；
故选：C．
根据频率定义、样本估计总体、样本容量和总体的概念逐一判断可得．
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
8.【答案】D

【解析】【分析】
本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键，是一道基础题.
首先表示出二月份的产值，然后表示出三月份的产值即可．
【解答】
解：∵1月份（即元月）产值为a万元，2月份比元月份减少5%，
∴2月份的产值为a（1-5%）万元，
∵3月份比2月份增长9%，
∴依题意可得：b=a（1-5%）（1+9%）．
故选：D．
9.【答案】D

【解析】解：∵B（，c）在反比例函数y=的图象上，
∴=1，即a=c，
又∵-1＜c＜0，
∴-1＜a＜0，ac＞0，
∴＜a，
∵反比例函数y=在每个象限内由随着x的增大而减小，
∴b＜c，
∴b-c＜0，
∴一次函数y=（b-c）x+ac的大致图象经过一二四象限，
故选：D．
依据B（，c）在反比例函数y=的图象上，即可得到a=c，再根据-1＜c＜0，即可得到-1＜a＜0，ac＞0，＜a，依据反比例函数y=在每个象限内由随着x的增大而减小，即可得到b＜c，即b-c＜0，进而得出一次函数y=（b-c）x+ac的大致图象经过一二四象限．
本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10.【答案】B

【解析】解：连接AC，作NG⊥BC于G，
则DN=GC，NG=DC，
∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，
∴DN：MC=1：3，
设DN=a，则MC=3a，
∴CG=a，MG=2a，
∵AD∥BC，
∴∠ANM=∠NMC，
由折叠的性质可知，∠ANM=∠CNM，
∴∠CNM=∠NMC，
∴CN=CM=3a，
由勾股定理得，NG==2a，
∴NM==2a，
∴==2，
故选：B．
连接AC，作NG⊥BC于G，根据三角形的面积公式得到DN：MC=1：3，设DN=a，根据勾股定理用a表示出MN，计算即可．
本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，掌握翻转变换的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．
11.【答案】5.3×107

【解析】解：“5300万”用科学记数法可表示为5.3×107．
故答案为：5.3×107．
科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n表示整数．n为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n次幂．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】

【解析】【分析】
原式约分后，利用同分母分式的减法法则计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【解答】
解：-==，
故答案为：.
13.【答案】4

【解析】解：∵点A（3，），
∴tan∠AOB=，OA=，
∴∠AOB=30°，
∵AC⊥OA于点A，∠BOC=30°，
∴∠OAC=90°，∠AOC=60°，
∴tan∠AOB=，tan∠AOC=，
即tan30°=，tan60°=，
解得，AB=2，AC=6，
∴BC=AC-AB=4，
故答案为：4．
根据点A的坐标可以求得∠AOB和OA的长度，再根据锐角三角函数可以求得AC和AB的长，从而可以求得BC的长．
本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】或

【解析】解：分两种情况：
①如图1，当DF=AF时，由菱形性质可知∠DAC=30°，AC=4，
∴AF=．
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，解得AE=；
②如图2，当AD=AF=4时，∵△AEF∽△ABC，
∴，即，解得AE=．

故答案为或．
分两种情况：①DF=AF；②AD=AF，计算出每种情况下FA长度，利用EF∥BC得到线段比求解AE长．
本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是观察图形找到相似模型．
15.【答案】解：原式=2-1×3
=2-3
=-1．

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：设第五节的容积为x升，每一节与前一节的空积之差为y升，依题意得：
，
解得：，
答：第五节的容积9升，每一节与前一节的容积之差2升．

【解析】从题目中可知，第2节开始相邻两节的容积差相等设为y，第5节的容积直接设为x，然后根据第5节和容积差建立等量关系：第1节容积+第2节容积+第3节容积=9，第7节容积+第8节容积+第9节容积=45构建二元一次方程组求解．
本题考查了二元一次方程组在古典数学中的应用，突出了我国古人在数学方面的成就．难点是用第5节容积和相邻容积来表示竹子各节的容积．
17.【答案】（1）10   72-32  
（2）​第n个等式为：n（n+6）=（n+3）2-32；
证明：左边=n（n+6）=n2+6n，
右边=（n+3）2-32=n2+6n+9-9=n2+6n，
左边=右边
n（n+6）=（n+3）2-32．

【解析】解：（1）第四个等式：4×10=72-32；
（2）见答案
【分析】
由等式可以看出：第一个因数是从1开始连续的自然数，第二个因数比第一个因数大6，结果是第一个因数与3和的平方，减去3的平方，由此规律得出答案即可．
本题考查了数字的变化类，找出数字之间的运算规律，发现规律是解题关键．
18.【答案】（1）△FB'C'如图所示；
（2）△DE'F如图所示；
​
（3）8；

【解析】解：（1）见答案；
（2）见答案；
（3）四边形B'C'FE'的面积=4×4-×2×3-×2×3-×1×4=8．
故答案为8．
【分析】
（1）分别作出B，C的对应点B′，C′即可．
（2）作出点E的对称点E′即可．
（3）利用分割法求四边形的面积即可．
本题考查-轴对称变换，平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，

则四边形BEDF是矩形，在Rt△ABE中，
∵tan∠A=，
∴∠A=30°，
∴BE=，
∴DF=BE=150（米），
在Rt△BCF中，∵sin40°=，
∴CF=BC×0.64=240×0.64=153.6，
∴CD=CF+FD=150+153.6≈413（米），
答：山顶C的铅直高度CD约为413米．

【解析】过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，根据三角函数解答即可．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20.【答案】解：（1）连接OD，
∵OD=OC，AB=AC，
∴∠ODC=∠OCD=∠B，
∴OD∥AB，
∵EF⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴直线EF是⊙O的切线；
（2）设OD=r，则FO=5+r，
∵OD∥AB，
∴△FOD∽△FAE，
∴，即，
解得r=，
则AC=2r=．

【解析】（1）利用等边对等角得到∠ODC=∠OCD=∠B，证明OD∥AB，即可证明结论；
（2）由（1）知OD∥AB，可推出△FOD∽△FAE，再根据相似三角形的对应边成比例可求解．
本题主要考查相似三角形的判定和性质以及圆的切线的判定，属于基础题．
21.【答案】解：（1）100   72°  
（2）​C项目的人数为100-42-12-26=20（名），
补全条形图为：


（3）树状图如下：

共有12种等可能的结果数，其中出现甲和乙的结果数为2，
所以恰好选到甲和乙的概率==．

【解析】解：（1）该校本次调查的学生数为42÷42%=100 （名）；
图中扇形“C”的圆心角度是360°×（1-42%-12%-26%）=72°；
故答案为：100，72°；

（2）（3）见答案

【分析】（1）用A项目的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，用360°乘以扇形“C”所占的百分比求出“C”的圆心角度数；
（2）先计算出C项目的人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出出现甲和乙的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．
22.【答案】解：（1）当y=0时，--x+4=0，
解得x=-4，x=2，
∴A（-4，0），B（2，0），
当x=0时，y=4，
∴C（0，4）；
（2）∵E的横坐标是a，
∴E（a，-a2-a+4），
连接OE，
S△EAC=S四边形OCEA-S△AOC=×4×（-a）+×4×（-a2-a+4）-×4×4=-（a+2）2+4，
当a=-2时，△AEC有最大值，此时阴影部分的面积最小，
∴E（-2，4）．

【解析】（1）当x=0时求点C坐标，当y=0时求A、B的坐标；
（2）连接OE，S△EAC=S四边形OCEA-S△AOC=-（a+2）2+4，当a=-2时，即可求解；
本题考查二次函数图象上点的特征，三角形面积．熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法，将面积转换为二次函数求最值是解题的关键．
23.【答案】（1）①AN⊥EM   AN=EM  
②∵∠DEC=∠BCE=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDN=∠NBM，
∵BN=DN，∠END=∠MNB，
∴△END≌△MNB（ASA），
∴MN=EN，BM=DE，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠ABC=°，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACE=45°=∠ABM，
∴△ABM≌△ACE（ASA），
∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，
∴∠BAC=∠MAE=90°，
∴MN=EN，
∴AN⊥ME，AN=EM；
（2）​过D作DG⊥BC于G，

∵∠DEC=∠ECG=∠G=90°，ED=EC，
∴四边形ECGD是正方形，
∵CD=2，
∴DE=DG=CG=，
∵AB=4，△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=4，
∴BG=5，
由勾股定理得：BD===2，
∵ED∥BC，
∴，
∴DF=BD==．

【解析】解：（1）①AN与EM的位置关系是：AN⊥EM，AN与EM的数量关系是：AN=EM；
故答案为：AN⊥EM，AN=EM；
②见答案

（2）见答案
【分析】
（1）①直接写出关系即可；②由△ABC和△CDE是等腰直角三角形，易证得△ABM≌△ACE，则可证得△AME是等腰直角三角形，继而证得AN⊥EM，AN=EM．
（2）作辅助线，构建正方形CGDE，得DE=DG=CG=，利用勾股定理计算BD的长，最后根据平行线分线段成比例定理可得DF的长．
此题属于三角形的综合题．考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

2020年安徽省中考数学信息交流试卷（一）