等差数列

1. 定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为（d为常数）（）；

2．等差数列通项公式：

（1）（首项:，公差:d，末项:）

（2）． 从而；

3．等差中项

（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或

（2）等差中项：数列是等差数列

4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的证明方法

（1） 定义法：若或(常数)是等差数列．

（2） 等差中项：数列是等差数列．

（3）数列是等差数列（其中是常数）。

（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）

7.等差数列的性质：

（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

注：，图示：

(4) 若{}是等差数列，则，…也成等差数列

图示：

（5）若等差数列、的前和分别为、，且，则.

（6）若、为等差数列，则为等差数列

练习：

1.等差数列中，，求的通项公式。

2.等差数列前项和记为，已知，

（1）求通项；（2）若，求

3.若求

4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？

等差数列知识点总结