1.3 度量空间的可分性与完备性

在实数空间中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间的可分性．同时，实数空间还具有完备性，即中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间．

1.3.1 度量空间的可分性

定义1.3.1 设是度量空间，，如果中任意点的任何邻域内都含有的点，则称在中稠密．若，通常称是的稠密子集．

注1：在中稠密并不意味着有．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数．

定理1.3.1 设是度量空间，下列命题等价：

(1) 在中稠密；

(2) ，，使得；

(3) （其中，为的闭包，为的导集(聚点集)）；

(4) 任取，有．即由以中每一点为中心为半径的开球组成的集合覆盖．

证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得．

定理1.3.2 稠密集的传递性 设是度量空间，，若在中稠密，在中稠密，则在中稠密．

证明 由定理1.1知，，而是包含的最小闭集，所以，于是有，即在中稠密．□

注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．}

(1)多项式函数集在连续函数空间中稠密．

参考其它资料可知：

(2)连续函数空间在有界可测函数集中稠密．

(3)有界可测函数集在次幂可积函数空间中稠密()．

利用稠密集的传递性定理1.3.2可得：

(4)连续函数空间在次幂可积函数空间中稠密()．

因此有．

定义1.3.2 设是度量空间，，如果存在点列，且在中稠密，则称是可分点集(或称可析点集)．当本身是可分点集时，称是可分的度量空间．

注3：是可分的度量空间是指在中存在一个稠密的可列子集．

例1.3.1 欧氏空间是可分的．{坐标为有理数的点组成的子集构成的一个可列稠密子集．}

证明 设为中的有理数点集，显然是可数集，下证在中稠密．

对于中任意一点，寻找中的点列，其中，使得．由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数()，存在有理数列.于是得到中的点列，其中

，

现证．，由知，，当时，有

，

取，当时，对于，都有，因此

即，从而知在中稠密．□

例1.3.2 连续函数空间是可分的．{具有有理系数的多项式的全体在中稠密，而是可列集．}

证明 显然是可列集．，由Weierstrass多项式逼近定理知，可表示成一致收敛的多项式的极限，即，存在(实系数)多项式，使得

另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在有理数多项式，使得

因此，，即，在中任意点的任意邻域内必有中的点，按照定义知在中稠密．□

例1.3.3 次幂可积函数空间是可分的．

证明 由于在中稠密，又知在中稠密，便可知可数集在中稠密．□

例1.3.4 次幂可和的数列空间是可分的．

证明 取，显然等价于，可知可数，下面证在中稠密．

，有，因此，，当时，

又因在中稠密，对每个()，存在，使得

，

于是得

令，则

因此在中稠密．□

例1.3.5 设，则离散度量空间是不可分的．

证明 假设是可分的，则必有可列子集在中稠密．又知不是可列集，所以存在，．取，则有

即中不含中的点，与在中稠密相矛盾．□

思考题: 离散度量空间可分的充要条件为是可列集．

注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以2取整，顺序排列，例如

(0.625)10=(0.101)2 0.6252=1.25取1；0.252=0.50取0；0.52=1.00取1．

二进制小数可转化为十进制小数，小数点后第一位为1则加上0.5(即1/2)，第二位为1则加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推．即，例如

(0.101)2=．

因此与子集对等，由不可数知不可列．

例1.3.6 有界数列空间是不可分的．

，对于，，距离定义为．

证明 考虑中的子集，则当,时，有．因为中每一个实数可用二进制表示，所以与一一对应，故不可列．

假设可分，即存在一个可列稠密子集，以中每一点为心，以为半径作开球，所有这样的开球覆盖，也覆盖．因可列，而不可列，则必有某开球内含有的不同的点，设与是这样的点，此开球中心为，于是

矛盾，因此不可分．□

1.3.2 度量空间的完备性

实数空间中任何基本列(Cauchy列)必收敛．即基本列和收敛列在中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间．

定义1.3.3 基本列

设是度量空间中的一个点列，若对任意，存在，当时，有则称是中的一个基本列(或Cauchy列）．

定理1.3.3 (基本列的性质) 设是度量空间，则

(1) 如果点列收敛，则是基本列；

(2) 如果点列是基本列，则有界；

(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点．

证明 (1) 设，，且．则，，当时，，从而，时，

．

即得是基本列．

(2) 设为一基本列，则对，存在，当时，有，记，那么对任意的，均有

，

即有界．

(3) 设为一基本列，且是的收敛子列，于是，，当时，；，当时，．取，则当，时，，从而有

，

故．□

注4：上述定理1.3.3表明收敛列一定是基本列(Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗？

例1.3.7 设，，定义，那么度量空间的点列是的基本列，却不是的收敛列．

证明 对于任意的，存在，使得，那么对于及，其中，有

，

即得是基本列．显然，故不是的收敛列．

或者利用是上的基本列，可知，，当时有 ．于是可知也是上的基本列．□

如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间．

定义1.3.4 完备性

如果度量空间中的任何基本列都在中收敛，则称是完备的度量空间．

例1.3.8 维欧氏空间是完备的度量空间．

证明 由中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及的完备性易得．□

例1.3.9 连续函数空间是完备的度量空间．

(距离的定义：)

证明 设是中的基本列，即任给,存在，当时，即

故对所有的,，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数，使在上一致收敛于，即,且.因此完备．□

例1.3.10 设，，定义，那么不是完备的度量空间．(注意到例1.3.9结论完备)

证明 设

的图形如图1.3.1所示．显然，．因为是下面右图中的三角形面积，所以，，当时，有

，

图1.3.1 图像及有关积分示意图

于是是的基本列．下面证在中不收敛．若存在，使得

．

由于，显然上式右边的三个积分均非负，因此时，每个积分均趋于零．推得

可见不连续，故在中不收敛，即在距离下不完备．□

表1.3.1 常用空间的可分性与完备性

由于有理数系数的多项式函数集是可列的，以及在、、以及中稠密，可知闭区间上多项式函数集、连续函数集、有界可测函数集、次幂可积函数集均是可分的．前面的例子说明维欧氏空间以及次幂可和的数列空间也是可分空间，而有界数列空间和不可数集对应的离散度量空间是不可分的．

从上面的例子及证明可知，维欧氏空间是完备的度量空间，但是按照欧氏距离却不是完备的；连续函数空间是完备的度量空间，但是在积分定义的距离下，却不完备．由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的．我们还可以证明次幂可和的数列空间是完备的度量空间，次幂可积函数空间是完备的度量空间，有界数列空间的完备性．通常所涉及到的空间可分性与完备性如表1.3.3所示．

在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理．

定理1.3.4 (闭球套定理)设是完备的度量空间，是一套闭球：

．

如果球的半径，那么存在唯一的点．

证明 (1)球心组成的点列为的基本列．当时，有()，可得

． (2.4)

,取，当时，使得，于是当时，有

，

所以为的基本列．

(2)的存在性．由于是完备的度量空间，所以存在点，使得．令(2.4)式中的，可得

即知，，因此．

(3) 的唯一性．设还存在，满足，那么对于任意的，有，从而，于是．□

注4：完备度量空间的另一种刻画：

设是一度量空间，那么是完备的当且仅当对于中的任何一套闭球：，其中，当半径，必存在唯一的点．

大家知道，可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用．对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用．那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的结论给出了肯定的回答．

定义1.3.5 等距映射

设，是度量空间，如果存在一一映射，使得，有，则称是到上的等距映射，与是等距空间(或等距同构空间)．

注5：从距离的角度看两个等距的度量空间，至多是两个空间里的属性不同，是同一空间的两个不同模型．另外度量空间中的元素没有运算，与相关的数学命题，通过等距映射，使之在中同样成立．因此把等距同构的和可不加区别而看成同一空间．

定义1.3.6 完备化空间

设是一度量空间，是一完备的度量空间，如果中含有与等距同构且在中稠密的子集，则称是的一个完备化空间．

图1.3.2 度量空间的完备化示意图

定理1.3.5 (完备化空间的存在与唯一性)

对于每一个度量空间，必存在一个完备化的度量空间，并且在等距同构意义下是唯一确定的．

例1.3.11 设，定义距离，试证不是完备的空间．

证明 取点列，其中，注意，显然不存在一点，使得

．

所以点列在中没有极限．由于，即，，当时，有，，于是

因此点列是基本列，却不是收敛列．□

度量空间的可分性与完备性