天一大联考2019-2020学年高一阶段性测试（三)数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．的值是（ ）

A． B． C． D．

2．( )

A． B． C． D．

3．已知扇形的圆心角为,面积为,则该扇形的弧长为（ ）

A． B． C． D．

4．已知第二象限角的终边上一点，则角的终边在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．已知是所在平面内一点，为线段的中点，且，那么（ ）

A． B． C． D．

6．已知函数满足,且在区间上单调递减,则的解析式可能是（ ）

A． B． C． D．

7．边长为6的等边中,是线段上的点,,则（ ）

A．12 B．24 C．30 D．48

8．若函数,则是（ ）

A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数

9．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）

A． B． C． D．

10．如图为一直径为m的水轮,水轮圆心距水面m,已知水轮每分钟转2圈,水轮上的点到水面的距离（m）与时间（s）满足关系是表示表示在水面下,则有（ ）

A． B．

C． D．

11．设函数,若函数恰有三个零点,,（）,则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

12．已知内接于圆，且线段的延长线与线段的延长线相交.设，则的取值范为是（ ）

A． B． C． D．

13．已知，为单位向量，与的夹角为，且，则______.

14．已知，则______.

15．在平面直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则的坐标为______.

16．已知函数在处取得最小值，则______.

17．已知向量，，且与共线.

（1）求的值；

（2）若与垂直，求实数的值.

18．已知，且.

（1）求，的值；

（2）求的值.

19．已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象.

（1）求和的值；

（2）求函数在区间上的单调递减区间.

20．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且.

（1）求的值；

（2）若，，比较与的大小，并说明理由.

21．如图所示，在中，点为边的中点，点为上靠近点的三等分点，线段与交于点 .

（1）设，求的值；

（2）若，，，求 .

22．已知函数的部分图象如图所示，且相邻的两个最值点的距离为.

（1）求函数的解析式；

（2）若将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，关于的不等式在上有解，求的取值范围.

参考答案

1．A

【解析】

【分析】

根据诱导公式将角度转换成锐角再计算即可.

【详解】

.

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式的应用.属于基础题.

2．D

【解析】

【分析】

根据向量加减的运算性质直接计算即可．

【详解】

解：

故选：．

【点睛】

本题考查了向量的加减运算，属于基础题．

3．C

【解析】

【分析】

设扇形的半径为,再根据扇形的面积公式以及弧长公式求解即可.

【详解】

设扇形的半径为,则,所以,所以弧长.

故选：C

【点睛】

本题考查任意角的弧度制以及扇形弧长和面积公式.属于基础题.

4．C

【解析】

【分析】

根据第二象限横纵坐标的正负值判断得再判断角的象限即可.

【详解】

因为点在第二象限，所以有所以是第三象限角.

故选：C

【点睛】

本题考查各象限三角函数值的正负.属于基础题.

5．A

【解析】

【分析】

所给等式可整理为，再由为的中点得，推出，得解.

【详解】

因为，所以，

因为为的中点，所以，

则.

故选: A

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.

6．D

【解析】

【分析】

根据可得直线是图象的对称轴,再根据在区间上单调递减对各选项进行排除即可.

【详解】

由题意,所以直线是图象的对称轴,可以排除选项B,C.又因为在区间上单调递减,排除A.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数的性质判定,属于基础题.

7．B

【解析】

【分析】

利用基底向量的方法,将用表达,再根据数量积的运算公式求解即可.

【详解】

因为 ,,所以,所以,所以.

故选：B

【点睛】

本题考查向量线性运算以及数量积.属于基础题.

8．D

【解析】

【分析】

利用正余弦函数的二倍角公式化简再判断即可.

【详解】

由题意得,可得函数的最小正周期,且为奇函数.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角函数倍角公式以及三角函数最小正周期的求法.属于基础题.

9．B

【解析】

【分析】

根据向量垂直的公式与数量积公式求解即可.

【详解】

设与的夹角为,因为,所以,即.

又,所以.故.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了垂直的数量积表示以及数量积的公式等.属于基础题.

10．A

【解析】

【分析】

根据题意可得出的值,以及该函数的最小正周期,利用周期公式可求得的值,进而得出结论.

【详解】

由题意可知为水轮的半径3,又水轮每分钟转2圈,故该函数的最小正周期为,所以.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数解析式中参数的计算,考查计算能力,属于基础题.

11．B

【解析】

【分析】

画出的图像,再根据函数的对称轴可求得的值,再根据函数恰有三个零点得出,进而求得的范围即可.

【详解】

函数,其图象如下图所示,由此可知 ,,.

所以,

所以.

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数的图象与性质,包括对称性的运用以及数形结合根据函数零点的个数求解参数范围的问题.属于中档题.

12．C

【解析】

【分析】

设线段的延长线与线段的延长线的交点为，因为，，共线，所以，然后设，从而可得，然后得出即可.

【详解】

设线段的延长线与线段的延长线的交点为.

因为，，共线，所以.

因为点在线段的延长线上，

所以.所以，

所以，

对比条件可得，，.

故选：C

【点睛】

三点共线，若，则.

13．6

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的定义直接算出即可.

【详解】

由题意得，，所以.

故答案为：6

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，较简单.

14．

【解析】

【分析】

，然后算出即可.

【详解】

.

故答案为：

【点睛】

本题考查正切函数的和差公式，找出已知角与所求角的关系是解题的关键.

15．

【解析】

【分析】

设，由得，由点在的平分线上可得，然后可得，从而得到，然后解出即可.

【详解】

设，由得①

因为点在的平分线上，所以

所以，所以，即②

联立方程①②可解得或（舍）

故的坐标为

故答案为：

【点睛】

本题考查的是平面向量数量积的应用，属于基础题.

16．

【解析】

【分析】

首先分和两种情况讨论，得出当函数取得最小值时，，然后即可得出答案.

【详解】

当时，，

其中，.所以.

当时，，

其中，.所以，

所以当函数取得最小值时，，，所以，

所以.

【点睛】

本题考查三角函数的性质以及倍角公式，解决本类问题时首先要将三角函数化成基本型.

17．（1），（2）.

【解析】

【分析】

（1），然后利用与共线求出答案即可

（2）利用数量积的相关知识直接计算即可.

【详解】

（1）

因为与共线，所以，

解得.

（2）由（1）知，所以

由与垂直，得，

所以，

解得.

【点睛】

本题考查共线向量、向量的坐标运算以及向量的数量积，属于基础题.

18．（1），，（2）.

【解析】

【分析】

（1）联立方程和求解即可.

（2）首先利用三角函数的诱导公式化简，然后再利用其和差公式求解即可.

【详解】

（1）由条件可得，

又因为，

联立得.

解得或，

又因为，

所以.

又因为，所以.

（2）由（1）知.

【点睛】

本题考查的是同角三角函数的基本关系以及利用诱导公式和和差公式求值，属于基础题.

19．（1），

（2）

【解析】

【分析】

（1）先将化简转化为：.根据三角函数的图象的伸缩变换得到，从而得到，.

（2）根据正弦函数的单调性，令，化简求解，然后与取交集.

【详解】

（1）因为，

，

.

将函数得图象得横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到函数的图象，

则，

所以，.

（2）由，

得.

又因为，

所以在区间上的单调递减区间为.

【点睛】

本题主要考查三角函数得图象与性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

20．（1）

（2），理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，利用三角函数定义求得，，再利用二倍角的正弦公式求解.

（2）根据，求得，结合（1）中的，，再利用两角和的正弦公式求得，确定的范围再作比较.

【详解】

（1）因为角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，

由三角函数定义得：，.

所以.

（2）因为，所以.

由（1）可得，，.

由题意可得，又，

所以.

又因为，

所以，

所以.

【点睛】

本题主要考查三角函数定义、同角三角函数关系、倍角公式以及和角公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

21．（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）过点作，交于点，根据是的中位线，得到，再由，由比例性质得到，从而得到，然后再利用平面向量的基本定理求解.

（2）根据（1）得到，从而，然后利用向量的数量积运算求解.

【详解】

（1）如图所示：

过点作，交于点，

则是的中位线，所以.

又因为，

所以，所以，

所以.

所以

所以，

所以.

（2）由（1）可知，，

所以.

所以，

.

所以.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

22．（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）易知：的最大值为1，最小值为-1. 根据相邻的两个最值点的距离为，由，求得，进而得到，然后由的图象经过点，求得，得到函数的解析式.

（2）利用三角函数图象的平移变换得到，利用正弦函数的性质求得其值域，然后根据关于的不等式在上有解，则由求解.

【详解】

（1）依题意得的最大值为1，最小值为-1.

设的最小正周期为，则，

解得.

又，所以.

所以.

因为的图象经过点，

所以，

又因为，

所以，

所以函数的解析式为.

（2）因为将函数的图象向左平移1个单位后得到函数的图象，

所以.

当时，，则.

因为关于

的不等式在上有解，

所以，

解得或.

综上可得的取值范围是.

【点睛】

本题考查三角函数的图象与性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

天一大联考2019-2020学年高一阶段性测试（三）数学试题