错位相减法求和专题训练

1．已知数列满足，且.

(1)求 的通项公式；

(2)设，求数列的前项和；

(3)设，证明：

2．设正项数列的前项和为，且满足， ， .

(1)求数列的通项公式；

(2)若正项等比数列满足，且，数列的前项和为.

①求；

②若对任意， ，均有恒成立，求实数的取值范围.

3．已知，设是单调递减的等比数列的前项和， 且成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，求证：对于任意正整数， .

4．递增的等比数列的前项和为，且， .

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为，求成立的正整数的最小值.

5．已知数列及，且, .

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）求证: .

6．已知数列是以2为首项的等差数列，且成等比数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；

（Ⅱ）若，求数列的前项之和.

7．在数列中， ，前项和满足.

（1）求证：当时，数列为等比数列，并求通项公式；

（2）令，求数列的前项和为.

8．已知等差数列的前n项和，且，数列满足 ．

（1）求数列， 的通项公式；

（2）记为数列的前n项和， ，试问是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

9．已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和．

10．已知单调递增的等比数列满足： ，

（1）求数列的通项公式；

（2）若，数列的前项和为 , 成立的正整数的最小值.

参考答案

1．解析：（1）当为奇数时， ，此时数列成等差数列．

当当为偶数时， ，此时数列 成等比数列

（2）

(3)

为奇

为偶

2．解析：(1) ， ，∴，

∴ 且各项为正，∴

又，所以，再由得，所以

∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴

(2) ∴，

①，②

∴ ，

恒成立

∴ ，即恒成立.

设，

当时， ； 时，

∴，∴.

点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键.

3．解：（1）设数列的公比，由，

得，

即，∴． 是单调递减数列，∴， ∴

（2）由（1）知，

所以，①

，②

②-①得： ，

，

由，得，

故

又，因此对于任意正整数，

点睛：本题主要考查了数列的综合应用和不等式关系证明问题，其中解答涉及到等比数列的基本量的运算，数列的乘公比错位相减法求和，以及放缩法证明不等式，突出考查了方程思想和错位相减法求和及放缩法的应用，试题综合性强，属于难题.

4．解析：（1）设等比数列的公比为

由已知， .则，则

两式相除得，

∵数列为递增数列，∴，则，所以.

（2），

设，①

，②

①②得：

，

，

， 即，

，∴正整数的最小值是.

点睛：本题主要考查了等比数列的求和公式及通项公式的应用，错位相减求和方法的应用，及指数不等式的求解．

5．解析：（1）由已知，所以.

，所以.

，所以.

（2）令，则，①

，②

两式相减，得

，

所以,即，

又也满足上式，

所以数列的通项公式为.

（3），

所以，③

，④

①-②得

，

所以. 又，∴，故.

又，

所以是递增数列，故.

所以.

【点睛】本题考查数列的前3项及通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

6．解析：(Ⅰ) 设数列的公差为，由条件可得，即，

解得或（舍去），

则数列的通项公式为，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

则，①

，②

将①-②得

，

则.

【易错点晴】本题主要考等差数列的通项公式、等比数列的求和公式、以及“错位相减法”求数列的和，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.

7．解析：（1）

当时， 得，

得

(2)当时， 当时，

当时，

当时，

令

经检验时， 也适合上式．

．

点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．

8．解析：（1）设等差数列的首项为，公差为，

则

由题意得，∴数列是等比数列，且首项和公比都是， .

（2）由（1）得， ，

两式相减得： ， ；

；

当时， ；当时， ；

∴存在最大值为.

点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．

9．解析：（1）当时， ；

当时， ， 也符合，

∴数列的通项公式为.

（2），

∴

点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n项和问题，属于中档题.解决数列的通项公式问题时，一般要紧扣等差等比的定义，利用方程思想求解，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，主要是对通项的变形转化处理即可.

10．解析：（1）设等比例列的首项为，公比为q

依题意，有，解之得或，

又数列单调递增，

（2）依题意，

①

②

由①—②得：

， ，即， 当时， ；当时， ， 使，成立的正整数的最小值为.

【 方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的的前 项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列， 是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.

高中数学数列 - 错位相减法求和专题训练含答案