九年级数学2015年模试卷

数 学

一、选择题(本题共30分，每小题3分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．2015年羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次/分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示应为（ ）

A. B. C. D.

2．如图，BD∥AC，AD与BC交于点E，如果∠BCA=50°，∠D=30°，

那么∠DEC等于（ ）

A. 75° B. 80°

C. 100° D. 120°

3．64的立方根是（ ）

A. B. C. 8 D. 4

4．函数中，自变量的取值范围是（ ）

A. B. x≥2 C. x＞2 D. x≥

5．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC，

如果，AC=6，那么AE的长为（ ）

A. 3 B. 4 C. 9 D. 12

6．某居民小区开展节约用电活动，该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示．

那么4月份这100户家庭的节电量（单位：千瓦时）的平均数是（ ）

A. 35 B. 26 C. 25 D. 20

7. 若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于（ ）

A. 2 B. 1 C. D.

8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，

边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于（ ）

A．28° B．33°

C．34° D．56°

9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点，

若点A的坐标为，则点C的坐标为（ ）

A． B．

C． D．

10．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O上存在点N，使得，那么m的取值范围是（ ）

A．≤m≤1 B. ＜m＜1 C. 0≤m≤1 D. 0＜m＜1

二、填空题(本题共18分，每小题3分)

11．若 则 ．

12．若一个凸n边形的内角和为，则边数n = ．

13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰

所成像的高度为______cm．

14．请写出一个图象的对称轴是直线，且经过点的二次函数的表达式：_____________．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线

（n≠0）在第一象限的公共点是．小明说：“从图象上可

以看出，满足的x的取值范围是．”你同意他的

观点吗？答： ．理由是 ．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点D为直线上且在第一

象限内的任意一点，⊥轴于点，以为边在的右侧

作正方形；直线与边交于点，以为边在

的右侧作正方形；直线与边交于点，以

为边在的右侧作正方形，……，按这种方式进行下去，则直线对

应的函数表达式为 ，直线对应的函数表达式为 .

三、解答题(本题共30分，每小题5分)

17．如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在AB，BC

的延长线上，BD=CE，连接AE，CD．

求证：∠E＝∠D．

18．计算：.

19．已知，求代数式的值．

20．解方程：．

21．列方程（组）解应用题：

某超市的部分商品账目记录显示内容如下：

求第三天卖出牙膏多少盒．

22．已知关于x的函数 ．

（1）求证：无论m取何实数，此函数的图象与x轴总有公共点；

（2）当m＞0时，如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数，求正整数m的值．

四、解答题(本题共20分，每小题5分)

23．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C

与点A重合，点D的落点记为点D′ ，折痕为EF，连接

CF．

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB=，求线段D′F的长．

24.1949年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2001年至今已进入第五个阶段

——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2015年1月的相关数据制作的统计图.

根据以上信息解决下列问题：

（1）以下说法中，正确的是

（请填写所有正确说法的序号）

1 从2011年至2014年，全市常住人口数在逐年下降；

2 2010年末全市常住人口数达到近年来的最高值；

③ 2014年末全市常住人口比2013年末增加36.8万人；

④ 从2011年到2014年全市常住人口的年增长率连续递减.

（2）补全“2014年末北京市常住人口分布图”，并回答：2014年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？

（3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到2015年底，北京市要将全市常住人口数控制在2180万以内（即不超过2180万）.为实现这一目标，2015年的全市常住人口的年增长率应不超过 ．（精确到0.1%）

25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交

⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG．

（1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且时，求PG的长．

26．（1）小明遇到下面一道题：

如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90º，∠ACB=30º，BE⊥AC于

点E，且．如果AB=1，求CD边的长．

小明在解题过程中发现，图1中，△CDE与△ 相似，CD的长度等于

，线段CD与线段 的长度相等；

他进一步思考：如果（是锐角），其他条件不变，那么CD的长度可以表示为CD= ；（用含的式子表示）

（2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题：

在Rt△OMN中，∠MON=90º，OM＜ON，OQ⊥MN于点Q，直线l经过点M，且l∥ON．请在直线l上找出点P的位置，使得．

请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明）

五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)

27． 已知一次函数（k≠0）的图象经过，两点，二次函数

（其中a＞2）．

（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；

（2）利用函数图象解决下列问题：

①若，求当且≤0时，自变量x的取值范围；

②如果满足且≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围．

28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，

作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.

（1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ；

（2）如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立

给出证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．

29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点

M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点，

△PMN为图形G关于点P的τ型三角形．

（1）如图1，已知点，，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B

两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画

出一个即可）

（2）如图2，已知点，点（其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线，

且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为，求m的值；

（3）若是抛物线的τ型点，直接写出n的取值范围．

北京市西城区2015年初三二模

数学试卷参考答案及评分标准 2015. 6

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

17.证明：如图1.

∵ △ABC是等边三角形，

∴ AC=BC，∠ACB＝∠ABC=60°．……………………………………………… 1分

∵ D，E两点分别在AB，BC的延长线上，

∴ ∠ACE＝∠CBD=120°． …………………2分

在△ACE和△CBD中，

……………………… 3分

∴ △ACE≌△CBD．……………………… 4分

∴ ∠E＝∠D．…………………………………………………………………… 5分

18．解：

………………………………………………………………4分

. ………………………………………………………………………… 5分

19．解：

=………………………………………………………………2分

=

=．………………………………………………………………………3分

∵ ，

∴ ．…………………………………………………………………… 4分

∴ 原式=．……………………………………………5分

20．解：去分母，得 ．…………………………………………………… 1分

去括号，得 ． ………………………………………………………2分

整理，得 ．……………………………………………………………… 3分

解得 ． …………………………………………………………………… 4分

经检验，是原方程的解． …………………………………………………5分

所以原方程的解是．

21．解：设牙膏每盒x元，牙刷每支y元．…………………………………………………1分

由题意，得 …………………………………………………… 2分

解得 ……………………………………………………………………… 3分

（盒）． ………………………………………………………… 4分

答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分

22．解：（1）当m=0 时，该函数为一次函数，它的图象与x轴有公共点.

……………………………………………………………… 1分

当m≠0 时，二次函数．

．

∵ 无论m取何实数，总有≥0，即≥0，

∴ 方程有两个实数根．

∴ 此时函数的图象与x轴有公共点．……………2分

综上所述，无论m取何实数，该函数的图象与x轴总有公共点．

（2）∵m＞0，

∴ 该函数为二次函数，它的图象与x轴的公共点的横坐标为

．

∴ ，． ……………………………………………………… 3分

∵ 此抛物线与x轴公共点的横坐标为整数，

∴正整数m=1或3．……………………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

23．（1）证明：如图2．

∵点C与点A重合，折痕为EF，

∴，AE=EC．

∵ 四边形ABCD为平行四边形，

∴ AD∥BC．

∴ ．

∴ ．

∴ AE=AF．…………………………………………………………………1分

∴ AF=EC．

又∵ AF∥EC，

∴ 四边形AFCE是平行四边形．………………………………………… 2分

又AE=AF，

∴ 四边形AFCE为菱形．………………………………………………… 3分

（2）解：如图3，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°．

∵ 点D的落点为点D′ ，折痕为EF，

∴.

∵ 四边形ABCD为平行四边形，

∴ AD=BC．

又∵AF=EC，

∴，即．

∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB=，

∴ AG=GB=6.

∵ 四边形AFCE为平行四边形，

∴ AE∥FC.

∴ ∠4=∠5=60°.

∵ 在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°，

∴ .

∴ .

∴ .…………………5分

24.解：（1）③④.………………………………… 2分

（2）补全统计图见图4. ………………… 3分

1055万人. ………………………… 4分

（3）1.3%. …………………………………………………………………………… 5分

25. 解：（1）补全图形如图5所示. ………………………………………………………… 1分

答：PG与⊙O相切.

证明：如图6，连接OG .

∵ PF=PG，

∴ ∠1=∠2.

又∵OG=OA，

∴ ∠3=∠A.

∵ CD⊥AB于点E，

∴ ∠A+∠AFE =90°.

又∵∠2 =∠AFE，

∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分

即 OG⊥PG.

∵ OG为⊙O的半径，

∴ PG与⊙O相切. …………………… 3分

（2）解：如图7，连接CG.

∵ CD⊥AB于点E，

∴ ∠OEC=90°.

∵ DG∥AB，

∴∠GDC=∠OEC =90°.

∵∠GDC是⊙O的圆周角，

∴ CG为⊙O的直径.

∵ E为半径OA的中点，

∴ .

∴ ∠OCE=30°即∠GCP =30°.

又∵∠CGP=90°，，

∴. …………………………… 5分

26.解：（1）CAD，，BC. …………………………………………………………… 3分

.……………………………………………………………………………4分

（2）方法1：如图8，以点N为圆心，ON为半径作圆，交直线l于点，，则点

，为符合题意的点.……………………………………………… 5分

方法2：如图9，过点N画NO的垂线，画NQ的垂直平分线，直线与

交于点R，以点R为圆心，RN为半径作圆，交直线l于点，，

则点，为符合题意的点. ……………………………………… 5分

五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)

27．解：（1）∵ 一次函数（k≠0）的图象经过，两点，

∴

解得 ……………………………………………………………… 1分

∴ ． ………………………………………………………… 2分

∵ ，

∴ 二次函数图象的顶点坐标为．

………………………………… 3分

（2）①当时，．

………………………………… 4分

如图10，因为且≤0，由图象

得2＜x≤4． ………………………… 6分

②≤a＜．……………………………7分

28．解：（1）CH=AB． ………………………………… 1分

（2）结论成立．………………………………… 2分

证明：如图11，连接BE．

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°．

∵ DE=DF，

∴ AF=CE．

在△ABF和△CBE中，

∴ △ABF≌△CBE．

∴ ∠1=∠2．……………………………………………………………………3分

∵ EH⊥BF，∠BCE=90°，

∴ H，C两点都在以BE为直径的圆上．

∴ ∠3=∠2．

∴ ∠3=∠1．

∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°，

∴ ∠4=∠HBC．

∴ CH=CB．………………………………………………………………… 5分

∴ CH=AB．………………………………………………………………… 6分

（3）．………………………………………………………………………7分

29．解：（1）点A．………………………………………1分

画图见图12．（画出一个即可）………… 2分

△AMN（或△AJK）. …………………… 3分

（2）如图13，作OL⊥EF于点L.

∵ 线段EF为点O的τ型线，

∴ OL即为线段EF关于点O的τ型三角形的高.

∵线段EF关于点O的τ型三角形的面积为，

∴. ……………………………… 4分

∵ ，，

∴.

∴ .

∴ .

∴.………………………………………………………………………6分

（3）n≤.……………………………………………………………………………8分

初三数学试题及答案