四川省攀枝花市第十五中学校2021届高三下学期第1次

周考数学试卷（理）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要）

1.复数（ ）

A． B． C． D．

2.已知集合，若，则（ ）

A.1 B. 0 C. 0或1 D.-1

3.曲线在点处的切线方程为（ ）

A． B． C． D．

4.已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的斜率是（ ）

A． B． C． D．

5.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是( )

A． B． C． D．

6.已知数列的前n项和为，且，，若数列和都是等差数列，则下列说法不正确的是（ ）

A．是等差数列 B．是等差数列

C．是等比数列 D．是等比数列

7.已知是平面外的一条直线，则下列命题中真命题的个数是（ ）

①在内存在无数多条直线与直线平行；②在内存在无数多条直线与直线垂直；

③在内存在无数多条直线与直线异面；④一定存在过且与垂直的平面.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于、两点，若，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B． C．4 D．

9.运行如图所示的程序框图，输出的结果为，则判断框中可以填（ ）

A． B．

C． D．

10.设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，若，，，则的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

11.设函数在上单调递减，则下述结论：

①关于中心对称；②关于直线轴对称；

③在上的值域为；④方程在有个不相同的根.

其中正确结论的编号是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

12.已知函数（，且）在区间上为单调函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13.已知实数满足,则的最大值为__________.

14.的展开式中的系数为______.（用数字作答）

15.已知数列的首项为，且满足，则__________．

16.如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，M是C上位于第一象限内的一点，且直线与y轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知（acosB+bcosA）cosC＝csinC．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求cos2A+cos2B的取值范围．

18．（本小题满分12分）甲、乙两位选手在某次比赛的冠、亚军决赛中相遇，赛制为三局两胜（当一方赢得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），比赛每局均分出胜负.甲、乙以往进行过多次比赛，若从中随机抽取20局比赛结果作为样本，抽取的20局中甲胜12局、乙胜8局，若将样本频率视为概率，各局比赛结果相互独立.

（1）求甲获得冠军的概率;

（2）此次决赛设总奖金50万元，若决赛结果为，则冠军奖金为35万元，亚军奖金为15万元；若决赛结果为，则冠军奖金为30万元，亚军奖金为20万元.求甲参加此次决赛获得奖金数X的分布列和数学期望.

19.（本小题满分12分）如图，在四棱台中，平面，H是的中点，四边形为正方形，.

（1）证明∶平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）已知函数.

若，求证:在上是增函数;

若对任意，恒有，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：

(1) 写出协同圆圆的方程；

(2) 设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；

(3) 设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.

请考生在第（22）、（23）二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离

相等，在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的

极坐标方程为

（1）求直线与曲线的普通方程；

（2）已知，直线与曲线交于、两点，求.

23.（本小题满分10分）已知均为正实数，求证

（1）.

（2）若，则.

——★ 参*考*答*案 ★——

一、选择题

1-5 ADCBA 6-10 DCBDB 11-12 DD

二、填空题

13.-1 14.40 15． 16.

三、解答题

17．解；（Ⅰ）因为（acosB+bcosA）cosC＝csinC，

由正弦定理可得（sinAcosB+sinBcosA）cosC＝sin（A+B）cosC＝sinCcosC＝sin2C，

又因为C∈（0，π），sinC≠0，可得cosC＝sinC，即tanC＝，所以C＝．

（Ⅱ）由（Ⅰ）及A+B+C＝π，可得B＝﹣A，

所以cos2A+cos2B＝cos2A+cos2（﹣A）＝cos2A+（sinA﹣cosA）2＝cos2A+sin2A﹣sin2A＝cos2A﹣sin2A+1＝cos（2A+）+1，

因为A∈（0，），2A+∈（，），可得cos（2A+）∈『﹣1，』，

所以cos2A+cos2B＝cos（2A+）+1∈『，）．

18. 解；（1）用样本频率估计概率可知，每局比赛甲获胜的概率为.

每局比赛乙获胜的概率为，

甲获得冠军的概率.

（2）由题意知，X的所有可能的取值为35，30，20，15，

，，

，，

X的分布列为：

（万元）.

19.（1）证明：因为为正方形，所以，

又因为平面，平面，所以，

因为，、平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）解：由题意，，，两两垂直，

以A为原点，建立空间直角坐标系如图，设，

则，，，，，.

，，

可得平面的一个法向量为，

同理可得平面的一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

20. 解；因为，

所以，

因为

所以在上是增函数.

由知，当时，在上是增函数，

所以当时，成立，

当时，成立，

当时，在内单调递增，且0' altImg='46e773eb2a6a35706af0cc65708122f5.png' w='272' h='21' class='_4'>，

故存在使得，

所以时，是减函数，

即时，，

故不合题意，

综上可得，的取值范围是.

21. 解；(1)由椭圆，可知.根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆.

(2) 设点，则.因为直线为圆的切线，故分直线的斜率存在和不存在两种情况加以讨论：

①当直线的斜率不存在时，直线.

若，由 可解得

此时，.

当时，同理可得：.

②当直线的斜率存在时，设.

由得.

于是，

进一步算得.

又由于直线是圆的切线，故，可算得.

所以，，即.

综上，总有.

证明　(3)是椭圆上的两个动点，且.

设，则．

下面分直线中有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况加以讨论.

若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有．

由，可解得．

若直线的斜率都存在，设，则．

由得 可算得．

同理可得．于是，．

由，可解得．

因此，总有，即点在圆心为坐标系原点，半径为的圆上．

所以该定圆的方程为圆.

22. 解；（1）由已知，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其标准方程为

即直线的普通方程为 ......5分

（2）点在直线上，则直线的参数方程为，代入得

，设点对应的参数分别为，则

......10分

23. 解；（1）均为正实数

则

，当且仅当时取等号 ......5分

（2）由柯西不等式有

又

故，当且仅当时取等号 ......10分

2021届四川省攀枝花市第十五中学校高三下学期第1次周考数学试卷（理）