28届美国数学奥林匹克竞赛

发布时间：2023-01-28 23:01:35

28届美国数学奥林匹克竞赛
zion（翻译）
第一部分（上午9：00-12：00）1999年4月27
1．n×n的方格棋盘上放着一些棋子，满足如下两个条件：（a）放有棋子的方格和没有放棋子的方格有一条公共边。
（b）任意给定两个放有棋子的方格，可以标出一条路线，从其中一个给定的方格出发，经过所有放有棋子的方格，最后到达另一个给定的方格。如图：

求证：棋盘上至少有（n-2）/3个棋子。
2．求证：对于循环四边形ABCD有：|AB-CD|+|AD-BC|≥2|AC-BD|。3．已知：p是大于2的质数，整数a、b、c、d不能被p整除，
且有{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2，其中r是任一不能被p整除的整数。
求证：在（a+b）、（a+c）、（a+d）、（b+c）、（b+d）、（c+d）6个数中至少有两个能被p整除。
第二部分（下午1：00-4：00）1999年4月27
4．已知：实数a1a2。。。an（n≥3）满足：a1+a2+。。。+an≥n，a1+a2+。。。+an≥n。求证：max（a1a2。。。an）≥2。
5．Y2K游戏：有2000千个方格排成一排,两个玩家轮流在方格里写S或O，谁先在连续的三个方格里写出SOS，谁就获胜；如果没有人写出算平局。
2
2
2
2
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证明：后写的人有胜算。
6．已知：等腰梯形ABCD，AB//CD，△BCD的内切圆与CD交于E点；F是∠DAC的平分线上一点，且EF⊥CD；△ACF的外接圆与CD交于C和G；求证：△AFG是等腰三角形。（右边是例图，或许有其他画法）


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