2021年安徽中考信息交流卷（一）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．－5的相反数是（ ）

A．5 B．－5 C． D．

2．计算的结果是（ ）

A． B． C． D．

3．如图所示几何体的俯视图是( )

A． B． C． D．

4．下面的多项式中，能分解因式的是（ ）

A． B． C． D．

5．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝55°，那么∠4的度数是（　　）

A．35° B．45° C．55° D．125°

6．如图，点A，B，C都在上，，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

7．某研究机构经过抽样调查，发现当地老年人的养老模式主要有五种，抽样调查的统计结果如图： 那么下列说法不正确的是（ ）

A．选择型养老的频率是 B．选择养老模式的人数最多

C．估计当地个老年人中有人选择型养老 D．样本容量是

8．某地区2021年元月份的国民生产总值为万元， 2月份比元月份减少3月份预计比2月份增加了，若该地区2021年3月份的国民生产总值为万元，则之间的关系为（ ）

A． B． C． D．

9．若点A（a，b），B（，c）都在反比例函数y＝的图象上，且﹣1＜c＜0，则一次函数y＝（b﹣c）x+ac的大致图象是（　　）

A． B．

C． D．

10．如图，在矩形中，折叠矩形使点与点重合，点对应点为折痕与相交于点若的面积与的面积比为则的值是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题

11．根据安徽省旅游市场统计，2021年国庆期间，我省各大旅游景点共接待游客万人次．其中，“万” 用科学记数法可表示为 __________________．

12．化简的结果是 __________________．

13．如图，直线经过点，过点且垂直于的直线与轴交于点与直线交于点且，则的长等于____________________．

14．如图，菱形的边长为，点是边上一动点(不与点重合)，过点作交于点连接当是等腰三角形时，的长等于 __________________．

三、解答题

15．计算：

16．观察下列关于自然数的等式：

1×7＝42﹣32①；2×8＝52﹣32②；3×9＝62﹣32③；…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：4×　 　＝　 　；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

17．我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有﹣一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．

请解答上述问题．

18．如图所示，每个小正方形的边长为的顶点都在小正方形的顶点处．

将平移，使点平移到点点的对应点分别是点，画出；

画出关于所在直线对称的；

直接写出四边形的面积是_ ．

19．某数学活动小组组织一次登山活动．他们从山脚下点出发沿斜坡到达点．再从点沿斜坡到达山顶点，路线如图所示．斜坡的长为米，坡度斜坡的长为米，在点测得点的仰角为．求山顶的铅直高度．(精确到米，参考数据：)

20．如图，在中，以为直径作交于点垂足为，交的延长线于点．

求证：直线是的切线；

若，，求的长．

21．为了加强中华优秀传统文化教育．培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，包括(经典诵读)，(传统戏曲)，(中华功夫)，(民族器乐)四门课程．校学生会随机抽取了部分学生进行调查，问询学生最喜欢哪-一门课程，并将调查结果绘制成如下统计图．

请结合图中信息解答问题：

本次共调查了_______ 名学生，图中扇形“”的圆心角度数是 _．

请将条形统计图补充完整；

在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择了“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．

22．如图，已知抛物线与轴交于点(点在点的左侧)，与轴交于．

求点的坐标；

若点是抛物线在第二象限部分上的一动点，其横坐标为求为何值时，图中阴影部分面积最小，并写出此时点的坐标．

23．已知，如图，和是等腰直角三角形，于点取的中点连接并延长交于．连接．

①直接写出：与的位置关系是________，与的数量关系是 ；

②请任意选择上述关系中的一个加以证明．

已知，，若与交于点求的长．

参考答案

1．A

【分析】

根据相反数的定义求解．

【详解】

解：-5的相反数是5

故选：A．

【点睛】

本题考查相反数的概念．

2．B

【分析】

根据同底数幂的运算法则，计算即可.

【详解】

故选：B.

【点睛】

此题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握，即可解题.

3．C

【解析】

【分析】

从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，画出从上面看所得到的图形即可．

【详解】

解：从上面看所得到的图形为C．

故选C．

【点睛】

此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．

4．A

【分析】

根据因式分解的方法逐项分析即可.

【详解】

A. =，故符合题意；

B. 不能因式分解，故不符合题意；

C. 不能因式分解，故不符合题意；

D. 不能因式分解，故不符合题意；

故选：A.

【点睛】

此题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

5．C

【解析】

【分析】

利用平行线的判定和性质即可解决问题．

【详解】

如图，

∵∠1+∠2＝180°，

∴a∥b，

∴∠4＝∠5，

∵∠3＝∠5，∠3＝55°，

∴∠4＝∠3＝55°，

故选C．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．

6．D

【分析】

由题意直接根据圆周角定理得出式子，并进行计算即可得出结论．

【详解】

解：，

，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．

7．C

【分析】

根据统计结果逐项分析即可得到答案.

【详解】

A、∵调查的总人数为50+350+200+400+500=1500（人），

∴选择型养老的频率是=，故A正确；

B、根据统计结果知：选择E的养老模式的人数500人最多，故B正确；

C、当地个老年人中选择型养老有=4000（人），故C错误；

D、调查的总人数是1500人，故样本容量是1500，故D正确；

故选：C.

【点睛】

此题考查统计图的运用，能正确计算样本容量，部分的数量，部分的频率，能依据样本的概率计算总体的数量，正确理解统计结果进行运算是解题的关键.

8．D

【分析】

先求出2月份的生产总值，再计算3月份的生产总值，即可得到答案.

【详解】

∵元月份的国民生产总值为万元， 2月份比元月份减少

∴2月份的生产总值为a（1-5%）万元，

∵3月份预计比2月份增加了，

∴3月份的生产总值是a（1-5%）（1+9%）万元，

∴

故选：D.

【点睛】

此题考查列代数式，正确理解各月份生产总值之间增加或减小的关系是列式的前提.

9．D

【解析】

【分析】

将，代入，得，，然后分析与的正负，即可得到的大致图象.

【详解】

将，代入，得，，

即，．

∴．

∵，∴，∴．

即与异号．

∴．

又∵，

故选D．

【点睛】

本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，一次函数的图像与性质，得出与的正负是解答本题的关键.

10．B

【分析】

作于点，则连接得到根据设得到根据得到CN=CM=3k，利用勾股定理求出NG，再求出MN，即可得到答案.

【详解】

作于点，则连接

则

设

则，

则

，

∴，

，

.

故选：B.

【点睛】

此题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等角对等边的性质，正确引出辅助线解题是关键.

11．

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【详解】

万=，

故答案为：．

【点睛】

此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解．

12．

【分析】

先将分式的第一项分解因式后化简，再根据同分母分式的减法法则计算.

【详解】

=，

=，

=，

故答案为：.

【点睛】

此题考查分式的减法法则，分式的约分化简，正确掌握分式的约分法则及减法法则是解题的关键.

13．

【分析】

过点作轴，为垂足，根据勾股定理求出OA，证得∠AOB=30°，由AB⊥，得到∠OAB=90°，根据，利用三角函数求出DB=1，得到OB=4，再证明∠OCB=∠BOC，即可得到BC=OB=4.

【详解】

过点作轴，为垂足，

∵,

∴OD=3，AD=,

∴OA=,

∴∠AOB=30°，

∵AB⊥，

∴∠OAB=90°，

在中，，

，

，

∴∠OCB=∠BOC，

故答案为：4.

【点睛】

此题考查直角坐标系中图形与坐标，勾股定理求线段长度，三角函数的运用，等角对等边的性质的运用.

14．或

【分析】

分两种情况：如图1，当时，根据菱形的性质及等腰三角形的性质求出∠DFC=60°，连接BD交AC于O，证明△ABD是等边三角形，得到OD=2，根据三角函数得到AF=DF=，再证明△AEF∽△ABC，求出AE；如图2，当时，利用EF∥BC证明△AEF∽△ABC，即可求出AE.

【详解】

分两种情况：如图1，当时，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=4，

∴，

∴∠DFC=60°,

连接BD交AC于O，

∵AB=AD，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=4，

∴OD=2，

∴AF=DF=，

，

；

如图2，当，

，

，

，

故答案为：或.

【点睛】

此题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质,相似三角形的判定及性质，锐角三角函数.

15．-1．

【分析】

根据立方根的定义，零次幂的定义，负整数指数幂的计算法则依次化简，再计算乘法，最后计算减法.

【详解】

原式.

【点睛】

此题考查实数的混合运算，正确掌握立方根的定义，零次幂的定义，负整数指数幂的计算法则是解题的关键.

16．(1)第四个等式：；(2)第个等式：；证明见解析.

【分析】

（1）由等式可以看出:第一个因数是从1开始连续的自然数，第二个因数比第一个因数大6，结果是第一个因数与3和的平方减去3的平方；

（2）根据（1）发现的规律即可写出第个等式，然后把左右两边分别化简即可证明其正确性.

【详解】

(1)第四个等式：．

(2)第个等式：．

证明：左边，

右边，

左边右边，

即．

【点睛】

本题考查了规律型---数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．

17．第五节的容积9升，每一节与前一节的容积之差2升．

【解析】

【分析】

从题目中可知，第2节开始相邻两节的容积差相等设为y，第5节的容积直接设为x，然后根据第5节和容积差建立等量关系：第1节容积+第2节容积+第3节容积＝9，第7节容积+第8节容积+第9节容积＝45构建二元一次方程组求解．

【详解】

解：设第五节的容积为x升，每一节与前一节的空积之差为y升，依题意得：

，

解得：，

答：第五节的容积9升，每一节与前一节的容积之差2升．

【点睛】

本题考查了二元一次方程组在古典数学中的应用，突出了我国古人在数学方面的成就．难点是用第5节容积和相邻容积来表示竹子各节的容积．

18．（1）见解析；（2）见解析；（3）8．

【分析】

（1）根据平移的性质作图即可；

（2）根据轴对称的性质作图即可；

（3）根据四边形的面积=列式计算即可.

【详解】

如图所示；

(3) 四边形的面积===8，

故答案为：8.

【点睛】

此题考查作图能力：轴对称图形、利用平移作图，考查轴对称的性质，平移的性质，计算网格中多边形的面积.

19．山顶的铅直高度约为米．

【分析】

过点作于点，作于点，得到四边形是矩形，利用三角函数求出，得到BE的长度，在中，利用三角函数求出CF的长度，即可得到CD.

【详解】

过点作于点，作于点，

则四边形是矩形，在中

米，

在中，

，

(米)

答：山顶的铅直高度约为米.

【点睛】

此题考查锐角三角函数的实际应用，正确理解题意，将所给的边或角转化为直角三角形中，利用三角函数解题.

20．（1）见解析；（2）．

【分析】

连接根据OD=OC，AB=AC，证得，得到OD∥AB，根据EF⊥AB即可得到OD⊥EF，由此得到结论；

设，则，证明△FOD∽△FAE，求出r，即可得到AC.

【详解】

连接

，

是的切线；

设，则，

，即

解得，

则.

【点睛】

此题考查圆的切线的判定定理，圆的性质，相似三角形的判定及性质.

21．（1）100，72；（2）见解析；（3）．

【分析】

（1）用B项目的人数除以其百分比即可得到调查人数，计算出C项目的人数除以调查人数后再乘以360°得到C的圆心角度数；

（2）根据（1）求出的C项目是12人直接补图即可；

（3）列树状图表示所有可能的情况，确定恰好是甲和乙的情况，再根据概率公式计算即可.

【详解】

（1）调查人数=（人）；

C项目的人数为：100-42-12-26=20（人），

∴扇形“”的圆心角度数是=72°，

故答案为：100，72°；

补全条形图如下：

树状图如下：

所有出现的结果共有种情况，并且每种情况出现的可能性相等，其中出现甲和乙一起的情况共有种，

恰好选到甲和乙的概率.

【点睛】

此题是统计题，正确理解条形图和扇形图中的信息，能根据部分的数量及百分比求总体，掌握计算部分百分比的公式，会列树状图或是表格求事件的概率.

22．（1）点的坐标为；点的坐标为；点坐标为； （2）当时，有最大值，此时阴影部分面积最小，点的坐标为．

【分析】

(1)当y=0时求出得到点A、B的坐标，当x=0时y=4，得到点C的坐标；

(2) 连接根据，利用抛物线的性质得到当时，有最大值，此时阴影部分面积最小，由此得到点的坐标.

【详解】

当时，

解得

点的坐标为点的坐标为；

当时，，

点坐标为；

点横坐标为又在抛物线上，

点的纵坐标为，

连接

，

抛物线开口向下，当时，有最大值，

此时阴影部分面积最小，

∴点的坐标为.

【点睛】

此题考查抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，抛物线与几何图形，抛物线的性质，（2）中求图形面积最小，由图形是不规则图形不能直接确定面积，故转化为面积差的计算方法求出阴影部分的面积，积累这种转化思想.

23．（1）①；②见解析；（2）．

【分析】

(1)①根据和是等腰直角三角形，得到∠ABC=∠ACB=45°，根据，得到∠ECB=∠CED=90°，推出ED∥BC，证得∠EDN=∠MBN，从而证明△BMN≌△DEN，得到BM=EC，再证明△ABM≌△ACE，推出△MAE是等腰直角三角形，得到；

②如①的证明过程；

过点作于点得到四边形是正方形，由勾股定理求出， ，得到，由勾股定理求出，根据证得△DEF∽△BCF，求出DF的长度.

【详解】

(1)①∵和是等腰直角三角形，

∴AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵，

∴∠ECB=∠CED=90°，

∴ED∥BC，

∴∠EDN=∠MBN，

∵N是BD的中点，

∴BN=DN，

∵∠BNM=∠END，

∴△BMN≌△DEN，

∴BM=DE，MN=EN，

∴BM=EC，

∵∠ECB=90°，∠ACB=45°，

∴∠ACE=∠ABC=45°，

∵AB=AC，

∴△ABM≌△ACE，

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，

∵∠BAM+∠CAM=90°，

∴∠MAE=∠CAE+∠CAM=90°，

∴△MAE是等腰直角三角形，

∵MN=NE，

∴，

故答案为：；

选给予证明：

，

点是的中点，

在和中，

，

，

；

∵△ABC和是等腰直角三角形，

，，

；

，

在和中，

，，

即；

又．

，

(说明：由可得)；

过点作于点

则四边形是正方形，

，

在等腰直角中，

，

在直角中，由勾股定理得.

由得

，

，

.

【点睛】

此题考查等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质.

2021年安徽中考信息交流卷（一）数学试题