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2020年广西南宁市中考数学一模试卷（04月）

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上，在试卷上作答无效，选择题需使用2B铅笔填涂

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．2019的相反数是（　　）

A． B．﹣ C．|2019| D．﹣2019

2．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B．

C． D．

3.举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（　　）

A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104

4．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（　　）

A．张大爷去时所用的时间少于回家的时间

B．张大爷在公园锻炼了40分钟

C．张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路

D．张大爷去时速度比回家时的速度慢

5．下列事件为必然事件的是（　　）

A．五边形的外角和是360°

B．打开电视机，它正在播广告

C．明天太阳从西方升起

D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上

6．下列运算中，正确的是（　　）

A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5 C．3a2b﹣3ba2=0 D．5a2﹣4a2=1

7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

8．若抛物线y=﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式为（　　）

A．y=﹣（x+3）2+2 B．y=﹣（x﹣3）2+2

C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x+3）2﹣2

9．若一个圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　　）

A．90° B．120° C．150° D．180°

10．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（　　）

A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm

11．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）

12．如图，Rt△ABC的边BC在x轴正半轴上，点D为AC的中点，DB的延长线交y轴负半轴于点E，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，若S△BEC=6，则k的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．在2，1，﹣4，﹣1，0这五个数中，最小的数是　 　．

14．要使分式有意义，则字母x的取值范围是　 　．

15．分解因式：x2﹣9=　 　．

16．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=20°，则∠2=　 　．

17．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是　 　m（结果保留根号）

18．如图，按此规律，第　 　行最后一个数是2017．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19．计算：（﹣2020）0+|﹣2|﹣4ocs30°+（﹣） ﹣2．

20．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣2．

21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．

（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．

（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，试在图中画出图形△A2B2C2，并计算点C旋转到点C2所经过的路径长．（结果保留π）

22．2019年南宁市教育局组织全市中小学时候参加安全知识网络竞赛，在安全知识竞赛结束后，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于50分．为了了解本次大赛的成绩分布情况，某校随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分为100分）作为样本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题：

（1）频数分布表中a=　 　，b=　 　；本次比赛成绩的中位数会落在　 　分数段；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）该校安全知识竞赛成绩满分共有4人，其中男生2名，女生2名，为了激励学生增强安全意识，现需要从这4人中随机抽取2人介绍学习经验，请用“列表法”或“画树状图”，求恰好选到一男一女的概率．

23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，E是AC上一点，且DE=CE，连接OE．

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）求证：E为AC的中点．

24．南宁盛产各种特色食品，其中芒果干与桂圆干是大家非常喜爱的两种特产，某旅行经销店欲购进一批芒果干与桂圆干，已知购买1袋芒果干和1袋桂圆干共需75元，3袋芒果干和2袋桂圆干共需205元．

（1）求芒果干与桂圆干的进货单价；

（2）若芒果干与桂圆干的售价如表：该旅游经销店打算用不超过2700元的货款购进芒果干与桂圆干共100袋，如何进货能够使两种特产全部售完后获得最大利润，最大利润是多少？（不考虑其他因素）

25．已知正方形ABCD，P为直线CD上的一点，以PC为边作正方形PCNM，使点N在直线BC上，连接MB、MD．

（1）如图1，若点P在线段DC的延长线上，求证：MB=MD；

（2）如图2，若点P在线段DC上，当P为DC的中点时，判断△PMD的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点P在线段DC上，连接BD，当MP平分∠DMB时，求∠DMB的度数．

26．抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴；

（2）如图a，点P是抛物线上第二象限内的一动点，若以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；

（3）如图b，点D是抛物线上第二象限内的一动点，过点O，D的直线y=kx交AC于点E，若S△CDE：S△CEO=2：3，求k的值．

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．2019的相反数是（　　）

A． B．﹣ C．|2019| D．﹣2019

【解答】解：2019的相反数是﹣2019，

故选：D．

2．如图是由4个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】主视图有2列，每列小正方形数目分别为1，2．

【解答】解：如图所示：它的主视图是：．

故选：B．

【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．

　3．举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（　　）

A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

【解答】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104，

故选：D．

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（　　）

A．张大爷去时所用的时间少于回家的时间

B．张大爷在公园锻炼了40分钟

C．张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路

D．张大爷去时速度比回家时的速度慢

【考点】E6：函数的图象．

【分析】根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．

【解答】解：如图，

A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故选项错误；

B、张大爷在公园锻炼了40﹣15=25分钟，故选项错误；

C、据A张大爷去时走下坡路，回家时走上坡路，故选项错误．

D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故选项正确．

故选D．

5．下列事件为必然事件的是（　　）

A．五边形的外角和是360°

B．打开电视机，它正在播广告

C．明天太阳从西方升起

D．抛掷一枚硬币，一定正面朝上

【考点】X1：随机事件．

【分析】分别利用必然事件以及不可能事件、随机事件的定义分析得出答案．

【解答】解：A、五边形的外角和是360°，是必然事件，符合题意；

B、打开电视机，它正在播广告，是随机事件，不合题意；

C、明天太阳从西方升起，是不可能事件，不合题意；

D、抛掷一枚硬币，一定正面朝上，是随机事件，不合题意；

故选：A．

6．下列运算中，正确的是（　　）

A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5 C．3a2b﹣3ba2=0 D．5a2﹣4a2=1

【考点】35：合并同类项．

【分析】先根据同类项的概念进行判断是否是同类项，然后根据合并同类项的法则，即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变计算进行判断．

【解答】解：A、3a和2b不是同类项，不能合并，A错误；

B、2a3和3a2不是同类项，不能合并，B错误；

C、3a2b﹣3ba2=0，C正确；

D、5a2﹣4a2=a2，D错误，

故选：C．

7．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A． B． C． D．

【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集．

【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．

【解答】解：原不等式组的解集为1＜x≤2，1处是空心圆点且折线向右；2处是实心圆点且折线向左，

故选：B．

8．若抛物线y=﹣x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的解析式为（　　）

A．y=﹣（x+3）2+2 B．y=﹣（x﹣3）2+2 C．y=﹣（x﹣3）2﹣2 D．y=﹣（x+3）2﹣2

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】根据平移规律，可得答案．

【解答】解：由题意，得

y=﹣（x﹣3）2﹣2，

故选：C．

9．若一个圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　　）

A．90° B．120° C．150° D．180°

【考点】MP：圆锥的计算．

【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．

【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π（cm），

设圆心角的度数是n度．则=2π，

解得：n=120．

故选B．

10．如图，⊙O的直径AB=20cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：EB=3：2，则CD的长是（　　）

A．10cm B．14cm C．15cm D．16cm

【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．

【分析】根据垂径定理与勾股定理即可求出答案．

【解答】解：连接OC，

设OE=3x，EB=2x，

∴OB=OC=5x，

∵AB=20

∴10x=20

∴x=2，

∴由勾股定理可知：CE=4x=8，

∴CD=2CE=16

故选（D）

11．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（　　）

A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质．

【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．

【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），

∴BO=1，则AO=AB=，

∴A（，），

∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，

∴点C的坐标为：（1，1）．

故选：B．

12．如图，Rt△ABC的边BC在x轴正半轴上，点D为AC的中点，DB的延长线交y轴负半轴于点E，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，若S△BEC=6，则k的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义．

【分析】先根据题意证明△BOE∽△CBA，根据相似比及面积公式得出BO×AB的值即为|k|的值，再由函数所在的象限确定k的值．

【解答】解：∵BD为Rt△ABC的斜边AC上的中线，

∴BD=DC，∠DBC=∠ACB，

又∵∠DBC=∠EBO，

∴∠EBO=∠ACB，

又∵∠BOE=∠CBA=90°，

∴△BOE∽△CBA，

∴=，即BC×OE=BO×AB．

又∵S△BEC=6，

∴BC•EO=6，

即BC×OE=12=BO×AB=|k|．

又∵反比例函数图象在第一象限，k＞0．

∴k等于12．

故选D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．在2，1，﹣4，﹣1，0这五个数中，最小的数是　﹣4　．

【考点】18：有理数大小比较．

【分析】先根据各数的符号找出其中的负数，再根据其绝对值的大小，找出其中最小的数．

【解答】解：∵正数大于负数和0，

∴可排除2、1和0，

又∵|﹣4|＞|﹣1|，

∴﹣4＜﹣1

∴最小的数是﹣4．

故答案为：﹣4．

14．要使分式有意义，则字母x的取值范围是　x≠﹣3　．

【考点】62：分式有意义的条件．

【分析】根据分母不能为零，可得答案．

【解答】解：由题意，得

x+3≠0，

解得x≠=﹣3，

故答案为：x≠﹣3．

15．分解因式：x2﹣9=　（x+3）（x﹣3）　．

【考点】54：因式分解﹣运用公式法．

【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．

【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．

故答案为：（x+3）（x﹣3）．

16．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=20°，则∠2=　110°　．

【考点】JA：平行线的性质．

【分析】将矩形各顶点标上字母，根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，从而可得出答案．

【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=110°．

故答案为：110°．

17．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是　3+9　m（结果保留根号）

【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】根据在Rt△ACD中，tan∠ACD=，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案．

【解答】解：在Rt△ACD中，

∵tan∠ACD=，

∴tan30°=，

∴=，

∴AD=3m，

在Rt△BCD中，

∵∠BCD=45°，

∴BD=CD=9m，

∴AB=AD+BD=3+9（m）．

故答案为：3+9．

18．如图，按此规律，第　673　行最后一个数是2017．

【考点】37：规律型：数字的变化类．

【分析】每一行的最后一个数字分别是1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此建立方程求得最后一个数是2017在哪一行．

【解答】解：∵每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，

∴第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，

∴3n﹣2=2017

解得n=673．

因此第673行最后一个数是2017．

故答案为：673．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19．计算：（﹣2020）0+|﹣2|﹣4ocs30°+（﹣） ﹣2．

【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．

【分析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：（﹣2017）0+|﹣2|﹣4ocs30°+（﹣）﹣2

=1+2﹣4×+9

=12﹣2．

20．先化简，再求值：÷（1+），其中x=﹣2．

【考点】6D：分式的化简求值．

【分析】先根据分式的混合运算顺序和法则化简原式，再将x代入求值即可得．÷（1+）

【解答】解：原式=÷（+）

=÷

=•

=，

当x=﹣2时，原式==．

21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣4，1），点B的坐标为（﹣1，1）．

（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．

（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，试在图中画出图形△A2B2C2，并计算点C旋转到点C2所经过的路径长．（结果保留π）

【考点】R8：作图﹣旋转变换；MN：弧长的计算；P7：作图﹣轴对称变换．

【分析】（1）根据轴对称的性质，找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；

（2）分别找出点A、B、C绕点O逆时针旋转90°的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，根据点C所经过的路线是半径为，圆心角是90°的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

∵OC==，

∴点C旋转到点C2所经过的路径长为：l==．

22．2019年南宁市教育局组织全市中小学时候参加安全知识网络竞赛，在安全知识竞赛结束后，赛后发现所有参赛学生会的成绩都高于50分．为了了解本次大赛的成绩分布情况，某校随机抽取了其中200名学生的成绩（成绩x取整数，总分为100分）作为样本进行统计分析，得到如下不完整的统计图表，请根据图标中的信息解答下列各题：

（1）频数分布表中a=　60　，b=　0.05　；本次比赛成绩的中位数会落在　80≤x＜90　分数段；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）该校安全知识竞赛成绩满分共有4人，其中男生2名，女生2名，为了激励学生增强安全意识，现需要从这4人中随机抽取2人介绍学习经验，请用“列表法”或“画树状图”，求恰好选到一男一女的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；W4：中位数．

【分析】（1）根据第二组的频数是20，频率是0.10，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数据（或中间两数据的平均数）即为中位数；

（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；

（3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：（1）样本容量是：20÷0.10=200，

a=200×0.30=60，b=10÷200=0.05；

因为一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在第四个分数段，

所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；

（2）补全频数分布直方图，如下：

（3）画树状图如下：

所有等可能的情况有12种，其中一男一女有8种，

∴恰好选到一男一女的概率==．

故答案为60，0.05；80≤x＜90．

23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，E是AC上一点，且DE=CE，连接OE．

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）求证：E为AC的中点．

【考点】MB：直线与圆的位置关系；KD：全等三角形的判定与性质；S9：相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接OD，根据全等三角形的性质得到∠ODE=∠ACB=90°，于是得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到∠DOE=∠COE=COD，根据圆周角定理得到∠B=COD，等量代换得到∠COE=∠B，推出OE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得到，于是得到结论．

【解答】解：（1）DE与⊙O相切，

理由：连接OD，

在△ODE与△OCE中，，

∴△ODE≌△OCE，

∴∠ODE=∠ACB=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE与⊙O相切；

（2）证明：由（1）证得△ODE≌△OCE，

∴∠DOE=∠COE=COD，

∴∠B=COD，

∴∠COE=∠B，

∴OE∥AB，

∴，

∵OC=OB，

∴==1，

∴CE=AE，

∴E为AC的中点．

24．南宁盛产各种特色食品，其中芒果干与桂圆干是大家非常喜爱的两种特产，某旅行经销店欲购进一批芒果干与桂圆干，已知购买1袋芒果干和1袋桂圆干共需75元，3袋芒果干和2袋桂圆干共需205元．

（1）求芒果干与桂圆干的进货单价；

（2）若芒果干与桂圆干的售价如表：该旅游经销店打算用不超过2700元的货款购进芒果干与桂圆干共100袋，如何进货能够使两种特产全部售完后获得最大利润，最大利润是多少？（不考虑其他因素）

【考点】FH：一次函数的应用．

【分析】（1）设芒果干的进货单价为x元，桂圆干的进货单价为y元，根据购买1袋芒果干和1袋桂圆干共需75元，3袋芒果干和2袋桂圆干共需205元，建立方程组求出其解即可；

（2）设该旅游经销店购进芒果干m袋，获得的利润为W元，根据进价不超过2700元建立不等式组求出m的取值范围；再根据利润=m袋芒果干的利润+袋桂圆干的利润建立W与m之间的关系式，由一次函数的性质求出其解即可．

【解答】解：（1）设芒果干的进货单价为x元，桂圆干的进货单价为y元，

由题意，得，

解得：．

答：芒果干的进货单价为55元，桂圆干的进货单价为20元；

（2）设该旅游经销店购进芒果干m袋，获得的利润为W元，

由题意，得55m+20≤2700，

解得：m≤20．

W=（65﹣55）m+（28﹣20）=2m+800．

∴k=2＞0，

∴W随m的增大而增大，

∴当m=20时，W最大=2×20+800=840，此时100﹣m=80．

答：购进芒果干20袋，桂圆干80袋，全部售完后获得最大利润，最大利润是840元．

25．已知正方形ABCD，P为直线CD上的一点，以PC为边作正方形PCNM，使点N在直线BC上，连接MB、MD．

（1）如图1，若点P在线段DC的延长线上，求证：MB=MD；

（2）如图2，若点P在线段DC上，当P为DC的中点时，判断△PMD的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点P在线段DC上，连接BD，当MP平分∠DMB时，求∠DMB的度数．

【考点】LO：四边形综合题．

【分析】（1）根据正方形的性质证明△BNM≌△DPM，可得MB=MD；

（2）根据小正方形的性质得：∠DPM=∠CPM=90°，由中点结合得：PD=PM，所以△PMD是等腰直角三角形；

（3）如图3，作辅助线，构建等腰直角三角形EFD，设CD=a，PC=b，则PD=a﹣b，由PM∥BC，得△PME∽△CBE，所以，代入可计算得：a=b，根据正方形对角线平分直角得：∠CDB=45°，得△DEF是等腰直角三角形，求EF和CE的长，得EF=EC，根据角平分线的逆定理得：BE平分∠DBC，最后由平行线和已知的角平分线可得结论．

【解答】证明：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形CPMN是正方形，

∴BC=DC，CN=CP，∠P=∠N=90°，

∴BC+CN=DC+PC，即BN=DP，

∴△BNM≌△DPM，

∴MB=MD；

（2）△PMD是等腰直角三角形；

理由如下：如图2，

∵P是CD的中点，

∴PD=PC，

∵四边形CPMN是正方形，

∴PM=PC，∠DPM=∠CPM=90°，

∴PD=PM，

∴△PMD是等腰直角三角形；

（3）如图3，设PC与BM相交于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，

设CD=a，PC=b，则PD=a﹣b，

∵MP平分∠DME，MP⊥DE，

∴PE=PD=a﹣b，CE=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a，

∵PM∥BC，

∴△PME∽△CBE，

∴，即，

∴a=b，

∵∠CDB=45°，

∴EF=DE•sin45°=•2（a﹣b）=（b﹣b）=2b﹣b，

∵CE=2b﹣a=2b﹣b，

∴EF=EC，EF⊥BD，EC⊥BC，

∴BE平分∠DBC，

∴∠EBF=∠EBC=∠DBC=22.5°，

∵PM∥BC，

∴∠PME=∠EBC=22.5°，

∴∠DMB=45°．

26．抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．

（1）求抛物线的函数表达式及抛物线的对称轴；

（2）如图a，点P是抛物线上第二象限内的一动点，若以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；

（3）如图b，点D是抛物线上第二象限内的一动点，过点O，D的直线y=kx交AC于点E，若S△CDE：S△CEO=2：3，求k的值．

【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；利用抛物线对称轴方程解答求得抛物线的对称轴方程；

（2）根据平行四边形的对边平行且相等的性质得到：PQ∥AO，PQ=AO=3，由抛物线的对称性质推知点P的横坐标，然后根据二次函数图象上点的坐标特征求得点P的纵坐标即可；

（3）欲求k的值，只需推知点D的坐标即可；利用抛物线的解析式y=x2﹣2x+3中求得C（0，3）．由待定系数法解得直线AC的解析式为：y=x+3，如图b，过点D作DQ⊥AB于点Q，交AC于点F，则DF∥OC，构建相似三角形：△DEF∽△OEC，结合该相似三角形的对应边成比例推知DF=2．设点F（x，3x），点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），利用两点间的距离公式不难求得x的值，则易得点D的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣3，0）和B（1，0）代入y=ax2+bx+3，得

，

解得，

故抛物线的解析式是：y=﹣x2﹣2x+3，

对称轴x=﹣=﹣=﹣1；

（2）如图a，

∵以AP、AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好在抛物线上，

∴PQ∥AO，PQ=AO=3．

∵点P、Q都在抛物线上，

∴P、Q关于直线x=﹣1对称，

∴P点的横坐标是﹣．

∴当x=﹣时，y=﹣（）2﹣2×（﹣）+3=，

∴点P的坐标是（﹣，）；

（3）在抛物线y=x2﹣2x+3中，当x=0时，y=3，则C（0，3）．

设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），

将A（﹣3，0）、C（0，3）代入，得

，’

解得，

故直线AC的解析式为：y=x+3，

如图b，过点D作DQ⊥AB于点Q，交AC于点F，则DF∥OC．

∵S△CDE：S△CEO=2：3，

∴DE：OE=2：3．

∵DF∥OC，

∴△DEF∽△OEC，

∴=．

又DE：OE=2：3，OC=3，

∴DF=2．

设点F（x，3x），点D的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），

DF=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x．

∴﹣x2﹣3x=2，

解得x1=﹣1，x2=﹣2，

当x=﹣1时，y=4．

当x=﹣2时，y=3．

即点D的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）．

又点D在直线y=kx上，

∴k=﹣4或k=﹣．

广西南宁市2020年中考数学一模试卷（含解析）