2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题（共12小题）.

1．设集合，，则A∩B＝（　　）

A．[﹣1，3） B．[﹣1，3] C．[﹣4，﹣1] D．[﹣4，3）

2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（　　）

A．1 B． C． D．2

3．已知的展开式中有常数项，则n的值可能是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

5．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．①④

6．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（　　）

A． B． C． D．

7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（　　）

A．1 B． C．2 D．π

8．已知函数f（x）＝ex+e﹣x+cosx，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（　　）

A． B．

C． D．

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且（sinA+sinB）2+cos2C＝1+sinAsinB，则cosB＝（　　）

A． B． C． D．

10．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2，BC＝2，P为球面上的动点，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（　　）

A． B． C． D．

11．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（　　）

A． B． C． D．

12．已知α，β∈（0，2π），且满足sinα﹣cosα＝，cosβ﹣sinβ＝，则sin（α+β）＝（　　）

A．1 B．或1 C．或1 D．1或﹣1

二、填空题（共4小题）.

13．平面向量，若，则λ＝　 　．

14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是　 　．

15．若函数f（x）＝|ex﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是　 　．

16．设P为双曲线上的一个动点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1和d2，则3d1+d2的最小值为　 　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且和的等差中项为1．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝log4an+1，求数列的前n项和Tn．

18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos∠BAD＝，BD＝DD1，E是CC1的中点．

（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；

（Ⅱ）求直线AD1和平面BDE所成角的正弦值．

19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1，2，3，…，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的．

（Ⅰ）当输入x＝12和x＝20时，求输出y的值；

（Ⅱ）求输出的y值的分布列；

（Ⅲ）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由．

20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．

（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；

（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．

21．已知函数f（x）＝ln（x+1）+a，g（x）＝ex﹣a，a∈R．

（Ⅰ）若a＝0，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线，证明：ln（x0+1）＝．

（Ⅱ）若g（x）﹣f（x）≥1，求a的取值范围．

选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．

（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；

（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．

（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；

（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．

参考答案

一、选择题（共12小题）.

1．设集合，，则A∩B＝（　　）

A．[﹣1，3） B．[﹣1，3] C．[﹣4，﹣1] D．[﹣4，3）

解：因为，即，解得﹣4≤x＜3，故集合A＝{x|﹣4≤x＜3}，

因为，所以x≥﹣1，故集合B＝{x|x≥﹣1}，

所以A∩B＝[﹣1，3）．

故选：A．

2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（　　）

A．1 B． C． D．2

解：设z＝a+bi，则，

因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，

所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，

所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，

故|z|＝．

故选：B．

3．已知的展开式中有常数项，则n的值可能是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

解：∵已知的展开式中的通项公式为 Tr+1＝•x2n﹣3r，

由于它的展开式中有常数项，则2n﹣3r＝0，即 2n＝3r，即 n＝，r＝0，1，2，…，n．

故当r＝4时，可得n＝6，

故选：B．

4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，

如图，PO是正四棱锥的高，

设底面边长为a，底面积为，

因为，

所以，

所以△PAB是正三角形，面积为，

所以．

故选：D．

5．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（　　）

A．①② B．③④ C．②③ D．①④

解：因为，所以b＞a＞0，

所以，故①正确；

|b|＞|a|，故②错误；

b3＞a3，故③错误；

由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，

故正确的是①④．

故选：D．

6．从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率为（　　）

A． B． C． D．

解：根据题意，从4双不同尺码的鞋子中随机抽取3只，有C83＝56种取法，

其中任意两只都不成双的情况有C43×2×2×2＝32种，

则这3只鞋子中任意两只都不成双的概率P＝＝，

故选：C．

7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（　　）

A．1 B． C．2 D．π

解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，

∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，

∴三角形的面积S＝＝1，

∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，

故选：D．

8．已知函数f（x）＝ex+e﹣x+cosx，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（　　）

A． B．

C． D．

解：f（﹣x）＝e﹣x+ex+cosx＝f（x），则f（x）是偶函数，

f′（x）＝ex﹣e﹣x﹣sinx，为奇函数，[f′（x）]′＝ex+e﹣x﹣sinx≥2﹣sinx＞0，

即f′（x）为增函数，当x＞0时，f′（x）＞f′（0）＝1﹣1﹣0＝0，

即f（x）在（0，+∞）上为增函数，

则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价为不等式f（|2m|）＞f（|m﹣2|），

即|2m|＞|m﹣2|，平方得4m2＞m2﹣4m+4，

即3m2+4m﹣4＞0，

得（m+2）（3m﹣2）＞0，

得m＞或m＜﹣2，

即不等式的解集为，

故选：A．

9．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，且（sinA+sinB）2+cos2C＝1+sinAsinB，则cosB＝（　　）

A． B． C． D．

解：由于a，b，c依次成等差数列，

所以可设a＝x，b＝x+d，c＝x+2d，由于△ABC的周长为15，可得：x+d＝5，

因为（sinA+sinB）2+cos2C＝sin2A+2sinAsinB+sin2B+1﹣sin2C＝1+sinAsinB，即sin2A+sinAsinB+sin2B﹣sin2C＝0，

所以由正弦定理可得a2+b2﹣c2＝﹣ab，

可得cosC＝＝＝﹣，即＝﹣，

将d＝5﹣x代入到上式中，解得：x＝3，d＝2，

∴a＝3，b＝5，c＝7，

∴由余弦定理可得：cosB＝＝＝．

故选：B．

10．已知点A，B，C在半径为5的球面上，且AB＝AC＝2，BC＝2，P为球面上的动点，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（　　）

A． B． C． D．

解：在△ABC中，由AB＝AC＝2，BC＝2，

得cosA＝＝，

∴sinA＝，设△ABC的外接圆的半径为r，

则2r＝，即r＝4，

又三棱锥P﹣ABC的外接球的半径R＝5，

则球心到△ABC外接圆圆心的距离为．

则当P到平面ABC距离最大时，三棱锥P﹣ABC的体积最大，

此时P到平面ABC的最大距离为R+3＝8，

三棱锥P﹣ABC体积的最大值为V＝．

故选：A．

11．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（　　）

A． B． C． D．

解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），

∴以AB为直径的圆过点（1，3），

又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，

此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．

故选：C．

12．已知α，β∈（0，2π），且满足sinα﹣cosα＝，cosβ﹣sinβ＝，则sin（α+β）＝（　　）

A．1 B．或1 C．或1 D．1或﹣1

解：∵sinα﹣cosα＝，sin2α+cos2α＝1，

∴8sin2α﹣4sinα﹣3＝0，8cos2α+4cosα﹣3＝0，

又cosβ﹣sinβ＝，sin2β+cos2β＝1，

∴8cos2β﹣4cosβ﹣3＝0，8sin2β+4sinα﹣3＝0，

①若sinα＝cosβ，则α+β＝或，

此时sin（α+β）＝1，

②若sinα≠cosβ，

则sinα，cosβ是方程8x2﹣4x﹣3＝0的根，

故sinαcosβ＝﹣，

同时cosα，sinβ是方程8x2+4x﹣3＝0的根，

故cosαsinβ＝﹣，

故sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝﹣，

故sin（α+β）的值是1或﹣，

故选：C．

二、填空题

13．平面向量，若，则λ＝　　．

解：∵向量，

∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（ 2λ﹣1，2λ+3）．

∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，

解得λ＝，

故答案为：．

14．若实数x，y满足约束条件，则的取值范围是　　．

解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（2，1），

联立，解得B（1，2），

则，，

令，则≤t≤2，

则＝t+，在t＝1时，取得最小值为2，在t＝或t＝2时，取得最大值为．

∴的取值范围是[2，]．

故答案为：[2，]．

15．若函数f（x）＝|ex﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是　（1，+∞）　．

解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|ex﹣a|与直线y＝1的交点个数，

作出函数图象如图所示，

由题意可知a＞1．

故答案为：（1，+∞）．

16．设P为双曲线上的一个动点，点P到C的两条渐近线的距离分别为d1和d2，则3d1+d2的最小值为　　．

解：设点P为（m，n），则﹣n2＝1，即（m﹣n）（m+n）＝2，

∴|m+n|＝，

双曲线C的两条渐近线方程为x±y＝0，

所以d1＝＝，d2＝，

所以3d1+d2＝3×+＝×（3|m﹣n|+）≥×2＝2，

当且仅当3|m﹣n|＝，即|m﹣n|＝时，等号成立，

所以3d1+d2的最小值为2．

故答案为：2．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题

17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且和的等差中项为1．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn＝log4an+1，求数列的前n项和Tn．

解：（Ⅰ）由题意，可得，

整理，得Sn＝2an﹣2，

当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，

当n≥2时，由Sn＝2an﹣2，

可得Sn﹣1＝2an﹣1﹣2．

两式相减，可得an＝2an﹣2an﹣1，

化简整理，得an＝2an﹣1，

∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，n∈N*，

（Ⅱ）由（Ⅰ），可得bn＝log4an+1＝log42n+1＝，

则，

∴Tn＝++…+

＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）

＝

＝

＝．

18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos∠BAD＝，BD＝DD1，E是CC1的中点．

（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；

（Ⅱ）求直线AD1和平面BDE所成角的正弦值．

【解答】（I）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×ADcos∠BAD＝16，

所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．

在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．

又因为AD∩DD1＝D，DD1⊂平面ADD1，AD⊂平面ADD1，

所以BD⊥平面ADD1，

因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1

（II）解：由（I）知，DA，DB，DD1两两垂直，

以D为原点，DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（3，0，0），D1（0，0，4），B（0，4，0）．

由可得C（﹣3，4，0），所以E（﹣3，4，2）．

则，，，

设是平面BDE的一个法向量，

则，

令x＝2，可得

设直线AD1和平面BDE所成的角为θ，

则．

19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x只能是1，2，3，…，24这24个整数中的一个，且是每个整数的可能性是相等的．

（Ⅰ）当输入x＝12和x＝20时，求输出y的值；

（Ⅱ）求输出的y值的分布列；

（Ⅲ）某同学根据该程序框图编写计算机程序，并重复运行1200次，输出y的值为1，2，3的次数分别为395，402，403，请推测他编写的程序是否正确，简要说明理由．

解：（I）当输入x＝12时，因为12能被3整除，

所以输出y＝1；

当输入x＝20时，因为20不能被3整除，能被4整除，

所以输出y＝2．

（II）当x为3，6，9，12，15，18，21，24这8个数时，输出y＝1，所以；

当x为4，8，16，20这4个数时，输出y＝2，所以；

当x为其余12个数时，输出y＝3，所以．

故y的分布列为：

（III）程序输出y的值为1，2，3的频率分别为，，，

可近似地认为都是，与（II）中所得的概率分布相差较大，

故推测该同学编写的程序不正确．

20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．

（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；

（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．

解：（Ⅰ）设椭圆，

根据条件可知，且，

解得a2＝12，b2＝4，

所以椭圆C1的标准方程为，

曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，

故C2的标准方程为y2＝9x；

（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），

若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；

故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，

联立，解得，

联立，解得，

因为，

所以P是QR的中点，

所以，即，解得k＝1，

所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．

21．已知函数f（x）＝ln（x+1）+a，g（x）＝ex﹣a，a∈R．

（Ⅰ）若a＝0，曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线，证明：ln（x0+1）＝．

（Ⅱ）若g（x）﹣f（x）≥1，求a的取值范围．

【解答】证明：（Ⅰ）若a＝0，则f（x）＝ln（x+1），g（x）＝ex．

∴，g'（x）＝ex，

曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为，

令，则，

曲线y＝g（x）在点处的切线方程为，

由题意知，

整理可得，x0＝0显然不满足，

因此；

解：（Ⅱ）令h（x）＝g（x）﹣f（x）＝ex﹣a﹣ln（x+1）﹣a，

若a＞0，h（0）＝e﹣a﹣a＜e0﹣0＝1，不符合条件；

若a＝0，h（x）＝ex﹣ln（x+1），，

当x∈（﹣1，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，

当x∈（0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，

∴h（x）≥h（0）＝1，符合条件；

若a＜0，则h（x）＝ex﹣a﹣ln（x+1）﹣a＞ex﹣ln（x+1）≥1，符合条件．

∴a的取值范围是（﹣∞，0]．

选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．

（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；

（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．

解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，

由参数方程知，

则．

（Ⅱ）令，得，

所以A（1，0），

令，得，

所以B（﹣2，0），

所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，

所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．

（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；

（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．

解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；

当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；

当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；

当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．

综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．

（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，

当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．

因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．

解得，

所以m的取值范围是．

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）