1.4 度量空间的列紧性与紧性

1.4.1 度量空间的紧性Compactness

在微积分中，闭区间上的连续函数具有最大值、最小值、一致连续等，这些性质的成立基于一个重要的事实：的紧性，即有界数列必有收敛子列．但这一事实在度量空间中却未必成立．

例1.4.1 设，对于，定义

，

令，那么是有界的发散点列．

证明 由于

所以为有界点列．对于任意的，有

因此不是基本列，当然不是收敛列．□

定义1.4.1 列紧集、紧集与紧空间Sequentially compact set, Compact set, Compact space

设是度量空间，．

(1) 如果中任何点列都有收敛于的子列，则称为列紧集(或致密集、或相对紧集)；

(2) 如果是列紧集，也是闭集，则称为紧集；

(3) 如果本身是列紧集(必是闭集)，则称为紧空间．

注1：若是的列紧集，且，那么？若是的紧集，？．

定理1.4.1 设是度量空间，下列各命题成立：

(1)的任何有限集必是紧集；

(2) 列紧集的子集是列紧集；

(3) 列紧集必是有界集，反之不真．

证明 (1)、(2)易证．下面仅证(3)．

假设是列紧集，但无界．取固定，则存在，使得．对于，必存在，使得、．由于是无界集，可依此类推得到的点列满足：只要，就有．显然点列无收敛子列，从而不是列紧集导致矛盾，故是有界集．

反过来，是有界集，未必列紧．反例：空间上的闭球有界，而不是列紧集(见例1.1)．□

注2：中的开区间是列紧集，却不是紧集．(由于中的有界数列必有收敛子列，所以中的数列必有收敛子列，但不是闭集，故列紧不紧．)

注3：自然数不是列紧集．(无界)

推论1.4.1 (1) 紧空间是有界空间；(2) 紧空间是完备空间．

证明 (1) 若为紧空间，那么本身为列紧集，而列紧集有界，故为有界空间．

(2) 若为紧空间，即它的任何点列有收敛子列，从而知中的基本列有收敛子列，根据基本列的性质(若基本列含有收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到子列的极限)，可得中的基本列收敛，因此为完备的空间．□

关于维殴氏空间中的列紧集、紧集的特性有如下定理．

定理1.4.2 设，是维殴氏空间，那么

(1)是列紧集当且仅当是有界集；

(2)是紧集当且仅当是有界闭集．

证明 (1) 必要性显然成立；利用闭球套定理可以证明：如果是有界的无限集，则具有极限点，从而可证充分性．

(2) 由(1)易得．□

注4：由于中的非空紧集就是有界闭集，定义上的连续函数具有最大与最小值，这一事实在度量(距离)空间中依然成立．首先说明连续映射将紧集映射为紧集．

引理1.4.1 设是从度量空间到上的连续映射(称为算子)，是中的紧集，那么是中的紧集．

证明 设，首先证明是中的列紧集．

，，使得，．由于是紧集，所以点列存在收敛的子列，且，又知是上的连续映射，于是

．

即有收敛于的子列，因此为中的列紧集．

再证是闭集．设，，根据的紧性和连续映射可得，对应的点列()存在收敛的子列，．从而

，

即是闭集．□

定理1.4.3 最值定理

设是度量空间中的紧集，是定义在上的实值连续函数(泛函)，即，那么在上取得最大值与最小值．

证明 设，由上述引理知是中的紧集．所以是中的有界集，于是上、下确界存在，设

，．

下证是在上取得的最大值，同理可证是在上取得的最小值．由确界性的定义知，，，使得

，即可得．

再由为紧集知存在，使得(), 于是

令，有，因此是在上取得的最大值．□

1.4.2 度量空间中的全有界性

刻画列紧性的重要概念之一是全有界性，通过以下的讨论可知：(1)度量空间中的列紧集必是全有界集；(2)在完备度量空间中，列紧集和全有界集二者等价．

定义1.4.2 网

设是度量空间，，给定．如果对于中任何点，必存在中点，使得，则称是的一个网．即

图4.1 是的一个网示意图

例如：全体整数集是全体有理数的0.6网；平面上坐标为整数的点集是的0.8网．

图4.2 整数集是全体有理数的0.6网示意图

定义1.4.3 全有界集

设是度量空间，，如果对于任给的，总存在有限的网,则称是中的全有界集．

注5：根据定义可知是中的全有界集等价于，,使得，其中表示以中心，以为半径的开邻域．

引理1.4.2 是度量空间的全有界集当且仅当，,使得．

证明 当是全有界集时，，,使得．不妨设有，选取，显然以及，因此

．□

注6：在中，不难证明全有界集与有界集等价，那么在一般的度量空间中这样的结论成立吗？还是只在完备的度量空间中成立？下面给出有界集和全有界集的关系．

定理1.4.4 全有界集的特性

设是度量空间，，若是全有界集，则(1)是有界集；(2)是可分集．

证明 (1) 设是全有界集，取，由定义知，及,使得

．

现令，则易知，可见是有界集．

(2) 设是全有界集，下证有可列的稠密子集．

由引理1.4.2知对于()，存在，使得，下面证明是的稠密子集．

，，存在，使得，由于是的网，故，使，从而，，即在中稠密，显然是可列集，故可分．□

注7：由上述定理知全有界集一定是有界集，然而有界集却不一定是全有界集．

例如全体实数对应的离散度量空间中的子集是有界集，却不是全有界集．

定理1.4.5 全有界的充要条件

设是度量空间，，则是全有界集当且仅当中的任何点列必有基本子列．

证明 (1)充分性：反证法．若不是全有界集，则存在，没有有限的网，取，再取，使，(这样的存在，否则为的网)．再取，使， (这样的存在，否则为的网)．以此类推，可得，而没有基本子列，产生矛盾，故是全有界集．

(2)必要性：设是的任一点列，取，，因为是全有界集，故存在有限网，记为．

以有限集的各点为中心，以为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了，从而覆盖了，于是至少有一个开球(记为)中含有的一个子列．

同样以有限集的各点为中心，以为半径作开球，那么这有限个开球覆盖了，于是至少有一个开球(记为)中含有的一个子列．依次可得一系列点列：

：．

：．

．

：．

且每一个点列是前一个点列的子列，取对角线元素作为的子列，即

是的子列．下证是基本列．

，取，使得，那么当时，不妨设，则有，记开球的中心为，那么有

，

故是的基本子列．□

推论1.4.2 豪斯道夫(Hausdorff)定理 设是度量空间，．

(1) 若是列紧集，则是全有界集；

(2) 若是完备的度量空间，则是列紧集当且仅当是全有界集．

证明 (1) 因为列紧集中的任何点列都有收敛子列，故它必是基本子列，由上述定理1.4.5知是全有界集；

(2) 必要性：由(1)知，度量空间中的列紧集一定是全有界集．

充分性：，因为是全有界集，所以含有基本子列，又知完备，于是在中收敛，可见的任何点列都有收敛的子列，即是列紧集．□

注9：对于一般的度量空间：列紧集是全有界集；全有界集是有界集，有界集却不一定是全有界集，全有界集却不一定是列紧集．

例如：让表示上的有理数全体，在欧氏距离定义下，由于，所以不是完备的度量空间、不是列紧集．由于，存在正整数，使得，那么是的网，所以是全有界．

综上所述，紧集、列紧集、全有界集及有界集、可分集有如下的关系：

紧集列紧集全有界集

紧集列紧集全有界集

定理1.4.6 中点集列紧的的充要条件

设，则是列紧集的充要条件为以下两条成立．

(1)一致有界：，，对任何有成立；

(2)等度连续：， (与及无关)，当及时，有．

注意区别等度连续与映射的一致连续两个概念．

推论1.4.3 阿尔采拉(Arzela)引理 设是的一致有界且等度连续的函数族，则从中必可选出在上一致连续的子序列．

定理1.4.7 设，则是列紧集的充要条件为以下两条成立．

(1)一致有界：，，有；

(2)等度连续：，，，有．

例1.4.2 设为离散的度量空间，，证明：是紧集的充要条件为是有限点集．(2-18)

证明 (1)充分性：设是有限点集，则必为闭集，又无点列，故为紧集．

(2)必要性：反证法．假设为无限点集，则必有可列子集，且种元素各不相同，不妨设为，当时，根据离散度量空间中距离的定义知，从而无收敛子列，这与的紧性矛盾，故必为有限集．□

例1.4.3 设为紧的度量空间，是的闭子集，证明是紧集．(2-21)

证明1 由于是闭子集，所以只需证明是列紧集．设是的一个点列，显然，又知是紧的度量空间，于是存在收敛于的子列，即是列紧集．□

证明2 由于是列紧集，且列紧集的子集是列紧集，所以是列紧集．又知是闭子集，因此是紧集．□

注10：在离散的度量空间中，是紧集是有限点集．

在维欧氏空间中，是紧集是有界闭集．

在完备度量空间中，是紧集是全有界闭集．

紧的度量空间的闭子集是紧集．完备的度量空间的闭子集是完备的．

14 度量空间的列紧性与紧性