2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级(上)期末数学试卷(含解析)

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2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级第一
学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（）A．12．若＝，则A．
B．的值为（）
B．
C．
D．
C．
D．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（）A．﹣2
B．1
C．2
D．0
4．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（）A．（1，2）
B．（2，1）
C．（1，﹣1）
D．（1，5）
5．下列计算正确的是（）A．

B．

C．

D．

6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则
的值为（）

A．B．C．D．
7．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）

A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．

8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③b2
﹣4ac＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小．（）

A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④
二、填空题（共6小题）.9．计算：
＝．
10．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是．
11．D两个端点之间的距离为10cm，如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，
，则容器的内径是．

12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，点B的坐标为（3，﹣2），则点B′的坐标是．

13．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，

若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为cm2．

14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是．

三.解答题（共10小题）.15．计算：
．
16．如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图象后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．

17．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC∥AD，对角线AC⊥CD．（1）求证：△CBA∽△ACD．
（2）若AB＝2，CD＝3，求△ABC与△DCA的面积比．


19．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；CE，（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、使△BCE是△ABC面积的．（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．

20．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
≈1.4）

21．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中

心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？

22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】
（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为．（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO＝2AE，EF∥AB∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为的周长为．
，则菱形ABCD

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点

P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；
（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；
（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；
（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．

24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．点P是抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥y轴，交直线AB于点Q，连接BP，设点P的横坐标为m，△PQB的边PQ与PQ边上的高之差为d．（1）求此抛物线解析式．
（2）求点Q的横坐标（用含m的代数式表示）；（3）∠BQP为锐角．①求d关于m的函数关系式；
②当△AOB的顶点到PQ的最短距离等于d时，直接写出m的值．




参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是（）A．1
B．
C．
D．
解：∵一枚硬币只有正反两面，
∴随机掷一枚硬币，落地后其反面朝上的概率是．故选：B．2．若＝，则的值为（）
A．
B．
C．
D．
解：∵＝，∴＝，∴
＝1+＝1+＝．
故选：A．
3．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根是1，则a的值为（）A．﹣2
B．1
C．2
D．0
解：把x＝1代入一元二次方程x2﹣3x+a＝0得1﹣3+a＝0，所以a＝2．故选：C．
4．将抛物线y＝（x﹣1）2+2向下平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是（A．（1，2）
B．（2，1）
C．（1，﹣1）
D．（1，5）解：抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），∵向下平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）．故选：C．
5．下列计算正确的是（）
）

A．
解：A、原式＝B、原式＝C、原式＝D、
与
B．＝
C．D．
，所以A选项错误；
＝7，所以B选项错误；
＝
＝9，所以C选项正确；
不能合并，所以D选项错误．
故选：C．
6．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，若DE＝3，DF＝8，则
的值为（）

A．
解：∵l1∥l2∥l3，∴
，
B．C．D．
∵DE＝3，DF＝8，∴即
，＝，
故选：B．
7．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（）（用含α的代数式表示）

A．2sinαB．2tanαC．2cosαD．
解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，

∴tanα＝，
∴BC＝AC•tanα＝2tanα，故选：B．
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②b＜0；③b2
﹣4ac＞0；④当x＞0时，y随x的增大而减小．（）

A．②③④B．①②④C．①②③D．①③④
解：①∵由二次函数的图象可知：抛物线的开口向上，∴a＞0；
又∵二次函数的图象与y轴的交点在负半轴，∴c＜0；
∴ac＜0，即①正确；②由图象知，对称轴x＝﹣
＝1，则b＝﹣2a＜0．故②正确；
③由图象知，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知当x＞1时，y随x的增大而增大；故④错误．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：C．

二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算：解：
＝
＝11．
＝11．

故答案为：11．
10．一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值是13．解：∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，∴△＝b2﹣4ac＝1+12＝13．
所以一元二次方程x2﹣x﹣3＝0根的判别式的值为13．故答案为：13．
11．D两个端点之间的距离为10cm，如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，
，则容器的内径是15cm．

解：连接AD、BC，∵
，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，∴
，
∵A，D两个端点之间的距离为10cm，∴BC＝15cm，故答案为：15cm．

12．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，

且相似比为3：2，点B的坐标为（3，﹣2），则点B′的坐标是（﹣2，）．

【分析】利用以原点为位似中心的位似图形上对应点的坐标变换规律，把B点的横纵坐标都乘以﹣得到点B′的坐标．
解：∵△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3：2，而点B的坐标为（3，﹣2），
∴点B′的横坐标为3×（﹣），纵坐标为﹣2×（﹣），即B′点的坐标为（﹣2，）．故答案为（﹣2，）．
13．如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为▱DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S▱DEFG的面积为12cm2．

【分析】直接利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定与性质得出平行四边形DGFE的高，进而得出答案．解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴BC＝∵
＝10（cm），＝BC•AM，

∴AM＝，即AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，∴DE∥BC．
又∵点D是边AB的中点，∴DE＝BC＝5cm．∴DE＝FG＝5cm，∴△ADE∽△ABC，∴
＝
＝，
∴AN＝MN＝2.4cm，
∴▱DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．故答案是：12．

14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的负半轴上，抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0）的顶点为E，且经过点A、B，若△ABE为等腰直角三角形，则a的值是
．

【分析】根据题意和二次函数的性质，可以得到抛物线的对称轴，从而可以得到AB的长，然后即可得到点A的坐标，再根据△ABE为等腰直角三角形，即可得到点E到AB的距离，从而可以得到点E的坐标，然后根据点A在抛物线上，即可求得a的值．解：∵抛物线y＝a（x+3）2+c（a＞0），∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴AB＝2×|﹣3|＝6，∴点A的坐标为（0，﹣6），

∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝6，∴点E到AB的距离为3，∴点E的坐标为（﹣3，﹣9），∴抛物线为y＝a（x+3）2﹣9，∵点A（0，﹣6）在该抛物线上，∴﹣6＝a（0+3）2﹣9，解得a＝，故答案为：．
三.解答题（本大题10小题，共78分）15．计算：
．
【分析】首先计算开方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法、减法，求出算式的值是多少即可．解：＝2
×
﹣2
×


＝3﹣2＝1．
16．如图三张不透明的卡片，正面图案分别是我国著名的古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀从中随机抽出一张，记录图象后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张，请你用画树状图（或列表）的方法，求抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率．

【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果数，再根据概率公式计算可得．
解：把古代数学家祖冲之、杨辉和赵爽的头像分别记为A、B、C，画树状图如图：


共有9个等可能的结果，抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的结果有1个，∴抽出的两张卡片上的图案都是“祖冲之”的概率为．
17．某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2018年投资1000万元，2020年投资1690万元，求这两年投资的年平均增长率．
【分析】设这两年投资的年平均增长率是x．根据2018年投资1000万元，得出2019年投资1000（1+x）万元，2020年投资1000（1+x）2万元，2020年投资1690万元．据此列方程求解．
解：设平均每年投资增长的百分率是x．由题意得1000（1+x）2＝1690，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意舍去）．答：这两年投资的年平均增长率为30%．
18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，BC∥AD，对角线AC⊥CD．（1）求证：△CBA∽△ACD．
（2）若AB＝2，CD＝3，求△ABC与△DCA的面积比．

【分析】（1）利用平行线的性质得∠ACB＝∠CAD，加上∠B＝∠ACD，则可判断△CBA∽△ACD；
（2）根据相似三角形的性质求解．【解答】（1）证明：∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∵BC∥AD，∴∠ACB＝∠CAD，∵∠B＝∠ACD，∴△CBA∽△ACD；

（2）解：∵△CBA∽△ACD，∴
＝（
）2＝（）2＝．
19．图①、图②、图③都是5×5的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．
（1）在图①中边AB上找到格点D，并连接CD，使CD将△ABC面积两等分；CE，（2）在图②中△ABC的内部找到格点E，并连接BE、使△BCE是△ABC面积的．（3）在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．

【分析】（1）根据网格即可在图①中边AB上找到格点D，使CD将△ABC面积两等分；（2）根据三角形的面积和网格即可在图②中△ABC的内部找到格点E，使△BCE是△ABC面积的；
（3）根据网格和三角形的面积即可在图③中△外部画一条直线l，使直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．解：（1）如图①，点D即为所求；

（2）如图②，点E即为所求；


∵△ABC面积为5×4＝10，
△BCE的面积为×5×1＝，∴△BCE是△ABC面积的；（3）如图③，直线l即为所求．

∵直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积为而10×＝．
5×＝，
∴直线l上任意一点与B、C构成的三角形的面积是△ABC的．
20．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者，在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别为45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米，为救出点C处的求救者，云梯需要维续上升的高度BC约为多少米？《结果保留整数，参考数据：tan65°≈2.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，
≈1.4）


【分析】如图作AH⊥CN于H．想办法求出BH、CH即可解决问题；解：如图作AH⊥CN于H．

在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，BH＝10.5﹣2.5＝8（m），∴AH＝BH＝8（m），在Rt△AHC中，tan65°＝∴CH＝8×2.1≈17（m），∴BC＝CH﹣BH＝17﹣8＝9（m）．
21．某小区有一个半径为3m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；
（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为
，

2m处，通过计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？

【分析】（1）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；（2）求出x＝2时y的值，与1.8比较大小即可得出答案．解：（1）由题意知抛物线顶点坐标为（1，3），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+3，将点C（3，0）代入，得：4a+3＝0，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3；
（2）当x＝2时，y＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣×（2﹣1）2+3＝＞1.8，∴身高1.8m的王师傅不会被淋湿．
22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第79页的部分内容

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．【结论应用】
（1）在图①中，若AB＝2，∠AOD＝120°，则四边形EFGH的面积为
．
（2）如图②，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，O是其内部任意一点，连接O与菱形ABCD各顶点，四边形EFGH的顶点E、F、G、H分别在OA、OB、OC、OD上，EO＝2AE，EF∥AB∥GH，且EF＝GH，若△EFO与△GHO的面积和为的周长为24．
，则菱形ABCD


【分析】【教材呈现】由矩形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，再证出OE＝OF＝OG＝OH，即可得出结论．【结论应用】
（1）证明△OEF为等边三角形，得出∠EFO＝60°，可求出EF＝1，EH＝可求出；
（2）过点G作GN⊥EF于点N，由条件可知四边形EFGH为平行四边形，可得∠EFG＝60°，设EF＝x，则NG＝
x，由△EFO与△GHO的面积和列出方程求出x＝4，证
，则答案
明△OEF∽△OAB，可求出AB的长，即可解决问题．【解答】【教材呈现】
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AO，BO，CO，DO的中点E，F，G，H，∴OE＝OF＝OG＝OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，EG＝FH，∴四边形EFGH是矩形．【结论应用】解：（1）∵AB＝2，∴EF＝AB＝1，∵∠BAD＝90°，∴∠FEH＝90°，∵∠AOD＝120°，∴∠EOF＝60°，∴△OEF为等边三角形，

∴∠EFO＝60°，∴EH＝
，
＝
，
∴四边形EFGH的面积为1×故答案为：
．
（2）过点G作GN⊥EF于点N，

∵EF∥GH，且EF＝GH，∴四边形EFGH为平行四边形，∴FG∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝∠EFG＝60°，设EF＝x，则NG＝
，
，
∵△EFO与△GHO的面积和为4∴•x•
x＝4
，
解得：x＝4，∴EF＝4，∵EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴
＝
，
∵EO＝2AE，∵EO＝2AE，∴
＝，
∴AB＝6，
∴菱形ABCD的周长为24．故答案为：24．

23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，动点P从点A出发（动点P不与△ABC的顶点重合），沿折线AC﹣CB以每秒5个单位的速度向终点B运动，过点P作PD⊥AB于点D，以点P为直角顶点作Rt△PDE，使DE与点P所在的直角边平行，设点P的运动时间为t（秒）．（1）求AB的长；
（2）当点E落在△ABC的直角边上时，求t的值；
（3）当△PDE的两条直角边所在的直线截△ABC所得的三角形全等时，求△PDE与△ABC重叠部分图形的周长；
（4）设Q为边DE的中点，作射线CQ，当CQ将△PDE分成面积比为1：3两部分时，直接写出t的值．

【分析】（1）利用勾股定理计算AB的长即可；
（2）分两种情况：P在AC和BC上，根据三角函数定义和平行线分线段成比例列方程可得t的值；
（3）分两种情况：P在AC和BC上，当P在AC上时，证明四边形APED是平行四边形，得DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，根据△ADP≌△PCF，得PC＝AD＝4t，根据AC＝AP+CP列方程可得结论；P在BC上，同理得：四边形DEPB是平行四边形，证明△PDB∽△ACB，根据相似三角形周长的比等于相似比可得结论；
（4）分两种情况：P在AC和BC上，分别根据面积比可得EQ与CP的比，列方程可得结论．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝20，BC＝15，∴AB＝
＝
＝25；
（2）如图1，P在AC上时，点E在BC上，DE∥AC，


∵DE∥AC，∴∠CPE＝∠DEP，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝90°，由题意得：AP＝5t，sinA＝∴PD＝3t，
∴AD＝4t，BD＝25﹣4t，∵∠DPE＝90°，
∴∠APD+∠CPE＝90°＝∠APD+∠A，∴∠CPE＝∠A＝∠DEP，∴sin∠DEP＝∴DE＝5t，∵DE∥AC，∴解得：t＝
，即
；
，，，即
，
如图2，P在BC上时，点E在AC上，DE∥BC，


由题意得：CP＝5t﹣20，PB＝15﹣（5t﹣20）＝35﹣5t，∵∠EPD＝∠PDB＝90°，∴EP∥AB，∵DE∥BC，
∴四边形EPBD是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∵∠CEP＝∠A＝∠PDE，∴sin∠CEP＝sin∠PDE，∴∴EP＝
＝
，即，
，
∴＝，
解得：t＝；
或
；
综上，t的值是
（3）如图3，P在AC上，△PDE与△ABC重叠部分图形是△PDE，设直线PE与BC交于点F，


∵AP∥DE，AD∥PE，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∵△ADP≌△PCF，∴PC＝AD＝4t，
∵AC＝AP+CP，即20＝5t+4t，∴t＝
，
＝
，
∴△PDE的周长＝PD+PE+DE＝3t+4t+5t＝12t＝12×即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是
；
如图4，P在BC上，△PDE与△ABC重叠部分的图形是△PDE，设直线PE与AC交于点G，

同理得：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB，∵△GCP≌△PDB，

∴PC＝BD＝5t﹣20，Rt△PDB中，cosB＝∴
＝
，，
＝
，＝
，
解得：t＝
∴PB＝35﹣5×
∵∠C＝∠PDB＝90°，∠B＝∠B，∴△PDB∽△ACB，∴
＝
，
∴△PDB的周长＝×（15+20+25）＝，
∴△PDE的周长＝，
；
或
；
即△PDE与△ABC重叠部分图形的周长是
综上，△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为（4）分两种情况：
①如图5，P在AC上，设PE与CQ交于点O，连接PQ，

∵Q是DE的中点，∴DQ＝EQ＝t，∴S△PDQ＝S△PQE，
Rt△PDE中，PD＝3t，PE＝4t，DE＝5t，

∵＝＝，
∴＝，
∴∴
＝，＝1，
∵DE∥CP，∴
，即
＝1，
解得：t＝；
②如图6，P在BC上，＝，

同理得：＝1，
∵CP＝5t﹣20，PB＝35﹣5t，
由上题知：四边形DEPB是平行四边形，∴DE＝PB＝35﹣5t，∴EQ＝∵ED∥PC，∴
＝1，
，
∴EQ＝CP，

∴＝5t﹣20，
解得：t＝5；
综上，t的值是或5．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．点P是抛物线上任意一点，过点P作PQ⊥y轴，交直线AB于点Q，连接BP，设点P的横坐标为m，△PQB的边PQ与PQ边上的高之差为d．（1）求此抛物线解析式．
（2）求点Q的横坐标（用含m的代数式表示）；（3）∠BQP为锐角．①求d关于m的函数关系式；
②当△AOB的顶点到PQ的最短距离等于d时，直接写出m的值．

【分析】（1）求出A，B两点坐标，利用待定系数法求解即可．（2）根据P，Q两点的纵坐标相同，求解即可．（3）①分两种情形：m＜0或0＜m＜2，分别求解即可．
②分2种情形，m＜0时，也有两种情形，分别构建方程求解，0＜m＜2时，构建方程求解即可．
解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴交于A点，与y轴交于B点，∴A（3，0），B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得到，解得
，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．


（2）由题意P（m，﹣m2+2m+3），∵PQ⊥y轴，∴P，Q纵坐标相同，即﹣m2+2m+3＝﹣x+3，∴x＝m2﹣2m，
∴Q（m2﹣2m，﹣m2+2m+3）．
（3）①如图1中，设抛物线与x小的另一个交点为C（﹣1，0），顶点为D（1，4）．

当m＜0时，d＝（m2﹣2m﹣m）﹣[3﹣（﹣m2+2m+3）]＝﹣m．当0＜m＜2时，d＝[m﹣（m2﹣2m）]﹣[（﹣m2+2m+3）﹣3]＝m．
②当m＜0时，由题意，﹣m＝3﹣（﹣m2+2m+3）或﹣m＝﹣m2+2m+3，解得，m＝0（舍弃）或1（舍弃）或∴m＝
．
或
（舍弃），
当0＜m＜2时，由题意，m＝﹣m2+2m+3﹣3，解得m＝1或0（舍弃），∴m＝1，
综上所述，满足条件的m的值为1或
．

2020-2021学年吉林省长春市东北师大附中新城学校九年级(上)期末数学试卷(含解析)

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