第十六期：一元二次方程

一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。

知识点1：一元二次方程及其解法

例1：方程的解是（ ）

A．，　　　　　B．，

C．， 　　　　D．，

思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x－1）(x－2)=0,所以x－1=0或x－２=0，解得x１=１，x２=２．故此题选Ａ．

例2：若，则的值等于（ ）

A． B． C． D．或

思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x2－x=2,

所以原式=，选A.

练习：

1.关于x的一元二次方程2x－3x－a+1=0的一个根为2，则a的值是（ ）

A．1 B． C． D．

2.如果是一元二次方程的一个根，求它的另一根．

3.用配方法解一元二次方程：x－2x－2=0．

答案：1.D.

2.解：是的一个根，

．解方程得．

原方程为

分解因式，得

，.

3.移项，得x－2x=2．

配方x－2x+1=2+1，

（x－1）=3.

由此可得x－1=±，

x=1+，x=1－.

最新考题

1.（2009威海）若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．

2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ．

3.（2009山西省太原市）用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）

A． B． C． D．

答案：1.1； 2.答案不唯一，如 3. B

知识点2：一元二次方程的根与系数的关系

例1：如果是方程的两个根，那么的值为：

（A）－1 （B）2 （C） （D）

思路点拨：本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理，两根之和是， 两根之积是，易求出两根之和是2。答案：B

例2：设一元二次方程的两个实数根分别为和，

则 ，x1、·x2 ．

思路点拨：本体考查一元二次方程根与系数的关系，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1、+x2=，x1、·x2=.要特别注意的是方程必须有实数根才能用这一结论，即△=b2－4ac≥0.

答案：7，3

练习：

1.已知关于的一元二次方程有两个实数根和．

（1）求实数的取值范围；

（2）当时，求的值．

（友情提示：若，是一元二次方程两根，则有，）

2.当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？

答案：1.解：（1）由题意有，解得．

即实数的取值范围是．

（2）由得．

若，即，解得．

，不合题意，舍去．

若，即 ，由（1）知．

故当时，．

2.解：由题意，△=(－4)2－4(m－)=0

即16－4m+2=0，m=．

当m=时，方程有两个相等的实数根x1=x2=2．

最新考题

1.（2009年兰州）阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2＝－，x1·x2＝.根据该材料填空：已知x1、x2是方程x2+6x+3＝0的两实数根，则+的值为 ．

2.（2009年崇左）一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ．

答案：1. 10 2.

知识点3：一元二次方程的应用

例1：某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的55元降到了35元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（　　）

A．55 (1+x)2=35 B．35(1+x)2=55

C．55 (1－x)2=35 D．35(1－x)2=55

思路点拨： 列一元二次方程解决实际问题是一个难点，但在中考试题中经常出现，所以我们要学好列方程解决实际问题。则需要在这方面加大训练力度。列方程的全过程，其步骤如下：

1、弄清题意，正确理解，准确把握题目条件中的数量关系，必要时可用图表辅助分析；

2、用字母表示问题中的一个未知数；

3、将题设条件中的语句都“翻译”成含有“字母”的代数式；

4、寻找等量关系，列出方程.

因为增长率问题是“加”；下降率问题是“减”，所以本题正确的是55 (1－x)2=35.所以本题选C.

练习：

1.某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( )

A、 B、

C、 D、

2.乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为，则根据题意可列方程为 ．

答案：1. A 2.

最新考题：

1.（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ．

2.（2009年包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．

3．(2009年本溪)由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为，则根据题意可列方程为 ．

答案： 1.200；2.或；3.

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一、选择题

1．一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（ ）．

A．3，5 B．3，－5 C．3，0 D．5，0

2．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）．

A．3（x+1）2=2（x+1） B．－2=0

C．ax2+bx+c=0 D．x2+2x=x2－1

3．下列方程中，两根是－2和－3的方程是（ ）．

A．x2－5x+6=0 B．x2－5x－6=0 C．x2+5x－6=0 D．x2+5x+6=0

4．若分式的值为零，则x的值为（ ）．

A．3 B．3或－3 C．0 D．－3

5．若a+b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根是（ ）．

A．1 B．－1 C．0 D．无法判断

6．方程2x（x－1）=x－1的解是（ ）．

A．x1=，x2=1 B．x1=－，x2=1 C．x1=－，x2=1 D．x1=，x2=－1

7．一元二次方程x2－x+2=0的根的情况是（ ）．

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．无实数根 D．无法确定

8．某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）．

A．100（1－x）2=81 B．81（1+x）2=100

C．100（1+x）=81×2 D．2×100（1－x）=8

9．已知一个三角形的两边长是方程x2－8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（ ）．

A．y<8 B．3．2．无法确定

10．如果x2+x－1=0，那么代数式x3+2x2－7的值是（ ）．

A．6 B．8 C．－6 D．－8

二、填空题（每题2分，共20分）

1．一元二次方程（x+1）（x+3）=9的一般形式是________．

2．请写出一个根为1，另一根满足－1的一元二次方程_______．

3．方程（x+1）2=3的解是_________．

4．配方x2+3x+（______）=（x+_____）2．

5．已知m是方程x2－x－2=0的一个根，则代数式m2－m的值是________．

6．当x=________时，代数式3x2－6x的值等于12．

7．某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，设销售单价为x元，则x应满足的方程是________．

8．要给一幅长30cm，宽25cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，设镜框边的宽度为xcm，则依据题意列出的方程是_____．

9．一个小球以5m/s的速度开始向前滚动，并且均匀减速滚动5m后小球停下来，如果小球滚动到3m时约用了xs，则列一元二次方程是_________．

10．如果x、y是两个实数（x·y≠1）且3x2－2005x+2=0，2y2－2005y+3=0，则的值等于_________．

三、解答题（1题6分，2、3、4每题4分，共18分）

1．解方程：（每题3分，共6分）

（1）（x－5）2=2（x－5） （2）x2－4x－5=0

2．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m2=2有一根为1，求m的值．

3．解方程x2+x+1=.

4．已知a，b是方程x2+x－1=0的两根，求a2+2a+的值．

四、综合应用题（每题7分，共42分）

1．为响应国家“退耕还林”的号召，改变我区水地流失的状况，2002年我区退耕还林1万亩，计划到2004年总退耕还林共5亩，请你计算这两年平均每年退耕还林的增长率（精确到0。01）．

2．小芳调查某县城商品房2003年销售均价（即销售平均价）为1400元/m2，2005年销售均价为1694元/m2，同时调查某城市2003年销售均价为2400元/m2，2005年销售均价为3000元/m2，那么，某县城或某城市的商品房的销售价大幅提高，并估计2006年商品房的销售均价各为多少．（保留4个有效数字）．

3．将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二．（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图1）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路．

（2）设计方案2（如图2）花园中每个角的扇形都相同．

以上两种方案是否都能符合条件?若能，请计算出图22－12甲中的小路的宽和图22－13乙中扇形的半径；若不能符合条件，请说明理由．

(1) (2)

4．一辆汽车以30m/s的速度行驶，司机发现前面路面有人影，紧急刹车后汽车又滑行30m后停车，（1）从刹车到停车用了多少时间?

（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?

（3）刹车后汽车滑行到20m时约用了多少时间（精确到0.1s）?

5．关于x的方程kx2+（k+1）x+=0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

6．任意给写一个矩形A，是否存在另一个矩形B，且它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?（完成下列空格）

（1）当已知矩形A的边长分别为4和3时，小明是这样研究的：设所求矩形的两边分别为x和y，

由题意，得

方程两边同除以y化简，得：x2－14x+24=0

∵△=196－96>0

∴x1=_______，x2=________．

∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为a和b，请你仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

已知关于x的方程4x2－8nx－3n=2和x2－（n+3）x－2n2+2=0，问是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根?若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

答案

一、1．B 2．A 3．A 4．D 5．A 6．A 7．C 8．A 9．C 10．C

二、1．x2+4x－6=0 2．x2－x=0 3．x=±－1 4．（）2 5．2 6．1±

7．（x－40）[500－10（x－50）]=800（0≤[500－10（x－50）]×40≤10000）

8．x（30+2x）×2+25x×2=×30×25

9．·x=3

10．

三、1．（1）（x－5）（x－5－2）=0 x1=5，x2=7

（2）（x－5）（x+1）=0 x1=5，x2=－1

∴a2+2a+=a2+a+a+=1+=1+=1

四、1．设平均增长率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=5，

1+1+x+1+2x+x2=5，x2+3x－2=0，x=≈56%

2．某县城：设提高幅度为x，则1400（1+x）2=1694，解得：x=10%，

某城市：设提高幅度为y，则2400（1+y）2=3000，解得：y=11.8%，

∴某城市提高幅度度大．2006年，某县城1863.4（元/m2），某城市：3354（元/m2）

3．都能．（1）设小路宽为x，则18x+16x－x2=×18×15，

x2－34x+180=0，b2－4ac=（－34）2－4×180=436，x=，x≈6.6，

（2）设扇形半径为r，则3.14r2=×18×15，r2≈57.32，r≈7.6

4．（1）平均速度==15（m/s），所用时间=2（s）

（2）=15（m/s）

（3）设所用时间为x，平均速度=30－x （30－x）x=20，

整理，得：3x2－12x+8=0，x=≈0.85（s）

∴x1==（a+b）+，x2=a+b－，

∴满足要求的矩形B存在．

五、存在．设两方程为①、②，△1=（8n+3）2+23>0，

则n为任意实数，第一个方程都有实根．

设第一个方程的两根为α、β，则α+β=2n，αβ=，

∴（α－β）2=4n2+3n+2．

由第二个方程得：[x－（2n+2）][x+（n－1）=0，

解得：x1=2n+2，x2=1－n．

若x1为整数，则4n2+3n+2=2n+2，故n1=0，n2=－，

当n=0时，x1=2是整数；当n=－时，x1=+（舍），

若x为整数，则4n2+3n+2=1－n，故n3=n3=，

当n1=－时，x2=（舍），

综上可知，当n=0时，第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一个整数根．

一元二次方程（含答案）