2015年安徽中考数学试题及答案（解析版）

发布时间：2018-04-24 11:07:26

2015年安徽省中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．

1．（4分）（2015•安徽）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）

　

A．

﹣4

B．

2

C．

﹣1

D．

3

2．（4分）（2015•安徽）计算×的结果是（　　）

　

A．

B．

4

C．

D．

2

　

3．（4分）（2015•安徽）移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（　　）

　

A．

1.62×104

B．

1.62×106

C．

1.62×108

D．

0.162×109

　

4．（4分）（2015•安徽）下列几何体中，俯视图是矩形的是（　　）

A. B. C. D.

　

5．（4分）（2015•安徽）与1+最接近的整数是（　　）

　

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

　

6．（4分）（2015•安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

　

A．

1.4（1+x）=4.5

B．

1.4（1+2x）=4.5

　

C．

1.4（1+x）2=4.5

D．

1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5

　

7．（4分）（2015•安徽）某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：

成绩（分）

35

39

42

44

45

48

50

人数（人）

2

5

6

6

8

7

6

根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（　　）

　

A．

该班一共有40名同学

　

B．

该班学生这次考试成绩的众数是45分

　

C．

该班学生这次考试成绩的中位数是45分

　

D．

该班学生这次考试成绩的平均数是45分

8．（4分）（2015•安徽）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（　　）

A.∠ADE=20° B.∠ADE=30° C.∠ADE=∠ADC D.∠ADE=∠ADC

9.（4分）（2015•安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

　

A．

2

B．

3

C．

5

D．

6

10．（4分）（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）

　

A．

B．

C．

D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）（2015•安徽）﹣64的立方根是　　　　　　．

12．（5分）（2015•安徽）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是　　　　　　．

13．（5分）（2015•安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是　　　　　　．

　

14．（5分）（2015•安徽）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：

①若c≠0，则+=1；

②若a=3，则b+c=9；

③若a=b=c，则abc=0；

④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．

其中正确的是　　　　　　（把所有正确结论的序号都选上）．

　

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）（2015•安徽）先化简，再求值：（+）•，其中a=﹣

16．（8分）（2015•安徽）解不等式：＞1﹣．

　

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）（2015•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）．

（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；

（2）将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2=C2B2．

18．（8分）（2015•安徽）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．

　

　

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）（2015•安徽）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．

（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；

（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．

　

20．（10分）（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

六、（本题满分12分）

21．（12分）（2015•安徽）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．

（1）求k1、k2、b的值；

（2）求△AOB的面积；

（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．

七、（本题满分12分）

22．（12分）（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

八、（本题满分14分）

23．（14分）（2015•安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．

（1）求证：AD=BC；

（2）求证：△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．

2015年安徽省中考数学试卷

参考答案与试题解析

　

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．

1．（4分）（2015•安徽）在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（　　）

　

A．

﹣4

B．

2

C．

﹣1

D．

3

考点：

有理数大小比较．菁优网版权所有

分析：

根据有理数大小比较的法则直接求得结果，再判定正确选项．

解答：

解：∵正数和0大于负数，

∴排除2和3．

∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣4|=4，

∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，

∴﹣4＜﹣2＜﹣1．

故选：A．

点评：

考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．

　

2．（4分）（2015•安徽）计算×的结果是（　　）

　

A．

B．

4

C．

D．

2

考点：

二次根式的乘除法．菁优网版权所有

分析：

直接利用二次根式的乘法运算法则求出即可．

解答：

解：×==4．

故选：B．

点评：

此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．

3．（4分）（2015•安徽）移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3月，全国4G用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为（　　）

　

A．

1.62×104

B．

1.62×106

C．

1.62×108

D．

0.162×109

考点：

科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：

解：将1.62亿用科学记数法表示为1.62×108．

故选C．

点评：

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（4分）（2015•安徽）下列几何体中，俯视图是矩形的是（　　）

　

A．

B．

C．

D．

D

考点：

简单几何体的三视图．菁优网版权所有

分析：

根据简单和几何体的三视图判断方法，判断圆柱、圆锥、三棱柱、球的俯视图，即可解答．

解答：

解：A、俯视图为圆，故错误；

B、俯视图为矩形，正确；

C、俯视图为三角形，故错误；

D、俯视图为圆，故错误；

故选：B．

点评：

本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．

5．（4分）（2015•安徽）与1+最接近的整数是（　　）

　

A．

4

B．

3

C．

2

D．

1

考点：

估算无理数的大小．菁优网版权所有

分析：

由于4＜5＜9，由此根据算术平方根的概念可以找到5接近的两个完全平方数，再估算与1+最接近的整数即可求解．

解答：

解：∵4＜5＜9，

∴2＜＜3．

又5和4比较接近，

∴最接近的整数是2，

∴与1+最接近的整数是3，

故选：B．

点评：

此题主要考查了无理数的估算能力，估算无理数的时候，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

6．（4分）（2015•安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）

　

A．

1.4（1+x）=4.5

B．

1.4（1+2x）=4.5

　

C

1.4（1+x）2=4.5

D．

1.4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5

考点：

由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有

专题：

增长率问题．

分析：

根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量×（1+增长率）2=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．

解答：

解：设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得：

1.4（1+x）2=4.5，

故选：C．

点评：

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

7．（4分）（2015•安徽）某校九年级（1）班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表：

成绩（分）

35

39

42

44

45

48

50

人数（人）

2

5

6

6

8

7

6

根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（　　）

　

A．

该班一共有40名同学

　

B．

该班学生这次考试成绩的众数是45分

　

C．

该班学生这次考试成绩的中位数是45分

　

D．

该班学生这次考试成绩的平均数是45分

考点：

众数；统计表；加权平均数；中位数．菁优网版权所有

分析：

结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解．

解答：

解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40，

得45分的人数最多，众数为45，

第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=45，

平均数为：=44.425．

故错误的为D．

故选D．

点评：

本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键．

8．（4分）（2015•安徽）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（　　）

　

A．

∠ADE=20°

B．

∠ADE=30°

C．

∠ADE=∠ADC

D．

∠ADE=∠ADC

考点：

多边形内角与外角；三角形内角和定理．菁优网版权所有

分析：

利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C，根据∠A=∠B=∠C，得到∠ADE=∠EDC，因为∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，所以∠ADC=∠ADC，即可解答．

解答：

解：如图，

在△AED中，∠AED=60°，

∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE，

在四边形DEBC中，∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°，

∴∠B=∠C=（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2=120°﹣∠EDC，

∵∠A=∠B=∠C，

∴120°﹣∠ADE=120°﹣∠EDC，

∴∠ADE=∠EDC，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，

∴∠ADE=∠ADC，

故选：D．

点评：

本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C．

　

9．（4分）（2015•安徽）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

　

A．

2

B．

3

C．

5

D．

6

考点：

菱形的性质；矩形的性质．菁优网版权所有

分析：

连接EF交AC于O，由四边形EGFH是菱形，得到EF⊥AC，OE=OF，由于四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠D=90°，AB∥CD，通过△CFO≌△AOE，得到AO=CO，求出AO=AC=2，根据△AOE∽△ABC，即可得到结果．

解答：

解；连接EF交AC于O，

∵四边形EGFH是菱形，

∴EF⊥AC，OE=OF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，

∴∠ACD=∠CAB，

在△CFO与△AOE中，，

∴△CFO≌△AOE，

∴AO=CO，

∵AC==4，

∴AO=AC=2，

∵∠CAB=∠CAB，∠AOE=∠B=90°，

∴△AOE∽△ABC，

∴，

∴，

∴AE=5．

故选C．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练运用定理是解题的关键．

　

10．（4分）（2015•安徽）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）

　

A．

B．

C．

D．

考点：

二次函数的图象；正比例函数的图象．菁优网版权所有

分析：

由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．

解答：

解：∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，

∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，

∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，

∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，

∴x1+x2=﹣＞0，

∴﹣＞0，

∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，

∵a＞0，开口向上，

∴A符合条件，

故选A．

点评：

本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

　

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）（2015•安徽）﹣64的立方根是　﹣4　．

考点：

立方根．菁优网版权所有

分析：

根据立方根的定义求解即可．

解答：

解：∵（﹣4）3=﹣64，

∴﹣64的立方根是﹣4．

故选﹣4．

点评：

此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．

12．（5分）（2015•安徽）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是　20°　．

考点：

弧长的计算；圆周角定理．菁优网版权所有

分析：

连结OA、OB．先由的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB=40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB=∠AOB=20°．

解答：

解：连结OA、OB．设∠AOB=n°．

∵的长为2π，

∴=2π，

∴n=40，

∴∠AOB=40°，

∴∠ACB=∠AOB=20°．

故答案为20°．

点评：

本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），同时考查了圆周角定理．

13．（5分）（2015•安徽）按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜想x、y、z满足的关系式是　xy=z　．

考点：

规律型：数字的变化类．菁优网版权所有

分析：

首项判断出这列数中，2的指数各项依次为 1，2，3，5，8，13，…，从第三个数起，每个数都是前两数之和；然后根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，可得这列数中的连续三个数，满足xy=z，据此解答即可．

解答：

解：∵21×22=23，22×23=25，23×25=28，25×28=213，…，

∴x、y、z满足的关系式是：xy=z．

故答案为：xy=z．

点评：

此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了同底数幂的乘法法则，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出x、y、z的指数的特征．

14．（5分）（2015•安徽）已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：

①若c≠0，则+=1；

②若a=3，则b+c=9；

③若a=b=c，则abc=0；

④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．

其中正确的是　①③④　（把所有正确结论的序号都选上）．

考点：

分式的混合运算；解一元一次方程．菁优网版权所有

分析：

按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．

解答：

解：①∵a+b=ab≠0，∴+=1，此选项正确；

②∵a=3，则3+b=3b，b=，c=，∴b+c=+=6，此选项错误；

③∵a=b=c，则2a=a2=a，∴a=0，abc=0，此选项正确；

④∵a、b、c中只有两个数相等，不妨a=b，则2a=a2，a=0，或a=2，a=0不合题意，a=2，则b=2，c=4，∴a+b+c=8，此选项正确．

其中正确的是①③④．

故答案为：①③④．

点评：

此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．

　

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）（2015•安徽）先化简，再求值：（+）•，其中a=﹣．

考点：

分式的化简求值．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

原式括号中第二项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

解答：

解：原式=（﹣）•=•=，当a=﹣时，原式=﹣1．

点评：

此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

　

16．（8分）（2015•安徽）解不等式：＞1﹣．

考点：

解一元一次不等式．菁优网版权所有

分析：

先去分母，然后移项并合并同类项，最后系数化为1即可求出不等式的解集．

解答：

解：去分母，得2x＞6﹣x+3，

移项，得2x+x＞6+3，

合并，得3x＞9，

系数化为1，得x＞3．

点评：

本题考查了一元一次不等式的解法，解答本题的关键是熟练掌握解不等式的方法步骤，此题比较简单．

　

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）（2015•安徽）如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）．

（1）请画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；

（2）将线段AC向左平移3个单位，再向下平移5个单位，画出平移得到的线段A2C2，并以它为一边作一个格点△A2B2C2，使A2B2=C2B2．

考点：

作图-轴对称变换；作图-平移变换．菁优网版权所有

分析：

（1）利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用平移的性质得出平移后对应点位置进而得出答案．

解答：

解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

点评：

此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，根据图形的性质得出对应点位置是解题关键．

　

18．（8分）（2015•安徽）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．

考点：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有

分析：

首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．

解答：

解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，

根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．

∵AB⊥AC，CD⊥AC，

∴四边形ABEC为矩形．

∴CE=AB=12m．

在Rt△CBE中，cot∠CBE=，

∴BE=CE•cot30°=12×=12．

在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，

得DE=BE=12．

∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.4．

答：楼房CD的高度约为32.4m．

点评：

考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．

　

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）（2015•安徽）A、B、C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B、C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人．

（1）求两次传球后，球恰在B手中的概率；

（2）求三次传球后，球恰在A手中的概率．

考点：

列表法与树状图法．菁优网版权所有

分析：

（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次传球后，球恰在B手中的情况，再利用概率公式即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与三次传球后，球恰在A手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答：

解：（1）画树状图得：

∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种情况，

∴两次传球后，球恰在B手中的概率为：；

（2）画树状图得：

∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种情况，

∴三次传球后，球恰在A手中的概率为：=．

点评：

此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

　

20．（10分）（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；

（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．

考点：

圆周角定理；勾股定理；解直角三角形．菁优网版权所有

专题：

计算题．

分析：

（1）连结OQ，如图1，由PQ∥AB，OP⊥PQ得到OP⊥AB，在Rt△OBP中，利用正切定义可计算出OP=3tan30°=，然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=；

（2）连结OQ，如图2，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得到PQ=，则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到OP⊥BC，则OP=OB=，所以PQ长的最大值=．

解答：

解：（1）连结OQ，如图1，

∵PQ∥AB，OP⊥PQ，

∴OP⊥AB，

在Rt△OBP中，∵tan∠B=，

∴OP=3tan30°=，

在Rt△OPQ中，∵OP=，OQ=3，

∴PQ==；

（2）连结OQ，如图2，

在Rt△OPQ中，PQ==，

当OP的长最小时，PQ的长最大，

此时OP⊥BC，则OP=OB=，

∴PQ长的最大值为=．

点评：

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了勾股定理和解直角三角形．

　

六、（本题满分12分）

21．（12分）（2015•安徽）如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．

（1）求k1、k2、b的值；

（2）求△AOB的面积；

（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有

分析：

（1）先把A点坐标代入y=可求得k1=8，则可得到反比例函数解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；

（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=9；

（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．

解答：

解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），

∴k1=8，B（﹣4，﹣2），

解，解得；

（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），

∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；

（3）∵比例函数y=的图象位于一、三象限，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵x1＜x2，y1＜y2，

∴M，N在不同的象限，

∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限．

点评：

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．

　

七、（本题满分12分）

22．（12分）（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

考点：

二次函数的应用．菁优网版权所有

专题：

应用题．

分析：

（1）根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE=2BE，设BE=a，则有AE=2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；

（2）利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

解答：

解：（1）∵三块矩形区域的面积相等，

∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，

∴AE=2BE，

设BE=a，则AE=2a，

∴8a+2x=80，

∴a=﹣x+10，2a=﹣x+20，

∴y=（﹣x+20）x+（﹣x+10）x=﹣x2+30x，

∵a=﹣x+10＞0，

∴x＜40，

则y=﹣x2+30x（0＜x＜40）；

（2）∵y=﹣x2+30x=﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为﹣＜0，

∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米．

点评：

此题考查了二次函数的应用，以及列代数式，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．

　

八、（本题满分14分）

23．（14分）（2015•安徽）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD=∠BGC．

（1）求证：AD=BC；

（2）求证：△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．

考点：

相似形综合题．菁优网版权所有

分析：

（1）由线段垂直平分线的性质得出GA=GB，GD=GC，由SAS证明△AGD≌△BGC，得出对应边相等即可；

（2）先证出∠AGB=∠DGC，由，证出△AGB∽△DGC，得出比例式，再证出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；

（3）延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGE=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值．

解答：

（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，

∴GA=GB，

同理：GD=GC，

在△AGD和△BGC中，

，

∴△AGD≌△BGC（SAS），

∴AD=BC；

（2）证明：∵∠AGD=∠BGC，

∴∠AGB=∠DGC，

在△AGB和△DGC中，，

∴△AGB∽△DGC，

∴，

又∵∠AGE=∠DGF，

∴∠AGD=∠EGF，

∴△AGD∽△EGF；

（3）解：延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，如图所示：

则AH⊥BH，

∵△AGD≌△BGC，

∴∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB，

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE=∠AGB=45°，

∴，

又∵△AGD∽△EGF，

∴==．

点评：

本题是相似形综合题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要通过作辅助线综合运用（1）（2）的结论和三角函数才能得出结果．

　

2015年安徽中考数学试题及答案（解析版）

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