2019年湖北省武汉市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．

1．（3分）（2019•武汉）在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是（　　）

　 A． ﹣3 B． 0 C． 5 D． 3

　考点： 实数大小比较．

分析： 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

解答： 解：根据实数比较大小的方法，可得

﹣3＜0＜3＜5，

所以在实数﹣3，0，5，3中，最小的实数是﹣3．

故选：A．

点评： 此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2．（3分）（2019•武汉）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

考点： 二次根式有意义的条件．

分析： 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．

解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0，

解得x≥2．

故选：C．

点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

3．（3分）（2019•武汉）把a2﹣2a分解因式，正确的是（　　）

考点： 因式分解-提公因式法．

专题： 计算题．

分析： 原式提取公因式得到结果，即可做出判断．

解答： 解：原式=a（a﹣2），

故选A．

点评： 此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．

4．（3分）（2019•武汉）一组数据3，8，12，17，40的中位数为（　　）

A． 3 B． 8 C． 12 D． 17

考　 点： 中位数．

分析： 首先把这组数据3，8，12，17，40从小到大排列，然后判断出中间的数是多少，即可判断出这组数据的中位数为多少．

解答： 解：把3，8，12，17，40从小到大排列，可得

3，8，12，17，40，

所以这组数据3，8，12，17，40的中位数为12．

故选：C．

点评： 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

5．（3分）（2019•武汉）下列计算正确的是（　　）

解：A、原式=﹣2a2，错误；

B、原式=4a，错误；

C、原式=3a2，正确；

D、原式=2a3，错误．

故选C．

6．（3分）（2019•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（　　）

解：由题意得，△ODC∽△OBA，相似比是，

∴=，又OB=6，AB=3，

∴OD=2，CD=1，

∴点C的坐标为：（2，1），

故选：A．

7．（3分）（2019•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（　　）

解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较宽的矩形．

故选：B．

8．（3分）（2019•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（　　）

解：A、由横坐标看出4：00气温最低是24℃，故A正确；

B、由纵坐标看出6：00气温为24℃，故B正确；

C、由横坐标看出14：00气温最高31℃；

D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12：00，16：00，故D错误；

故选：D．

9．（3分）（2019•武汉）在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），x1＜0＜x2，y1＜y2，则m的取值范围是（　　）

解：∵x1＜0＜x2时，y1＜y2，

∴反比例函数图象在第一，三象限，

∴1﹣3m＞0，

解得：m＜．

故选B．

10．（3分）（2019•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（　　）

解：连接AD、DG、BO、OM，如图．

∵△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，

∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF，

∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC，=，

∴△DAG∽△DCF，

∴∠DAG=∠DCF．

∴A、D、C、M四点共圆．

根据两点之间线段最短可得：BO≤BM+OM，即BM≥BO﹣OM，

当M在线段BO与该圆的交点处时，线段BM最小，

此时，BO===，OM=AC=1，

则BM=BO﹣OM=﹣1．

故选D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．

11．（3分）（2019•武汉）计算：﹣10+（+6）=　﹣4　．

考点： 有理数的加法．

专题： 计算题．

分析： 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．

解答： 解：原式=﹣（10﹣6）=﹣4．

故答案为：﹣4．

点评： 此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（3分）（2019•武汉）中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为　×105　．

解：370 000=×105，

故答案为：×105．

13．（3分）（2019•武汉）一组数据2，3，6，8，11的平均数是　6　．

解：（2+3+6+8+11）÷5

=30÷5

=6

所以一组数据2，3，6，8，11的平均数是6．

故答案为：6．

14．（3分）（2019•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省　2　元．

解：由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，

1千克苹果的价钱为：y=10，

设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），

把（2，20），（4，36）代入得：，

解得：，

∴y=8x+4，

当x=3时，y=8×3+4=28．

当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：10×3=30（元），

30﹣28=2（元）．

则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．

15．（3分）（2019•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=　10　．

解：根据题中的新定义化简已知等式得：，

解得：a=1，b=2，

则2*3=4a+3b=4+6=10，

故答案为：10．

16．（3分）（2019•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是　　．

解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，

连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．

根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，

∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，

∴∠N′OM′=90°，

∴在Rt△M′ON′中，

M′N′==．

故答案为．

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．

17．（8分）（2019•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．

解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4），

∴4=k+3，

∴k=1，

∴这个一次函数的解析式是：y=x+3．

（2）∵k=1，

∴x+3≤6，

∴x≤3，

即关于x的不等式kx+3≤6的解集是：x≤3．

18．（8分）（2019•武汉）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：

（1）△ABC≌△DEF；

（2）AB∥DE．

证明：（1）∵AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，

∴∠ACB=∠DFE=90°，

在△ABC和△DEF中，，

∴△ABC≌△DEF（SAS）；

（2）∵△ABC≌△DEF，

∴∠B=∠DEF，

∴AB∥DE．

19．（8分）（2019•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．

（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；

（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：

①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；

②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．

解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，

∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为：；

（2）画树状图得：

则共有16种等可能的结果；

①∵两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的有2种情况，

∴两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率为：=；

②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况，

∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为：．

20．（8分）（2019•武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．

（1）请直接写出点C、D的坐标；

（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；

（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD关于O中心对称，

∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），

∴C（4，﹣2），D（1，2）；

（2）线段AB到线段CD的变换过程是：线段AB向右平移5个单位得到线段CD；

（3）由（1）得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，

A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，

∴SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，

∴SABCD=5×4=20．

21．（8分）（2019•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．

（1）求证：AT是⊙O的切线；

（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．

解：（1）∵∠ABT=45°，AT=AB．

∴∠TAB=90°，

∴TA⊥AB，

∴AT是⊙O的切线；

（2）作CD⊥AT于D，

∵TA⊥AB，TA=AB=2OA，

设OA=x，则AT=2x，

∴OT=x，

∴TC=（﹣1）x，

∵CD⊥AT，TA⊥AB

∴CD∥AB，

∴==，即==，

∴CD=（1﹣）x，TD=2（1﹣）x，

∴AD=2x﹣2（1﹣）x=x，

∴tan∠TAC===﹣1．

22．（10分）（2019•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．

（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．

①求的值；

②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；

（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

解：（1）①∵EF∥BC，

∴，

∴=，

即的值是．

②∵EH=x，

∴KD=EH=x，AK=8﹣x，

∵=，

∴EF=，

∴S=EH•EF=x（8﹣x）=﹣+24，

∴当x=4时，S的最大值是24．

（2）设正方形的边长为a，

①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时，

，

解得a=．

②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD=12÷2=6，

∴AB=AC=，

∴AB或AC边上的高等于：

AD•BC÷AB

=8×12÷10

=

∴，

解得a=．

综上，可得

正方形PQMN的边长是或．

23．（10分）（2019•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．

（1）求证：EF+PQ=BC；

（2）若S1+S3=S2，求的值；

（3）若S3+S1=S2，直接写出的值．

（1）证明：∵EF∥BC，PQ∥BC，

∴，，

∵AE=BP，

∴AP=BE，

∴==1，

∴=1，

∴EF+PQ=BC；

（2）解：过点A作AH⊥BC于H，分别交PQ于M、N，如图所示：

设EF=a，PQ=b，AM=h，

则BC=a+b，

∵EF∥PQ，

∴△AEF∽△APQ，

∴=，

∴AN=，MN=（﹣1）h，

∴S1=ah，S2=（a+b）（﹣1）h，S3=（b+a+b）h，

∵S1+S3=S2，

∴ah+（a+b+b）h=（a+b）（﹣1）h，

解得：b=3a，

∴=3，

∴=2；

（3）解：∵S3﹣S1=S2，

∴（a+b+b）h﹣ah=（a+b）（﹣1）h，

解得：b=（1±）a（负值舍去），

∴b=（1+）a，

∴=1+，

∴=．

24．（12分）（2019•武汉）已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．

（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．

解：（1）把A（﹣1，0）代入

得c=﹣，

∴抛物线解析式为

（2）如图1，过点C作CH⊥EF于点H，

∵∠CEF=∠CFG，FG⊥y轴于点G

∴△EHC∽△FGC

∵E（m，n）

∴F（m，）

又∵C（0，）

∴EH=n+，CH=﹣m，FG=﹣m，CG=m2

又∵，

则

∴n+=2

∴n=（﹣2＜m＜0）

（3）由题意可知P（t，0），M（t，）

∵PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，

∴△OPM∽△QPB．

∴．

其中OP=t，PM=，PB=1﹣t，

∴PQ=．

BQ=

∴PQ+BQ+PB=．

∴△PBQ的周长为2．

2019年武汉市中考数学试卷及答案解析（Word版）