1.(本题满分15分)如图，平面PAC丄平面ABC , . ABC是以AC为斜边的等腰直角三 角形。E,F,0分别为 PA, PB, PC 的中点，AC =16,PA 二 PC =10。

(I) 设C是OC的中点，证明：PC//平面BOE ；―

(II )证明：在CABO内存在一点 M，使FM丄平面BOE，并求点M到OA, OB的距 离。

2•如图，在棱长为1的正方体ABCD -AiBiCiDi中，P是侧棱C®上的一点，CP=m ,

(I)试确定 m,使得直线AP与平面BDBiDi所成角的正切值为 3,2 ;

(n)在线段 AiCi上是否存在一个定点 垂直于AP,并证明你的结论。

3.如图甲，△ ABC是边长为6的等边三角形，E, D分别为AB、AC靠近B、C的三等分 点，点G为BC边的中点.线段 AG交线段ED于F点，将△ AED沿ED翻折，使平面

AED丄平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。

(I)求证BC丄平面AFG ;

(II)求二面角 B — AE — D的余弦值.

5•如图，矩形ABCD和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE // CF

ZBCF ZCEF =90 , AD = $3, EF =2 .

(I)求证：AE //平面DCF ；

(n)当AB的长为何值时，二面角 A-EF -C的大小为60 ?

2

6.如图，在矩形 ABCD中，点E, F分别在线段 AB , AD 上, AE=EB=AF= — FD = 4.沿直

3

线EF将 AEF翻折成：A'EF,使平面A'EF _平面BEF.

(I)求二面角A' -FD - C的余弦值;

(II)点M , N分别在线段FD, BC上，若沿直线 MN将四边形MNCD

7.如图，在三棱锥 P-ABC中，AB = AC, D为BC的中点，P0丄平面 ABC，垂足 O落在

线段 AD 上，已知 BC = 8, P0= 4, AO = 3, OD = 2

(I)证明：AP丄BC;

(n)在线段 AP上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B为直二面角？若存在，求出 AM

的长；若不存在，请说明理由。

8.如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面是边长为 2、、3的菱形，

/ BAD=120。，且 PA丄平面 ABCD , PA=2、6, M , N 分别为 PB,PD 的中点。

(1)证明：MN //平面 ABCD ;

(2) 过点A作AQ丄PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q的平面角的余弦值。

9.如图，在四面体 A-BCD中，AD _平面BCD ,

BC _CD , AD =2 , BD=2、.2 . M 是 AD 的中点，P是 BM 的中 点，点Q在线段AC上，且AQ =3QC .

(I)证明：PQ//平面BCD ；

(H)若二面角 C - BM -D的大小为60，求.BDC的大小.

10.如图，在五面体 ABCDEF 中，已知 DE _平面 ABCD , AD //BC，./BAD =60° ,

AB =2 , DE 二 EF =1 •

(1)求证：BC //EF ；

(2)求三棱锥 B-DEF的体积.

11.如图，在直二棱柱

ABC —ABQt 中，已知 CA =CB =1 ,

冷=2 , BCA=90° .

(1)求异面直线 BAi与CBi夹角的余弦值；

(2)求二面角B—AB1—C平面角的余弦值.

1V

AD //BC , AD BC , ABC =60 , N 是 BC

2

的中点•将梯形 ABCD绕AB旋转90 ,得到梯形ABC D (如图).

(1)求证：AC _平面ABC ';

(2)求证：C N //平面ADD ;

(3)求二面角 A -C N -C的余弦值.

13.(本题满分14分) 如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,

/ ADC =90° ,平面FAD丄底面 ABCD , Q为AD的中点，M是棱PC上

A

的点，FA=PD=2, BC=-AD=1, CD= .3 .

2

(I )求证：平面 PQB丄平面PAD;

(II )若二面角 M-BQ-C 为 30° 设 PM=tMC ,

试确定t的值

14.如图，直角梯形 ABCD中，AB//CD, . BCD = 90 ° , BC = CD = 2 ,AD =

BD EC丄底面ABD FD丄底面 AO且有E=D=.

(I )求证：AD丄BF :

(II)若线段EC上一点M在平面BDF上的射影恰好是 BF的中点N,试求二面角 B-MF-C

的余弦值•

1•证明：(I)如图，连结 0P，以0为坐标原点，分别以 0B、OC、OP所在直线为x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系 O-xyz，一一

则 O 0,0,0 ,A(0, -8,0),B(8,0,0),C(0,8,0), P(0,0,6), E(0,-4,3), F 4,0,3，由题意得，

G 0,4,0 ,因 OB =(8,0,0), OE =(0,-4,3)，因此平面 BOE 的法向

. ——. -"-""-Bn

量为 n =(0,3,4)，FG=(Y,4,-3 得 n FG =0，又直线 FG 不在

平面BOE内，因此有FG //平面BOE

(II)设点 M 的坐标为 xc,y°,0，则 FM =(xg-4,y。，-3)，因为

———■i=j. sna. C

FM —平面BOE，所以有FM 〃n，因此有Xo =4, y0二--，即点 x

4

M的坐标为 4,--,0 i，在平面直角坐标系 xoy中，MOB的内部区域满足不等式组

< 4丿

x 0

」y V0 ，经检验，点 M的坐标满足上述不等式组，所以在 AABO内存在一点 M，使

、x_y £8

-

FM —平面BOE，由点M的坐标得点M到OA， OB的距离为4,.—

4

2.解法1： (1)连 AC,设 AC BD =0,

AP与面BDIDB-i父于点G,连0G.

因为 PC// 面 BDD1 B1 ,面 BDD1 B, 面 APC =0G,

1m

故 OG // PC。所以 OG 二丄 PC = m 。

22

又 AO_DB,AO_ BR ,所以A0_ 面BDD, B,.

故.AGO即为AP与面BDDi Bi所成的角。

在 Rt △ AOG中, tanAGO 2 3.2，即 m

m 3

2

故当m=^时，直线AP与平面BDDB所成的角的正切值为3血。

3

(n)依题意，要在 A, G上找一点Q，使得D, Q _ AP.

可推测AG的中点Oi即为所求的Q点。

因为 DQ, _ AG . D, O, _ AA，所以 D,Q _ 面 ACC, A,.

又 AP 面 ACGA.，故 D,O, _AP。

从而DiOi在平面AD, P上的射影与AP垂直。

解法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1, m ), C(0,1,0), D(0,0,0),Bi(1,1,1),Di(0,0,1).

所以 BD =(一1,一1,0), BB1 =(0,0,1),

AP =(-1,1,m), AC =(-1,1,0).

又由AC BD =0, AC BBj =0知AC为平面B^D1D的一个法向量

设AP与面BDD1B1所成的角为「

则• t 「 t、 | AP AC | 2

贝U sin 二 cos( )=

2|AP「|AC| @J2 十 m2

依题意有： 2 = - 32 —，解得 m =1 .

近 $2+m2 J1 +(3问2 3

故当mJ时，直线AP与平面BDDB所成的角的正切值为3 ©。

3

(2)若在 A Ci上存在这样的点 Q，设此点的横坐标为 x,

则 Q(x,1-x,1),DQ =(x,1-x,0)。

依题意，对任意的 m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于 AP。等价于

1

DQ _ AP ：= AP D1Q = 0 = x (1 -x) = 0 = x =

2

即Q为A1C1的中点时，满足题设的要求•

3.( I )在图甲中，由△ ABC是等边三角形，E, D分别为AB, AC的三等分点，点 G为BC

边的中点，易知 DE丄AF, DE丄GF , DE//BC. 2分

在图乙中，因为 DE丄AF, DE丄GF , AF FG = F，所以DE丄平面AFG .

又DE//BC，所以BC丄平面 AFG . 4分

(H )因为平面 AED丄平面 BCDE，平面 AED 平面BCDE=DE , DE丄AF , DE丄GF , 所以FA, FD , FG两两垂直.

以点F为坐标原点，分别以 FG, FD , FA所在的直线为x, y, z轴，建立如图所示

的空间直角坐标系 F -xyz .则 A(0,0,2. 3) , BC3,-3,0), E(0,-2,0)，所以

_ _ .十

AB =(、.3,-3,-2.3) , BE =(-.3,1,0).

设平面ABE的一个法向量为 n二(x, y, z).

AB = 0 口 V3x-3y-2^/3z = 0

一，即」厂 ,

，BE = 0 r3x + y=0

取 x = 1，则 y = 3 , z - -1，则 n = (1, . 3, -1). 8 分

L

显然m =(1,0,0)为平面ADE的一个法向量，

m n . 5

所以 cos ：：： m,n . 10 分

|m| |n | 5

<5

面角B - AE - D为钝角，所以二面角 B - AE - D的余弦值为 12分

5

4.方法一：

(1)证明：因为AC=BCM是 AB的中点，所以CML AB. 又EA丄平面 ABC 所以CML EM

(2)解：过点M作MHL平面CDE垂足是H,连结 CH并延长交 ED于点F,连结 MF、MD / FCM是直线 CM

A/

和平面CDE所成的角.

因为 MHL平面 CDE所以 MHL ED, 又因为 CML平面 EDM所以CMLED, 则EDL平面 CMF因此 EDL MF

设 EA= a, BD= BC= AC= 2a,

在直角梯形 ABDE中, AB= 2、、2 a, M是AB的中点,

所以 DE= 3a, EM= ,3a , MD=、、6 a ,

得厶EMD是直角三角形，其中/ EMD= 90° 可得四边形BCGE为矩形, 又ABCD为矩形，

所以AD LEG，从而四边形 ADGE为平行四边形,

故 AE // DG .

因为AE二平面DCF , DG二平面DCF , 所以AE //平面DCF .

(H)解：过点 B作BH _ EF交FE的延长线于H，连结AH .

由平面ABCD _平面BEFC，AB _ BC，得

AB _ 平面 BEFC，

从而AH _ EF .

所以.AHB为二面角A - EF -C的平面角.

在 Rt△ EFG 中，因为 EG =AD =神3 , EF =2，所以.CFE =60 , FG =1 .

空间直角坐标系C -xyz .

设 AB =a, BE =b, CF =c,

则 C(0,0,0), A(、. 3,0, a) , B(、、3,0,0), E(..3, b,0), F(0, c,0).

(i)证明：AE=(0, b, - a) , CB=('、3,0,0), BE=(0, b, 0), 所以CB或E =0 , CB配E =0，从而CB丄AE , CB丄BE , 所以CB _平面ABE .

因为CB _平面DCF ,

所以平面 ABE //平面DCF .

故AE //平面DCF .

(n)解：因为 EF =(- . 3, c- b, 0), CE = (、. 3, b, 0),

所以 EF CE =0 , | EF |=2，从而

-3 b(c-b) =0,

...3—(c二 b)2 =2,

解得 b 二 3，c 二 4 .

所以 E(J3,3,0) , F (0,4,0) • 设n =(1, y, z)与平面AEF垂直,

则 n jAE =0 , n EF = 0,

解得 n =：(,3,^) •

a

又因为 BA_平面 BEFC , BA = (0,0, a),

■[

|BA-n| 3.3a 1

所以 |cos ：：： n,BA ]=

|BA|g n| aj4a2 +27 2

9

得到a - — •

2

—

所以当AB为时，二面角 A-EF -C的大小为60

2

6.方法一：

(I)解：取线段 EF的中点H，连结A H

因为AE =AF及H是EF的中点，

所以AH _ EF

又因为平面 AEF —平面BEF，及AH 平面A EF.

所以AH —平面BEF。

如图建立空间直角坐标系 A-xy乙

则 A (2,2,2 &),C(10,8,0),F(4,0,0), D(10,0,0).

故 FN =(-2,2,2 &), FD =(6,0,0)

设n = (x, y, z)为平面A FD的一个法向量

所以—2x 2y任“。

、6x = 0 取 z =凉2，则n = (0, -2/. 2)

又平面BEF的一个法向量 m =(0,0,1)

所以二面角的余弦值为

(n)解：设 FM 二 x£?则M (4 • x,0,0)

因为翻折后，C与A重合，所以CM= A M

故(6 -x)2 82 02 =(-2 -x)2 22 (2、.2)2 ,

经检验，此时点N在线段BG上

21 所以FM

4

方法二：

(I)解：取截段 EF的中点H, AF的中点G,连结AG , NH , GH

因为AE =AF及H是EF的中点, 所以 A H//EF。

又因为平面 A〔F_平面BEF,

所以A H' _平面BEF,

又AF 平面BEF ,

故 A H _ AF ,

又因为G , H是AF , EF的中点,

易知 GH//AB ,

所以GH _ AF ,

于是AF —面A GH

所以乙A GH为二面角 A — DF — C的平面角，

在 Rt AGH 中，AH =2.2,GH =2,AG=2.3

所以 cos AG^ —

故二面角 A — DF — C的余弦值为 V3。

3

(n)解：设 FM =x,

因为翻折后，G与A ■重合，

所以CM _ AM，

而 CM2 =DC2 DM 2 =82 (6-x)2

MH2 二 AH2 MG2 GH2 -(2「2)2 (x 2)2 22

得 X 二21

4

21

所以FM二一

4

P0丄平面 ABC ■ P0丄 BC,而 POP AD=O • BC 丄平面 ADP ■ AP丄 BC

(n)当CM丄AP时，二面角 A-MC-B为直二面角,

OB =OC = 2 5 , PB=PC=6, AB = AC「一 41 , AP = 5

. PAB 二 PAC . ： AMC 二 AMB • AM _ MB . AM 丄平面 MBC .平面 AMC 丄平

面MBC

cos PAB =25 41 -36 一3 AM 二 cos PAB AB = 3 、、41 = 3

2 疋5疋丁41 V41 V41

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8. (I)因为M , N分别是PB , PD的中点，所以MN是PBD的中位线，所以

MM //BD

又因为MN二平面ABCD，所以

MM // 平面 ABCD .

(n)方法一：

连结AC交BD于O ,以O为原点，OC , OD所在直线为x， y轴，建立空

间直角坐标系Oxyz，如图所示

在菱形 ABCD中， BAD =120，得

AC 二AB=2 3，BD = 3AB=6.

又因为PA —平面ABCD，所以

PA_ AC

在直角 PAC 中，AC 二 2.3 , PA = 2、, 6 , AQ _ PC，得

A(—、_3,0,0), B(0,—3,0),

CO, 3,0,0), D(0,3,0),

P(f3,0,2、、6) , M( 3, _3, ,6),

2 2

设m -(x , y , z)为平面AMN的法向量.

3八6)知

"x 一 3 y + V6z = 0 ! 23 2

3x 3 y , 6z = 0

2 2

取x = -1 ，得

m= (^.2,0, -1)

设n = (x , y , z)为平面QMN的法向量.

出"厂 z 5^3 3 駅、/ 5>/3 3 U6、血 由 QM -( , , ) , QN =( ，—,)知

6 2 3 6 2 3

5,3 3 6

x y z = 0

6 2 3

5、3 3 6 门

x y z = 0

6 2 3

取z = 5，得

n= (220,5)

于是

m n V33

cos m , n =

| m | |n| 33

方法二：

在菱形ABCD中，.BAD =120，得

AC=AB=BC=DA , BD= .3AB ,

有因为PA _平面ABCD，所以

PA _ AB , PA _ AC , PA _ AD , 所以 PB =PC =PD . 所以：PBC = ：PDC .

而M , N分别是PB , PD的中点，所以

1 1

MQ = NQ，且 AM PB PD = AN .

2 2

取线段MN的中点E ,连结AE , EQ，贝U

AE _ MN , QE _ MN ,

所以.AEQ为二面角A-MN -Q的平面角.

由 AB = 2,3 , PA = 2,6，故

1

在■ AMN 中，AM 二 AN =3, MN BD =3，得

2

3巧

AE =

2

在直角 PAC中，AQ _ PC，得

AQ =2 &, QG =2 , PQ =4 ,

MQ「PM 2 PQ2 -2PM PQ cos BPC r 5 .

在等腰 MQN 中，MQ=NQ=y5, MN =3，得

-ME2

在AEQ中,

AE

Qe",

2

cos/AEQ -

AE2 QE2 - AQ2

33

2AE QE

33

J33

所以二面角 A-MN -Q的平面角的余弦值为一

33

9.方法一：

(I)取BD中点0，在线段CD上取点F，使得DF =3FC，连结OP , OF , FQ

1 因为 AQ =3QC，所以 QF //AD，且 QF AD .

4

因为0, P分别为BD , SM的中点，所以0P是•汨DM的中位线，

1

所以 OP//DM，且 0P 二丄 DM .

2

1

又点M是AD的中点，所以 OP//AD，且OP=^AD .

4

从而 OP//FQ，且 OP =FQ .

所以四边形 OPQF为平行四边形，故 FQ//QF

又PQ二平面BCD , OF 平面BCD，所以PQ //平面BCD .

(n)作CG _ BD于点G，作GH _ BM于点H，连结CH

因为AD _平面BCD , CG二平面BCD，所以AD _ CG , 又 CG _ BD , AD ' BD = D，故 CG _ 平面 ABD , 又BM 平面ABD，所以CG _ BM .

又 GH _ BM , CG 一 GH 二 G，故 BM _ 平面 CGH CH _BM .

所以• CHG为二面角C - BM - D的平面角，即• CHG

设 BDC 二二.

CG = CD cos ： -22 cost sin ,

BG 二 BCsin)-2、.2sin2

BG DM 2J§sin2日

HG

BM

所以tan -= 3 .

从而 v -60，即• BDC =60 .

方法二：

(I)如图，取BD中点O，以O为原点,

由题意知 A(0 ,、、2 ,2), B(0，-、、2,0), D(0,2,0).

32 3 1

设点 C 的坐标为(x0 , y0 , 0),因为 AQ =3QC ,所以 Q(— x0 , - y0 ,-).

44 4 2

因为M是AD的中点，故M(0,2 ,1) •又P是BM的中点，故P(0,0, 1).

2

所以 PQ=(?X0,2 3y0,0).

44 4

又平面BCD的一个法向量为a =(0 ,0, 1)，故PQ e = 0 .

又PQ二平面BCD，所以PQ//平面BCD .

(n)设m = (x, y , z)为平面BMC的一个法向量.

BM 二(0 2,2 ,1)

-x°x (, 2 -y°)y • z = 0

2 , 2 y z = 0

取 y =「1，得 m 二(y0 2 - -1 - 2,2).

x0

又平面BDM的一个法向量为n =(1,0 , 0),于是

|

Xo

1

2

icos<,n

im in

(1)

X0

C B0 C,

(—X0 , '、

-2 y。一八 0

x0 ,(-

y。

联立（1）, （2）,解得^0=Q （舍去）或

M = -72

又.BDC是锐角，所以.BDC =60 .

10 (1)因为 AD //BC , AD 平面 ADEF , BC 二平面 ADEF , 所以BC //平面ADEF , 3分

又BC 平面BCEF，平面BCEF 平面ADEF = EF , 所以BC //EF . 6分

(2)在平面 ABCD内作BH _AD于点H ,

因为DE _平面ABCD , BH二平面ABCD，所以DE _ BH ,

又 AD , DE 平面 ADEF , AD DE =D ,

所以BH _平面ADEF ,

所以BH是三棱锥 B - DEF的高. 9分

H.

— B

（第16题图）

在直角三角形 ABH中，/BAD =60° , AB = 2，所以BH = • 3 ,

因为DE _平面ABCD , AD 平面ABCD，所以DE _ AD ,

又由（1）知，BC / /EF，且AD / /BC，所以AD //EF，所以DE _ EF ,……12分 所以三棱锥B-DEF的体积V」S.DEF BH - 1 1 .3 3 . ……14分

3 s 3 2 6

11.如图，以「CA,CB,CCJ为正交基底，建立空间直角坐标系 C -xyz .

则 A(1,0,0) , B(0,1,0) , A(1,0,2) , B1(0,1,2)，所以 CB^(0,1,2) , _AB = (-1,1,0), AB1=(—1,1,2) , BA=(1,—12 .__

(1)因为 cos/CB1, BA) =—t— = —尸=

' 1 |cbJ|ba^| 品Z5

所以异面直线BA,与CR夹角的余弦值为器

（2）设平面CAB1的法向量为 m = （x, y,z）,

“ m 则

m

取平面

ABt = 0,

CB1 =0,

CAB1的一个法向量为 m= (0,2, -1)；

即—x y 2z=°,

y 2z =0,

C1

B1

A1

4分

A

（第22题图）

B y

.30

10，

tl - A£ = 0, fi - AS — 取平面R4耳的一个法向重为« = (1,1,0)：

m n 2

m Im sl5 y 5 '

设平面爲的法向壘为n =（匚罠“、31 <

所以二面角B-AB1-C平面角的余弦值为』

10分

1

12. (1)证明：因为 AD BC , N是BC的中点

2

所以 AD =NC，又 AD / /BC

所以四边形 ANCD是平行四边形，所以 AN二DC

又因为等腰梯形，.ABC =60 ,

所以 AB二BN二AD，所以四边形 ANCD是菱形，所以

所以.BAC =90，即 AC _ AB

由已知可知 平面C BA _平面ABC，

因为平面C BA平面ABC二AB

所以AC _平面ABC 4分

(2)证明：因为 AD//BC , AD //BC ,

AD AD '： = A, BC BC 7

所以平面 ADD //平面BCC

又因为C N 平面BCC ,所以 CN //平面ADD

(3)因为AC _平面ABC ,同理AC：平面ABC，建立如图如示坐标系

设 AB =1,

则 B(1,0,0) , C(0,、.3,0), C (0,0, , 3) , N([,_^,0) , 9 分

2 2

则 bc =(-1,0,、、3), cc =(0,-、、3八 3)

_■ ■ ■ ■■■ --b ■ ■

设平面 C NC 的法向量为 n =(x,y,z)，有 BC n=0, CCn=0 得 n = (.3,1,1)

设平面ANC'的法向量为m = (x, y,z)，有AN m二0, AC' m = 0

得 m =(-.3,1,0)

所以cos二

n m

m |n

■- 5

5

12分

13分

由图形可知二面角 A -C N -C为钝角

所以二面角 A -C N -C的余弦值为

1

13. (I )T AD // BC BO-AD Q为 AD的中点，

2

•••四边形BCDQ^平行四边形，••• CD// BQ .

•••/ ADC90° •••/ AQB90° 即 QBL AD

又•••平面 PADL平面 ABCD且平面PACT平面 ABCD=AD

•BQh平面 PAD

••• Bg平面PQB：平面 PQBL平面PAD 5分

(II )••• PA=PD, Q为 AD的中点， ••• PQL AD

•••平面PADL平面ABCD且平面PADn平面 ABCD=AD

•PQL平面 ABCD

如图，以Q为原点建立空间直角坐标系•

贝U平面 BQC勺法向量为 n =(0,0,1) ； Q(0,0,0)，P(0,0, J3)，

B(0, i3,0) , C(-1, .3,0).

设 M(x, y,z)，贝U PM =(x,y,z— ..3),

••• PM 二tMC ,

平面MBQI向量为m二C、3,0,t).

14. 20 •解：(I)证明：T BC_DC ,且 BC =CD —、2 ,

BD =2 且/ CBD = BDC =45

又由 AB // DC，可知 NDBA =^CBD =45

ADB =90，即 AD _ DB ；

•/ FD 丄底面 ABCD于 D, ADu 平面 ABCD： AD 丄 DF , …4 分

••• AD丄平面DBF.又T BF u平面DBF二可得 AD丄BF . …6分

(H)解：如图，以点 C为原点，直线 CD CB CE方向为x、y、z轴建系.

可得 D(、2,0,0), B(0八 2,0),F ( 2,0,2), A(2 2, 2,0)

又TN恰好为BF的中点，•吨¥)

) MN—也竺,1_4)

设 M(0,0,z°) ,.. 2 2

MN

BD =0

又•••

MN

DF =0 ,•.可得 20

故M为线段

CE的中点.

…11分

设平面BMF的一个法向量为ni =(Xl, yi,Zl),

…8分

且 BF =( 2,- 2,-2),

BF '“1=0 V2Xi —v2yi —2z〔 =0

BM =(0,t2,1)，由 lBM ni =0 可得厂込Yi +n=Q

f

X1 - 3

取却=丘得n?=(3,1，血).

...14 分

故所求二面角B-MF-C的余弦值为 6

…15分

浙江省历年高考立体几何大题总汇（题目及答案）