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发布时间：2023-11-20 14:01:42

1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R的可分性．同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．1.3.1度量空间的可分性定义1.3.1设X是度量空间，A,BX，如果B中任意点xB的任何邻域O(x,都含有A的点，则称A在B中稠密．若AB，通常称A是B的稠密子集．注1：A在B中稠密并不意味着有AB．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．定理1.3.1设(X,d是度量空间，下列命题等价：(1A在B中稠密；(2xB，{xn}A，使得limd(xn,x0；n(3BA（其中AAA，A为A的闭包，A为A的导集(聚点集）；(4任取0，有B覆盖B．证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,CX，若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密．证明由定理1.1知BA，CB，而B是包含B的最小闭集，所以BBA，于是有CA，即A在C中稠密．□注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理闭区间[a,b]上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}(1多项式函数集P[a,b]在连续函数空间C[a,b]中稠密．参考其它资料可知：(2连续函数空间C[a,b]在有界可测函数集B[a,b]中稠密．(3有界可测函数集B[a,b]在p次幂可积函数空间Lp[a,b]中稠密(1p．利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：(4连续函数空间C[a,b]在p次幂可积函数空间Lp[a,b]中稠密(1p．因此有P[a,b]C[a,b]B[a,b]Lp[a,b]．定义1.3.2设X是度量空间，AX，如果存在点列{xn}A，且{xn}在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集．当X本身是可分点集时，称X是可分的度量空间．xAO(x,．即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合
注3：X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集．例1.3.1欧氏空间Rn是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集．}证明设Qn{(r1,r2,,rn|riQ,i1,2,,n}为Rn中的有理数点集，显然Qn是可数集，下证Qn在Rn中稠密．对于Rn中任意一点x(x1,x2,,xn，寻找Qn中的点列{rk}，其中rk(r1k,r2k,rkx(k．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数xi(i1,2,,rnk，使得,n，存在有理数列rikxi(k.于是得到Qn中的点列{rk}，其中rk(r1k,r2k,,rnk，k1,2,.现证rkx(k．0，由rikxi(k知，KiN，当kKi时，有|rikxi|n，i1,2,,n取Kmax{K1,K2,,Kn}，当kK时，对于i1,2,,n，都有|rikxi|d(rk,xn，因此|rinkixi|2n2n即rkx(k，从而知Qn在Rn中稠密．□例1.3.2连续函数空间C[a,b]是可分的．{具有有理系数的多项式的全体Po[a,b]在C[a,b]中稠密，而Po[a,b]是可列集．}证明显然Po[a,b]是可列集．x(tC[a,b]，由Weierstrass多项式逼近定理知，x(t可表示成一致收敛的多项式的极限，即0，存在(实系数多项式p(t，使得d(x,pmax|x(tp(t|atb2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式p0(tP0[a,b]，使得d(p,p0max|p(tp0(t|atb2因此，d(x,p0d(x,pd(p,p0，即p0(tO(x,，在C[a,b]中任意点x(t的任意邻域必有Po[a,b]中的点，按照定义知Po[a,b]在C[a,b]中稠密．□例1.3.3p次幂可积函数空间Lp[a,b]是可分的．证明由于Po[a,b]在C[a,b]中稠密，又知C[a,b]在Lp[a,b]中稠密，便可知可数集Po[a,b]在Lp[a,b]中稠密．□例1.3.4p次幂可和的数列空间lp是可分的．证明取Eo{(r1,r2,,rn,0,,0,|riQ,nN}，显然Eo等价于下面证Eo在lp中稠密．x(x1,x2,,xn,lp，有|xi|p，因此0，NN，当nN时，i1n1Qn，可知Eo可数，

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