1.3 度量空间的可分性与完备性

在实数空间e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png的可分性．同时，实数空间e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png还具有完备性，即e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．

1.3.1 度量空间的可分性

定义1.3.1 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是度量空间，168c14599e6977a0fc26e126e0b7fd1d.png，如果9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中任意点e772b3e683eaf655877618b164c1b61e.png的任何邻域5c5795dfd346b8495b61f1a10f001a01.png内都含有7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的点，则称7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中稠密．若84b5a24b23dd58ca2ab5d0c6fed2108a.png，通常称7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的稠密子集．

注1：7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中稠密并不意味着有84b5a24b23dd58ca2ab5d0c6fed2108a.png．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．

定理1.3.1 设997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png是度量空间，下列命题等价：

(1) 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中稠密；

(2) ffbb32e87736143e47f1e33da0f04508.png，c8fbcb2b4c91ebd21b7f9812ec9afe5c.png，使得b32bdae50040d3ff6e365c3a91d978f3.png；

(3) a1839159764022462f5a4da490c534ac.png（其中6f9984eca808aa09e5da7ea04a91042b.png，0a8e8cf8fb77f8e1282adc97cf88ee36.png为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的闭包，25afbb262f05f21764e68827aff00875.png为7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的导集(聚点集)）；

(4) 任取afc13fa573c63da11d7dd245535d6d76.png，有dea044c53cd98a32daa70429d309a75a.png．即由以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中每一点为中心1834dcb80855b642c985cbd1b4409b26.png为半径的开球组成的集合覆盖9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png．

证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．

定理1.3.2 稠密集的传递性 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是度量空间，c8fa2922e887df6c6422bcda34bc5b09.png，若7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png中稠密，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png在0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png中稠密，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png中稠密．

证明 由定理1.1知a1839159764022462f5a4da490c534ac.png，05c4effa7bd9cc07b0db4fb80f3cd3ea.png，而fd7ad38ba4aae23bbc7e651c1a0ce1d0.png是包含9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的最小闭集，所以643bf7c105b1f535264bd82c3a164668.png，于是有ec6528571b1e007af524df8739c50d47.png，即7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png在0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png中稠密．□

注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}

(1)多项式函数集69a87766898eaff9fdde5cee2ecc899c.png在连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中稠密．

参考其它资料可知：

(2)连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png在有界可测函数集5901dae4e6a62851b802165ba94588cb.png中稠密．

(3)有界可测函数集5901dae4e6a62851b802165ba94588cb.png在83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可积函数空间afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密(7746edad1cc22c1332f2d6a2153c25d0.png)．

利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：

(4)连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png在83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可积函数空间afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密(7746edad1cc22c1332f2d6a2153c25d0.png)．

因此有f2ef81f6319edaf2c49a573590ec5d7f.png．

定义1.3.2 设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是度量空间，525e03c996bdcb5f3e1f45e46f44dcf2.png，如果存在点列5461a9a49ff963699366736ae83bc1f4.png，且8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png在7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中稠密，则称7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png是可分点集(或称可析点集)．当02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png本身是可分点集时，称02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是可分的度量空间．

注3：02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是可分的度量空间是指在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中存在一个稠密的可列子集．

例1.3.1 欧氏空间8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png的一个可列稠密子集．}

证明 设7cbd9d8d1bcf9fe6bc6c0667d4963a69.png为8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中的有理数点集，显然74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png是可数集，下证74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png在8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中稠密．

对于8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中任意一点1f157b703b5fd275367e2b9b3270423b.png，寻找74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png中的点列63cc7536d38492f721dd058f43dea311.png，其中193cd69429c105d78caa5a963d9e8738.png，使得d9324a1881c0f1d53d2489a201f134ef.png．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png(64c6ffde5a5fff3fd8084dec5ff317ec.png)，存在有理数列2a5ae5602c915d120c2c015fb4660a3d.png.于是得到74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png中的点列63cc7536d38492f721dd058f43dea311.png，其中

193cd69429c105d78caa5a963d9e8738.png，06f6e44b18dfe575c40b072fb39a3f6b.png

现证d9324a1881c0f1d53d2489a201f134ef.png．84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，由2a5ae5602c915d120c2c015fb4660a3d.png知，2aca26661ab39bd57b0485b5c0863926.png，当079ce429aff9b125195cdac718ce8255.png时，有

710212b948d88fdddfea6e5ec13574c8.png，64c6ffde5a5fff3fd8084dec5ff317ec.png

取3e6cda8c83bf68a5d6086fa3999f30a3.png，当0c26ec0555e6eb36180b2a643049d9d1.png时，对于64c6ffde5a5fff3fd8084dec5ff317ec.png，都有710212b948d88fdddfea6e5ec13574c8.png，因此

b5e9a2fada3537c9cef0c1ebde7e029b.png

即d9324a1881c0f1d53d2489a201f134ef.png，从而知74c9fa9f1c99de33d3d48b574d0b244e.png在8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中稠密．□

例1.3.2 连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png是可分的．{具有有理系数的多项式的全体18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png在d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中稠密，而18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png是可列集．}

证明 显然18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png是可列集．98af8698e044b414453ddd5156dfa1c3.png，由Weierstrass多项式逼近定理知，fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.png可表示成一致收敛的多项式的极限，即84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，存在(实系数)多项式5134e449edcd47004d0ad41b57272364.png，使得

f7ce4f4d175a22fca8406530a9de7a59.png

另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式65314479ddcea7b4b3690b6b02cc36dd.png，使得

e08948c184aef183de3f9281a30fc585.png

因此，7287c74069c2654b86e3c8da404d9196.png，即0511c9dd74e307540e28bc8c29f8e198.png，在d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中任意点fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.png的任意邻域内必有18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png中的点，按照定义知18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png在d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中稠密．□

例1.3.3 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可积函数空间afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png是可分的．

证明 由于18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png在d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中稠密，又知d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png在afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密，便可知可数集18cd80c84aa823ebc0309f1339cb5a02.png在afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密．□

例1.3.4 83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可和的数列空间707a16830ea160db330cd79fc502a005.png是可分的．

证明 取02a98de34b88e5b0b613387d41c80dbe.png，显然50003c6ae87e670c775a122d14fe7625.png等价于3bb6e7d52fd1c0640420fb20d1cdc6d0.png，可知50003c6ae87e670c775a122d14fe7625.png可数，下面证50003c6ae87e670c775a122d14fe7625.png在707a16830ea160db330cd79fc502a005.png中稠密．

d8cf76594832836a7e0ddce66f97952a.png，有ed4233dd18053613944ee7206524ec8f.png，因此84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，3e2dad667a3abefb0b013319367dab7b.png，当1754694780d6338ae0e49f9574566b34.png时，

b4da63d028aaa2929ce2f0f89b4dc98a.png

又因f09564c9ca56850d4cd6b3319e541aee.png在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中稠密，对每个05e42209d67fe1eb15a055e9d3b3770e.png(118a1970e27986001f1e8ee0385560b9.png)，存在570cdd9a20c19a705a1ed28f0848be7a.png，使得

c56c823233ac5839edac10ca73b2ea9d.png，e55080354a86f7685d309aeb4c2af3d2.png

于是得

6739b9120f7b06db5c2174b2157e8e05.png

令76f78502964e611e285ec1ad19ee6493.png，则

494db9a224fa3878788daca82c180e69.png

因此50003c6ae87e670c775a122d14fe7625.png在707a16830ea160db330cd79fc502a005.png中稠密．□

例1.3.5 设b4d86e11b050fda38923723358f8f1c8.png，则离散度量空间c5fba1ddef81a7136042cb951a246632.png是不可分的．

证明 假设c5fba1ddef81a7136042cb951a246632.png是可分的，则必有可列子集7ea539fa919fc881cfa742e799ef1573.png在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中稠密．又知02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png不是可列集，所以存在e8d1c08e5416d8b11bde727b84ce3a0b.png，b8c0c70ad6148eb7b98ff8227b62dd2a.png．取32d13e77b5069a6f540c7d874aeb3494.png，则有

aecf891756fa3af267f86e6d0d345fdd.png

即829ddd3549d04b68c8b871c8c24dadcc.png中不含8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png中的点，与8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中稠密相矛盾．□

思考题: 离散度量空间c5fba1ddef81a7136042cb951a246632.png可分的充要条件为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是可列集．

注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如

(0.625)10=(0.101)2 0.6256392228661363e75c352077a2cfe66d7.png2=1.25取1；0.256392228661363e75c352077a2cfe66d7.png2=0.50取0；0.56392228661363e75c352077a2cfe66d7.png2=1.00取1．

二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即54d234ff71bcb0c20877a56aa0f39ed3.png，例如

(0.101)2=2d9ae724384326e3b094814699c8d31b.png．

因此ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png与子集7172c11681d4bf1f1733c1983b6ddf15.png对等，由ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png不可数知7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png不可列．

例1.3.6 有界数列空间cd1766de9948e22901954d33f18daae1.png是不可分的．

fd5c17ddb268404294c0c47fb57166c0.png，对于76da49ee6ed362cf024943f09d5deed9.png，1949d3a3373b5f4a1fa08e300640b48a.png3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngcd1766de9948e22901954d33f18daae1.png，距离定义为d47d3756bdc1f024b434783ae2a8515c.png．

证明 考虑cd1766de9948e22901954d33f18daae1.png中的子集7172c11681d4bf1f1733c1983b6ddf15.png，则当53ffa75527ac525e56bae444e4ae46e1.png,095150e6a8c5a35982f5f34e66ebe243.png时，有bb32c7e4309079958b5329ef03273f1e.png．因为ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png中每一个实数可用二进制表示，所以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与ccfcd347d0bf65dc77afe01a3306a96b.png一一对应，故7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png不可列．

假设cd1766de9948e22901954d33f18daae1.png可分，即存在一个可列稠密子集3adb4edd14951ddd757ccb4eb18f8518.png，以3adb4edd14951ddd757ccb4eb18f8518.png中每一点为心，以7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png为半径作开球，所有这样的开球覆盖cd1766de9948e22901954d33f18daae1.png，也覆盖7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png．因3adb4edd14951ddd757ccb4eb18f8518.png可列，而7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png不可列，则必有某开球内含有7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的不同的点，设9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png与415290769594460e2e485922904f345d.png是这样的点，此开球中心为0b21a666a81629962ade8afd967826ed.png，于是

82c14cfde973548368b9cb2ebaffb850.png

矛盾，因此cd1766de9948e22901954d33f18daae1.png不可分．□

1.3.2 度量空间的完备性

实数空间e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中任何基本列(Cauchy列)必收敛．即基本列和收敛列在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．

定义1.3.3 基本列

设8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png是度量空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的一个点列，若对任意6c9879791b8bbf48ca4608dca6d24eee.png，存在8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，当89275578b47de32df18be8d37b982d91.png时，有39f331dd8d1d1aa2ac93704d4635746d.png则称8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的一个基本列(或Cauchy列）．

定理1.3.3 (基本列的性质) 设997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png是度量空间，则

(1) 如果点列8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png收敛，则8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png是基本列；

(2) 如果点列8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png是基本列，则8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png有界；

(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点．

证明 (1) 设7ea539fa919fc881cfa742e799ef1573.png，593a7dd31e44ed6c4322ff7e10c8e4b0.png，且3363d8474d0a3e4bf8b167e5e2d32d2d.png．则84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，3e2dad667a3abefb0b013319367dab7b.png，当1754694780d6338ae0e49f9574566b34.png时，70b64d8e345138cbf9d93e772461d818.png，从而7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png，51f67c9bd2c30a9179c14b954b44665e.png时，

4aa4871e95c178e72a622428df4e0364.png．

即得8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png是基本列．

(2) 设8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png为一基本列，则对d205256c7c0ac4357e7dc94e1e927843.png，存在8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，当1754694780d6338ae0e49f9574566b34.png时，有06f5d35e608db0329f5d6982637bacc1.png，记45d996e8c4517dce269f90cd946fd925.png，那么对任意的0779458e5cb9f831cdfa2b3b7e9553e2.png，均有

892bfae1dc2e92ada379323559a3d890.png，

即8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png有界．

(3) 设8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png为一基本列，且637f2a94eb081a7a2a2ada1e39aba50e.png是8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png的收敛子列，9caaf7e105cc9a730bc7dd06d261aa50.png于是，ca9acb8062612ea819eae30d7b686891.png，当d8fcd23b2cd54130512a67b2d8fa84f1.png时，27f05dca441d7e95ffec021345cf57c0.png；34ca76f3a9857f0c056c46bd84e29367.png，当83598210d105cc22c0dccd3e6e9439c9.png时，5b51144e80c17ece450282cf24b68c86.png．取31642f95396490f2025126ce62837706.png，则当1754694780d6338ae0e49f9574566b34.png，a24ae17c29fc60d95eb2f82d8fa530f3.png时，f42e63920e5075214c6b67d8864d47ab.png，从而有

66fb30f22475f90425da1411ef8ca992.png，

故84dd3a72cf37e9fb5af5c19ec44d71c0.png．□

注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗？

例1.3.7 设faa76037f54cabc24ae3fa1719c9823b.png，2accd5f12f79866062ada10cc6dbd7d2.png，定义4951a4e435e9a42472fd50291cbe3b84.png，那么度量空间997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png的点列b40f90e22f3ae68cc43b954973d69816.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的基本列，却不是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的收敛列．

证明 对于任意的6c9879791b8bbf48ca4608dca6d24eee.png，存在af60d5fe93c0156b7a9a35082873b7ad.png，使得22b020b1ebc2a10a57891751e411f967.png，那么对于af0b7e38a26c419e94a6f6584ef74439.png及b69a19c05d17342626880b9a37bdba59.png，其中237912f919480db94849a725e53b8f94.png，有

ffa0783bbb564caf7e562d4a1a539780.png

1554feb43b229298d4406bdd6a5d6550.png，

即得8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png是基本列．显然7762112a66877ab1cdee1ab834511f7b.png，故8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png不是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的收敛列．

或者利用6a5e967ea4593eda05535ef9ade6d289.png是e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的基本列，可知84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，3e2dad667a3abefb0b013319367dab7b.png，当9d2485d43545cc7c81c75fa4c6f84887.png时有 310ef677731be7ed1b8dfabf812c8356.png．于是可知b40f90e22f3ae68cc43b954973d69816.png也是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png上的基本列．□

如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．

定义1.3.4 完备性

如果度量空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的任何基本列都在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中收敛，则称02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是完备的度量空间．

例1.3.8 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png维欧氏空间8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png是完备的度量空间．

证明 由8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png的完备性易得．□

例1.3.9 连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png是完备的度量空间．

(距离的定义：dac8ea1d2e47992456270b7d0e553401.png)

证明 设8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png是d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png中的基本列，即任给6c9879791b8bbf48ca4608dca6d24eee.png,存在8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，当89275578b47de32df18be8d37b982d91.png时，39f331dd8d1d1aa2ac93704d4635746d.png即

3a9a242a08c562ab744e45a2346cc807.png

故对所有的79732b70449450b5a6022c784bbd3d78.png,badb736f544963e431c2f2e72d8ce455.png，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.png，使2a5fee18ae0869eba76484f0579eb7cd.png在2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上一致收敛于fd5f9e2ee180a439aaec015692916a1c.png，即3d26edc5fea5f47e111bb98110ba3dec.png,且ad7f7f34f64755cfc164e1dd661e0eb7.png.因此d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png完备．□

例1.3.10 设afbea9f3b60ac4718bf130bea5b670f5.png，2b24d5523a9564d3dd74559b4b2313c4.png，定义45a9a0cc64f18897ef3da98a05b92bc6.png，那么7bc5a93ed9b883dd450caf782a862337.png不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png完备)

证明 设

f949bb3ca9f717a15bb9045d74af2192.png

31c65309f7b2818d0609557691279e6e.png的图形如图1.3.1所示．显然31c65309f7b2818d0609557691279e6e.png，19a2d7e8ed379d3a3f2fababf2786313.png．因为3c06eb133986cdb6d5cf6174b7d2450c.png是下面右图中的三角形面积，所以84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，bf0a0e809a1e126a859566b4cd0dea3f.png，当89275578b47de32df18be8d37b982d91.png时，有

1da592d92bb8e856c0dbaaabf6899408.png，

word/media/image330.gif word/media/image331.gif word/media/image332.gif

图1.3.1 31c65309f7b2818d0609557691279e6e.png图像及有关积分示意图

于是44535f17b3ee0f661272a5b8df504600.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的基本列．下面证44535f17b3ee0f661272a5b8df504600.png在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中不收敛．若存在35974892ead5226c42b35065af9ac364.png，使得

2ce9ef64eda5a9e774f1f679599321de.png．

由于2fd5487e08e297be97d029756dafca27.pngae1095b2aaf393d9e240cebd200f61e6.png47c07a5a49425382a9594928a0e5707a.png，显然上式右边的三个积分均非负，因此31daae3fc4ebf2a064c238213d45187d.png时，每个积分均趋于零．推得

1d1189230864fdb2e302e61fb7b527e6.png

可见d6e3af948a34fd5f432cb9d377a98ef0.png不连续，故44535f17b3ee0f661272a5b8df504600.png在02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中不收敛，即3db697426056e27680c2e275d81fb9cf.png在距离975e82ee46300a50d901d66c00fe64b1.png下不完备．□

表1.3.1 常用空间的可分性与完备性

由于有理数系数的多项式函数集298d29026394a04d12cf08f8900c059e.png是可列的，以及298d29026394a04d12cf08f8900c059e.png在69a87766898eaff9fdde5cee2ecc899c.png、d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png、5901dae4e6a62851b802165ba94588cb.png以及afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png中稠密，可知闭区间2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上多项式函数集69a87766898eaff9fdde5cee2ecc899c.png、连续函数集d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png、有界可测函数集5901dae4e6a62851b802165ba94588cb.png、83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可积函数集afb01700adf9f8036945769f1b648d5e.png均是可分的．前面的例子说明7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png维欧氏空间8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png以及83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可和的数列空间707a16830ea160db330cd79fc502a005.png也是可分空间，而有界数列空间cd1766de9948e22901954d33f18daae1.png和不可数集02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png对应的离散度量空间c5fba1ddef81a7136042cb951a246632.png是不可分的．

从上面的例子及证明可知，7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png维欧氏空间8680f722a3c5c4c68aed0843febe262d.png是完备的度量空间，但是按照欧氏距离faa76037f54cabc24ae3fa1719c9823b.png却不是完备的；连续函数空间d930e3053f32dbc51f14e870df59674d.png是完备的度量空间，但是在积分定义的距离45a9a0cc64f18897ef3da98a05b92bc6.png下，3db697426056e27680c2e275d81fb9cf.png却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可和的数列空间707a16830ea160db330cd79fc502a005.png是完备的度量空间，83878c91171338902e0fe0fb97a8c47a.png次幂可积函数空间13e6f71bc2c21e49eb14b8973592fe30.png是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．

在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理．

定理1.3.4 (闭球套定理)设997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png是完备的度量空间，beb8749e7c5b34c17cccce8eec47444b.png是一套闭球：

51b88ba8214f609b5645ab3c6b1b652e.png．

如果球的半径a4f673de8dfea99d4d8301bf08ab32c9.png，那么存在唯一的点fa339fd0f170e6428af8ec8daa84505a.png．

证明 (1)球心组成的点列8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的基本列．当7b66ffb7eb82a7c53eabe84662ae0bc6.png时，有7202e4b156466312d1426c1d6e79e291.png(3819677bd886af2a0916ac8f59dc1ecd.png)，可得

30d79f04c75517078dc83e535a80119b.png． (2.4)

84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png,取8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png，当1754694780d6338ae0e49f9574566b34.png时，使得fd15f791fe9668809b33d531a75a8940.png，于是当89275578b47de32df18be8d37b982d91.png时，有

2303ad24ed7705c005f73040e8c434c2.png，

所以8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png为02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的基本列．

(2)9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的存在性．由于997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png是完备的度量空间，所以存在点593a7dd31e44ed6c4322ff7e10c8e4b0.png，使得ce65c31d08d43d0b76c8760bfc8c567d.png．令(2.4)式中的dbee1e3b7dbbad09a24f855354df2158.png，可得

c6568608daa54925eeadc67a3be0c15a.png

即知0d3908efb7c1af4acbbd0935a4b0209b.png，19a2d7e8ed379d3a3f2fababf2786313.png，因此fa339fd0f170e6428af8ec8daa84505a.png．

(3) 9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的唯一性．设还存在36c2b020fa267a69c9b76271b71c3a75.png，满足429073c3c01fe3d28d9943e125bb4662.png，那么对于任意的7034cf2cdfa4db53a368006b058bd494.png，有f4e9394390e9bc378991e695702905ff.png，从而ca0e39dc7def33b9fbf03f655f592bcc.png9355649f15ee16c90f7786228f7419f0.png，于是919860b52317a584e5de6f3257631d16.png．□

注4：完备度量空间的另一种刻画：

设997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png是一度量空间，那么02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是完备的当且仅当对于02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png中的任何一套闭球：51b88ba8214f609b5645ab3c6b1b652e.png，其中beb8749e7c5b34c17cccce8eec47444b.png，当半径a4f673de8dfea99d4d8301bf08ab32c9.png，必存在唯一的点fa339fd0f170e6428af8ec8daa84505a.png．

大家知道5ee596e50e305c2fb83fcf5feb73f2e0.png，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．

定义1.3.5 等距映射

设997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png，147a72399ec2110c0296d641df14872a.png是度量空间，如果存在一一映射c6011d822e58ced15d6ac180f63ff34f.png，使得975df20a0c32a983d0b7d88cbfa3d361.png，有532bd22ec9d467c6201c542c81be1e03.png，则称b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png到57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png上的等距映射，02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png与57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png是等距空间(或等距同构空间)．

注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png相关的数学命题，通过等距映射b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png，使之在147a72399ec2110c0296d641df14872a.png中同样成立．因此把等距同构的997acbbcec4f781a26aaa2fa5299f33c.png和147a72399ec2110c0296d641df14872a.png可不加区别而看成同一空间．

定义1.3.6 完备化空间

设02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png是一度量空间，57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png是一完备的度量空间，如果57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png中含有与02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png等距同构且在57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png中稠密的子集97310a84f616996c3a5184eee566c2f2.png，则称57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png是02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的一个完备化空间．

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图1.3.2 度量空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的完备化示意图

定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)

对于每一个度量空间02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png，必存在一个完备化的度量空间57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png，并且在等距同构意义下57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png是唯一确定的．

例1.3.11 设fa5b06ad9ba899dc8b9731a458da2307.png，定义距离cbb1d76ec5420fb75d5ca6ba58777007.png，试证6e6881df48e04d0088511873b171efb8.png不是完备的空间．

证明 取点列56844b7d99c887a6b979913a9fa86cff.png，其中1be1c131adab7a9f64e92aca35c4c2c7.png，注意e54ada32c660c1682df4c764cec089dd.png，显然不存在一点b65d5152fd3b93a2f4bf4c94f5fc8cc3.png，使得

f2b9b9df6e0e401ece40291b9eb8ac57.png．

所以点列8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png中没有极限．由于dd30d36d8e663face2254bb45851545e.png，即84068c3c1d55e3d3b3c01e4336632a70.png，baf5bc43c3b4bff2478d61db4b48a033.png，当89275578b47de32df18be8d37b982d91.png时，有b471acd8f818a02ef0765dedffe5905e.png，a0c89e24ffa015b6ee9f388cd84060dc.png，于是

8653ffe6d02243a041f9e7eb1e14a537.png7163e588ce2104340c6ba92d077cc98d.png

因此点列8e75fbcd5483365e41adeb5abfb6e92a.png是基本列，却不是收敛列．□

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度量空间的可分性与完备性