数学思维与数学思维能力的培养：

数学思维与数学思维能力的培养：

（一）数学思维概述

1、数学思维：指在数学活动中的思维，是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一定思维规律认识数学内容的内在理性活动。它既具有思维的一般性质，又有自己的特性。最主要的特性表现在其思维的材料和结果都是数学内容。

2、小学生数学思维发展的阶段：

（1）直观行动思维：这是以实际的操作行为依托的数学思维。

（2）具体形象思维：这是以事物的表象为依托的数学思维，它是一般形象思维的初级形态。

（3）抽象逻辑思维：这是脱离了直观形象依靠概念、判断和推理所进行的数学思维。

3、数学思维的特性：

（1）思维的概括性：是以客观事物为依据，在原有经验的基础上，舍弃了具体事物的非本质特征，提示数量关系和空间形式的本质特征及其规律，并把它推广到同类事物或现象之中。

数学概念的形成、数学公式、汉则的获得都需要通过抽象概括，因此，概括水平的高低是衡量数学思维能力强弱的重要标志之一。

（2）思维的问题性：主要表现为数学思维总是与数学的实际总是相联系，总是表现为不断提出问题、分析问题直到解决问题。

（3）思维的逻辑性：是数学思维的核心。

4、数学思维的结构：

（1）数学思维的材料和结果：指的是数学思维的内容。

（2）数学思维的基本方法：又称思维的操作手段

小学数学思维的基本方法有“观察、实验、比较、分类、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比、联想等。”

数学思维的基本形式：按思维活动的三种方式分类，主要指逻辑思维的基本形式------概念、判断和推理；形象思维的基本形式-----表象、直感和想像；直觉思维的基本形式----直觉和灵感。

数学思维品质主要有深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性等。

（二）数学思维的分类：

1、集中思维与发散思维：集中思维是朝着一个目标、遵循单一的模式，求出归一答案的思维，又称为求同思维；发散思维则表现在解决问题时，能根据已提供的条件，利用已有的知识经验，从多个方向、不同途径去探索思考，以寻求新的解决问题和途径和方法，发散思维又称为求异思维。

2、再造性思维与创造性思维：再造性思维是指原有的经验和已经掌握的解题方法、策略，在灯似的情境中直接解决问题的思维方式。创造性思维是指在强烈的创新意识的指导下，指导头脑中已有的信息重新加工，产生具有进步意义的新设想、新方法的思维。

（三）数学思维的一般方法：

1、观察与实验：

（1）观察：是受思维影响的，有目的、有计划地通过视觉器官去认识事物、状态及上线关系的一种主动活动。观察是思维的窗口。

（2）实验：是有目的、有控制地创设一些有利观察对象，并对其衽观察和研究的活动方式。

实验是有控制的观察，实验为观察创设对象；又通过观察获得实验的结果。

2、分析与综合：

（1）分析：是把思维对象的整体分解在各个部分、方面或要素，并对它们分别加以研究、考察的一种思维方法。

（2）综合：是把已有的关于研究对象的各个部分、方面或要素联合成整体，从而进行整体认识的思维方法。

综合是以分析为基础的综合，分析又是在综合指导下的分析。

3、比较与分类：

（1）比较：是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法。比较是对事物进行分类、抽象、概括的基础，分析与综合又是基础。

在教学中最好先比较相异点，然后比较相同点，而且先从相差悬殊的特点比起，再比较其细微的差别。

（2）分类：是以比较为基础，按照一定的标准，把相同性质的事物归为一类，不同性质的则归入不同类别的思维方法。

分类的基本原则：每一次分类必须按一个标准；分类必须不重不漏。

4、抽象与概括：

（1）抽象：在认识事物中，抽取其共同的、本质属性或特征，舍弃其非本质属性或特征的思维方法。

小学数学学习中的抽象是有不同层次的，一种是从具体事物、具体现象中的抽象，称为具体的抽象；另一种是在前者基础上的较高层次的抽象，称为原理性抽象。

（2）概括：在认识事物的过程中，将抽象出来的同类事物的共同属性连结起来，并把它推广到同一类事物上去的思维方法。

5、归纳与演绎：

（1）归纳：是从同类事物中的若干特殊事物所含有的同一性或相似性中，得出这类事物的一般属性的思维方法。归纳有不完全归完全归纳两种。

不完全归纳：是根据某类事物中的部分对象具有（或不具有）某种属性，推知该类事物的全部对象都具有（或不具有）这种属性的思维方法。不完全归纳法又称为简单枚举法。

完全归纳是依据同类事物的每个对象都具有（或不具有）某种属性而推出该类事物的全体具有（或不具有）这种属性的思维方法。

（2）演绎：是同类事物的一般属性推出其中个别对象属性的思维方法。基本方式是“三段论”。

6、类比和联想：

（1）类比：是根据两个对象之间存在着一些相同或相似的属性，推测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比带有或然性，其结论不一定可靠。

（2）联想：是由当前的某一事物想到与其关联的另一事物的思维方法。

（四）初步逻辑思维能力及其培养：

逻辑思维是数学思维的核心。逻辑思维是一种确定的、前后一贯的、有条有理的、有根有据的思维。

1、  概念明确：概念是反映客观事物本质属性的一种思维方式。

2、判断准确：判断是对某个事物的性质，现象作出肯定或否定的思维方式。数学判断是对数量关系和空间形式有所肯定或否定的一咱方式。表达数学判断的语句又称数学命题。判断是由主概念、谓概念和联系词三部分组成。

3、推理符合逻辑：推理是由一个或几个已知的判断推出一个新判断的形式。

推理分归纳推理、演绎推理和类比推理三种。

归纳推理（从特殊到一般）；演绎推理（从一般到特殊）；类比推理（从特殊到特殊）

4、培养初步逻辑思维能力的基本途径：

（1）要挖掘教材中的智力因素，把培养思维能力贯穿于教学的全过程。

（2）要给学生提供足够的材料。

（3）要顺着学生的思维，重视学习过程。

（4）要重视数学语言的表述。

5、初步形象思维能力及其培养

（1）形象思维：是依托对形象材料的意会，从而对事物作出有关理解的思维。

（2）形象思维的基本形式是表象、直感和想像。

①表象：是在感知基础上形成的感性认识的高级形式，它是人们过去感知的，但是现在并不直接感知到的那些保留有人脑中的事物的映象。表象有视觉表象、听觉表象、运动表象及其他表象。

数学表象可分为两种基本类型：图形表象和图式表象。图形表象是与外部几何图形形状一致的头脑中的示意图；图式表象是与外部数学式子的结构关系相一致的模式形象。

②直感：是运用表象对具体形象的直接判别与感知。它是在数学表象的基础上对有关数学形象的判别。

形象识别直感：它是数学表象这种整合的普通的特征来比较具体数学对象是否与之同质，这种思维形式主要表现在对图形、图式在变式情况下的再认，或者在复合形状下的分别辨认。

形象相似直感：当进行形象识别时，如果有头脑中找不到同质的已有表象，便往往寻找接近于目标形象的已有表象来进行形象识别，比较异同，利用共相似处进行适当加工，从而解决问题。

③想象：是在头脑中对已有表象经过结合与改造，产生新表象的思维过程。数学想像是数学表象与数学直感在人脑中有机联结与组合，从而产生新的表象。

按内容可分为图形想像与图式想像：按深度可分为再造性想像与创造性想像。

培养初步形思维能力的基本途径：积累表象；数形结合；重视想像。

7、初步直觉思维能力及其培养：

（1）直觉思维：是一种整体的、粗线条的、高度简约的、跳跃式的思维。它依托于对事物的直接认识，从整体上把握对象，经过一段充分的准备，一下子接触到问题的裨，找到答案。

钱学森语：直觉是一种人们没有意识到的信息加工活动，是在潜意识中酝酿问题，然后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案，而对加工的具体过程，我们没有意识。

（2）直觉思维的基本形式：

①直觉：是在原有知识和经验的基础上，通过观察、联想、猜测等，对出现在人们面前的新事物、新形象的一种直接的、极为敏锐的判断和对其内在本质的理解，这种思维方式往往不受逻辑规则的约束。

直觉具有经验性、跳跃性和或然性。

②灵感：又称为顿悟，是人们对长期探索的未能解决的问题的突然领悟的思维方式。

灵感的特征：突发性、模糊性和非逻辑性。

波利亚语：好念头的出现，每人都会体验过，但只能心领神会，而难于言传。

（3）培养初步直觉思维的若干建议：重视知识“组块”的积累；鼓励合理猜想；敢于创新。

8、数学思维品质及其培养：

（1）数学思维品质：是学生数学思维发展中的个性差异，又称为数学思维的智力品质，它是数学思维发展水平的重要标志。

（2）数学思维品质主要包括数学思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性。

思维的深刻性：主要指能从数学的感性材料出发，通过逻辑思维，    揭示数学与形的本质特征，确定它们的内在联系和规律，并预通情达理感事物的发展进行进程。思维的深刻性是思维品质的基础。

思维的灵活性：是指善于从不同的角度、不同的方面进行分析思考，善于根据条件的变化转换角度，做到思维起点活，思维过程活动，有较强的迁移能力。

思维的敏捷性：指思维活动的速度。它表现在解决问题时思考敏捷，接触裨快，能缩短中间环节，简化思考过程。

思维的批判性：指在数学思维活动中，能严格估计思维材料和精细检查思维过程，能随时对思维过程进行监控和调节的品质。

思维的独创性：指在面对从未见的新问题时，能采取相应的对策，并能给予独特、新颖的解决，它是数学思维发展的高级表现。

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的思维过程.其表现是学生从原有的认知结构出发，通过观察、类比、联想、猜想等一系列数学思维活动，立体式地展示问题、提出过程，在温故知新的联想过程中产生强烈的求知欲，尽可能地参与概念的形成和结论的发展过程，并掌握观察、实验、归纳、演绎、类比、联想、一般化与特殊化等思考问题的方法.在数学复习中如何才能提高数学的思维能力？

一、数学思维与数学思维能力的含义

　　数学思维是对数学对象（空间形式、数量关系、结构关系等）的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。

　　数学思维能力主要包括四个方面的内容：

　　1．会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；

　　2．会用归纳、演绎和类比进行推理；

　　3．会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；

　　4．能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。

　　新课标指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律。数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和创造力等方面有着独特的作用。新课标确立了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的课程目标，将素质教育的理念体现在课程标准之中。通过引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，从而实现向学习方式的转变，发展学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析解决问题的能力，以及交流与合作的能力。

　　新课标关注的是数学课程目标，它包括：数学素养、数学知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度，注重学生经验、学科知识和社会发展三方面内容的整合，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

　　二、学生数学思维受阻的原因

　　根据个人经验，参考有关资料，我认为学生思维受阻的主要原因有以下几点：

　　1．数学思想方法缺乏。

　　由于学习方法的缺乏而严重制约学生的有效思维的状况普遍存在。华东师大二附中的四位学生对高一学生的调查表明，在常用的数学思想方法中，初中学生掌握得最好的是方程思想，知道并会应用的占84.02%，观察与试验的方法、类比与联想的方法知道并会运用的分别占25.68%和24.52%，不知道的分别占42.02%和34.44%。重点中学的学生如此，一般学校可想而知。我部本学期在初三、初四年级开设的“学法讲座”深受学生欢迎。

　　2．学习目标确定不当。

　　比如，一份调查显示，学生对于自己“在初中阶段数学学习的要求”选择“名列前茅”的占79.18%，选择“中等水平”的占17.45%。而对自己在高中阶段选择“名列前茅”的占45.46%，选择“中等水平”的占47.05%。许多学生考上高中后，便想喘口气，放松一下学习节奏。在高一学生中，回答“你对学习的感觉”时，感到困难的占52%，一部分学生选择了降低要求的方法，认为自己目前的数学学习状态“良好”的仅占24.06%，认为“一般”的占57.44%，认为“较差”的占18.5%。学习要求的降低，影响了学习效果，使得数学思维发展的速度无法加快。

　　3．思维惰性造成思维模糊。

　　一份在“遇到难题的处理方式”的调查中，选择“等老师讲解”的占12%，选择“问同学或问老师”的占52%，选择“继续思考”的只有16%，选择“等以后再解决”的占20%。思维指向模糊主要表现在对关键信息感知把握不准，思维指向性模糊，出思维的惰性。观察只停滞在感知表象中，即使撞上关键信息，也不能加工形成有价值的反馈信息，致使思路受阻，从而懒于动脑，久而久之，养成了思维的惰性。这是学生思维障碍的最普遍原因。

　　4．思维惯性造成思维机械。

　　思维的惯性常伴随着思维的惰性而存在。一份问卷调查资料中，有30%的同学在回答“解题时出现错误的原因”选择了“审题不清”这一项。学生在解数学题时，常尚未看清题意，见术语，便罗列公式，生搬硬套；见数据，便代入演算，拼凑解答等。

　　5．思维线性造成思维中断。

　　在一份问卷调查中，回答“经常出现思维的方向性错误”的学生占了50%，他们由于思维的单一性，呈线性状态，导致思维过程常常中断而受阻。

　　6．各学段的衔接不当。

　　主要表现在三个方面：（1）节奏变化。就一节课的知识容量而言，初中远比不上高中，因而在讲解中就有快慢和粗细之分。这一快一慢，一粗一细两对矛盾就很容易将初中与高中阻隔，产生两极分化，使初高中难以得到系统的响应，从而影响学生数学思维的发展。华东师大二附中的调查：认为高中数学学习节奏比初中快的占82.17%，而觉得慢的同学仅占5.5%。（2）教学方法的差异。有48.07%的学生认为初中数学课大部分由老师讲解，小部分由学生练习，认为初中重视学生讨论与自学的仅占9.2%。这表明初中学生讨论与自学的这一学习方法并没有得到充分的培养，没有发挥学生的主观能动性。在高中，认为上课大部分由老师讲解的降低到27.34%，认为讨论与练习相当的则升至37.84%。（3）教材因素导致初高中数学知识点脱节。华东师大二附中的调查中，有49.63%的市、区重点中学的学生认为“对所需的初中知识感到略能运用，但还有些困难”，而感到需要补充初中知识点的占20.53%，对所需初中知识能运用自如的不到30%。

　　7．评价机制本身的不完善或评价机制贯彻的不完全。

　　主要表现在三个方面：（1）不考的不学。华东师大二附中学生的调查表明，初中数学教师对“中考不考，可以省略”的态度中，偶尔说的占50.57%，经常说的占21.18%。（2）评价方式单一。无论对老师还是学生，往往都是以学科考试成绩作为主要指标进行评价。（3）考试导向的偏差。我认为用考试的方法进行评价本身并没错，问题是考试（命题）本身的导向是否正确。

　　三、如何培养学生的数学思维能力

　　1．找准数学思维能力培养的突破口。

　　心理学家认为，培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。思维品质包括思维的深刻性、敏捷性、灵活性、批判性和创造性，它们反映了思维的不同方面的特征，因此在教学过程中应该有不同的培养手段。

　　思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学思维的深刻性品质的差异集中体现了学生数学能力的差异，教学中培养学生数学思维的深刻性，实际上就是培养学生的数学能力。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成追根究底的习惯。

　　数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，一方面可以考虑训练学生的运算速度，另一方面要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。因为所掌握的知识越本质、抽象程度越高，其适应的范围就越广泛，检索的速度也就越快。另外，运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且还有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。

　　为了培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“举一反三”。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用。如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵活性。

　　创造性思维品质的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问。能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教学中应当鼓励学生提出不同看法，并引导学生积极思考和自我鉴别。新的课程标准和教材为我们培养学生的创造性思维开辟了广阔的空间。

　　批判性思维品质的培养，可以把重点放在引导学生检查和调节自己的思维活动过程上。要引导学生剖析自己发现和解决问题的过程；学习中运用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它们的合理性如何，效果如何，有没有更好的方法；学习中走过哪些弯路，犯过哪些错误，原因何在。

　　2．教会学生思维的方法

　　现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，养成良好思维品质是教学改革的一个重要课题。孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆”。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。

　　数学概念、定理是推理论证和运算的基础。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力；在例题课中要把解（证）题思路的发现过程作为重要的教学环节，仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的；在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力，会运用综合法和分析法，并在解（证）题过程中尽量要学会用数学语言、数学符号进行表达。

　　此外，还应加强分析、综合、类比等方法的训练，提高学生的逻辑思维能力；加强逆向应用公式和逆向思考的训练，提高逆向思维能力；通过解题错、漏的剖析，提高辨识思维能力；通过一题多解（证）的训练，提高发散思维能力等。

　　3．善于调动学生内在的思维能力

　　一要培养兴趣，让学生迸发思维。教师要精心设计，使每节课形象、生动，并有意创造动人情境，设置诱人悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望，还要经常指导学生运用已学的数学知识和方法解释自己所熟悉的实际问题。

　　二要分散难点，让学生乐于思维。对于较难的问题或教学内容，教师应根据学生的实际情况，适当分解，减缓坡度，分散难点，创造条件让学生乐于思维。

　　三要鼓励创新，让学生独立思维。鼓励学生从不同的角度去观察问题，分析问题，养成良好的思维习惯和品质；鼓励学生敢于发表不同的见解，多赞扬、肯定，促进学生思维的广阔性发展。

数学思维能力的培养
                  作者：王彦廷
                  
                  （定安中学初中部，定安，571200）
                  摘要：发展数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维能力的培养对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。
                  关键词：思维能力；数学；思维障碍 
                  1.  引言
                  思维是人脑对客观现实的概括和间接的反映，反映的是事物的本质及内部的规律性。所谓数学思维，是指学生在对数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握数学内容而且能对具体的数学问题进行推论与判断，从而获得对数学知识本质和规律的认识能力。数学思维虽然并非总等于解题，但我们可以这样讲，数学思维的形成是建立在对数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很“明白”，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；有时，在课堂上待我们把某一问题分析完时，常常看到学生拍脑袋：“唉，我怎么会想不到这样做呢？”事实上，有不少问题的解答，同学发生困难，并不是因为这些问题的解答太难以致学生无法解决，而是其思维形式或结果与具体问题的解决存在着差异，也就是说，这时候，学生的数学思维存在着障碍。这种思维障碍，有的是来自于我们教学中的疏漏，而更多的则来自于学生自身，来自于学生中存在的非科学的知识结构和思维模式。因此，研究高中学生的数学思维能力的培养对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。
                  数学是一门逻辑思维极强的学科。思维又是一种复杂的心理过程，是由人们的认识需要引起的。教师对学生在学习中的情感、态度、方法的了解与把握；对思维活动的观察、质疑、探索、猜想的引导，是搞好数学教学的必要条件。在数学教学中，要使学生不断地产生学习意向，引起学生的认识需要，就要创设出一种学习气氛，使学生急欲求知，主动思考；就要设置出有关的问题和操作，利用学生旧有的知识经验和认知结构，以造成认知冲突。心理学的研究告诉我们：认知冲突是学生的已有知识和经验与新学知识之间的冲突式差别，这种冲突会引起学生的新奇的惊愕，并促使其注意关心和探索的行为。
                  课堂教学中有了学习气氛和认知冲突，即创设了思维情境，学生便有了展开思维的动因、时间和空间，从而有助于数学课堂教学质量的提高。
                  2数学思维障碍的具体表现
                  
                  由于数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：
                  2.1数学思维的肤浅性
                  由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果：1〉学生在分析和解决数学问题时，往往只顺着事物的发展过程去思考问题，注重由因到果的思维习惯，不注重变换思维的方式，缺乏沿着多方面去探索解决问题的途径和方法。例如在课堂上我曾要求学生证明：如|
                  a |≤1，| b |≤1，则
                  。让学生思考片刻后提问，有相当一部分的同学是通过三角代换来证明的（设a=cosα，b=sinα），理由是| a |≤1， |
                  b
                  |≤1（事后统计这样的同学占到近20%）。这恰好反映了学生在思维上的肤浅，把两个毫不相干的量（a,b）建立了具体的联系。2〉缺乏足够的抽象思维能力，学生往往善于处理一些直观的或熟悉的数学问题，而对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，转化为已知的数学模型或过程去分析解决。例：已知实数x、y满足
                  ，则点P(x , y)所对应的轨迹为（       ）（A）圆  (B)椭圆  (C)双曲线 
                  (D)抛物线。在复习圆锥曲线时，我拿出这个问题后，学生一着手就简化方程，化简了半天还看不出结果就再找自己运算中的错误（怀疑自己算错），而不去仔细研究此式的结构
                  进而可以看出点P到点（1，3）及直线x＋y＋1=0的距离相等，从而其轨迹为抛物线。
                  2. 2数学思维的差异性
                  由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。如非负实数x，y满足x＋2y=1，求x2＋y2的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1／2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。
                   
                  2. 3数学思维定势的消极性
                  由于学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如：刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，从而造成错误的认识。
                     
                  由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。
                  3、数学课堂教学中思维情景的创设
                  3.1引入新课中创设思维情境，注重激起学生探求知识
                  新课的引入，这是教学过程的一个重要环节，教师若不注意思维情境的创设，师生便不易进入“角色”，教师的导学过程和导学效应便不能得到充分体现，从而导致整堂课欠佳的教学效果。引入新课中创设思维情境有以下几种方法：1.巧设悬念，诱发学生的学习动机和学习意向。心理学的知识告诉我们：意向是在一定恰当的问题情境中产生的。如在教学全等三角形的引入时，提问学生：不过池塘，如何测得池塘的宽度？这样很容易激发学生的好奇心和学习意向。2.提出疑点，点燃学生的思维火花。“导学”的中心在于引导，引在堵塞处，导在疑难处。搞好引导，能有效地促进学生思维状态的转化。在新课引入时，根据教学内容，提出一些疑问，就会引发学生解疑的要求。如在教学负数的引入时，提问学生：（1）你有5元钱，还了别人2元钱，还有多少钱？列式算出。（2）你有5元饯，还了别人8元钱，还有多少钱，列式后能算出结果吗？3.直观演示、探索、发现，调动学生的思维和学习兴趣。在认识结构中，直观形象具有的鲜明性和强烈性往往给抽象思维提供较多的感性认识经验。心理学家鲁宾斯坦指出：“直观要素以概括的映象表象的形态，以及仿佛显示着和预知着还没有以同的形态展开的思想系统图式的形态，参加在思维过程中。”因此在新知识教学引入时，根据教学内容，重视直观演示、实验操作，就会使学生感兴趣，就能较好地为新知识的学习创设思维情境。引导学生探索、发现，其进行的过程中就蕴含着很好的思维情境。学生在尝试了探索、发现后的乐趣和成功的满足后印象深刻，学习信心倍增，从而能较快地牢固地接收新知识。此外，在新课引入时还可通过：以旧引新——复习与新课有联系的旧知识，引入新知识；故事激趣——与新课有关的数学和数学家的趣味故事等以创设思维情境。
                  3.2注重培养学生正确的思维观察模式、方法
                  思维通常是从观察教学对象开始，结合运用其他方式才能获得关于客观事物的本质和规律的认识。数学观察，无论是图形的识别、数据之间关系的把握，还是基本规律的发现、综合分析能力的提高都离不开认真、仔细的观察。观察、发现是学会数学思维的过程中必需的、第一位的方法。而正确的观察方法，对学生观察能力的培养具有重要的推动作用。因此，在教学中，要针对学生在心理缺乏观察事物所必须具备的基本素质，在掌握知识经验的水平上缺乏观察的能力和数学教学的特点，可以考虑利用多媒体教学或启发式教学，引导学生学会用眼睛观察、欣赏同类型题的变化，保证观察的正确性。
                  3.2.1引导学生用“联系”的哲学观点观察部分与整体的关系
                  数学不仅仅是数理间的关系，还与其他学科具有紧密的知识联系。我们在进行数学观察时，要注重把政治教学中有关哲学思辩的思想和方法在“不知不觉”中引导和发散学生思维模式。比如，整体与部分的关系中，要引导学生在观察的整体的同时，还应观察其部分的特点，从整体看部分，从部分中把握整体，这样，才能抓住解决问题的关键，使解题简化。
                  例：计算
                  1＋2＋3＋…＋100许多学生一看到题就将数一个一个累加，当然能够算出结果，但比较麻烦。此时可以启发学生去观察思维，会发现它们隐含的规律，1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……如此类推一共有50个101，两者相乘，轻而易举地解决了问题。
                  3.2.2引导学生学会发散性观察思维，寻求多样解题途径
                  发散性观察思维，就是在教学中引导学生在多样性的数量、数理关系中发现数量、数理演变的规律，达到举一反三、触类旁通。比如，有些数学题，教师可以对例题进行有目的、多角度的演变，调换命题的题设和结论，指导学生经过一题多变的观察和思考，在解题过程中开阔思路,
                  寻求多种方法解决问题，使学生认识到“办法总比问题多”。这就是我们数学教育在学生全面素质教育中的一个重要命题，可以让学生体会到：可以在人生观、世界观方面同样具有教育的意义和优势。
                  例1.已知一个多边形的每个内角都等于1350，求这个多边形的边数。
                  变式1   已知一个多边形内角和是10800，求这个多边形的边数。
                  变式2   已知一个多边形的边数是8，求这个多边形的内角和。以上两变式的解法都用原例同一关系式，解法略。
                  变式3   已知一个正多边形的外角是450,求这个正多边形内角和。  
                  变式4   已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为11800，求此多边形的边数。
                  以上变式从不同角度调换例题的题设和结论，解法不尽相同，但是它们都依据了多边形内角和公式和外角和公式，这样教学，为学生从不同角度去观察问题，思考问题,用不同方法解决问题提供了丰富的材料，使学生的知识在更广阔的领域内进行循环，观察的灵活性得以培养和训练，在突破学生定向性思维模式上具有一定的意义。
                  3.3重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。
                  数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。如：设x2＋y2＝25，求u=
                  的取值范围。若采用常规的解题思路，μ的取值范围不大容易求，但适当对u进行变形： 转而构造几何图形容易求得u∈[6，6
                  ]，这里对u的适当变形实际上是数学的转换意识在起作用。因此，在数学教学中只有加强数学意识的教学，如“因果转化意识”“类比转化意识”等的教学，才能使学生面对数学问题得心应手、从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学生数学思维障碍的一个重要环节。
                  总之，数学教学具有数学本身的特点，在教学中，要根据教学内容，以培养和发展学生的运算能力、处理数据的能力、逻辑思维能力、空间想象能力、数学信息的表达和交流能力为目的，通过学习运用数学思维中具有丰富哲学思想的思维，对学生进行长期的有目的的训练，提高对观察作用的认识和兴趣，逐步培养学生的思维能力：要运用多种手段，激发学生的思维兴趣；通过训练，使学生掌握思维的基本方法，具有良好的思维品质，逐步养成主动思维、善于思维的习惯，使数学教学更好地适应素质教育的需要。

阳山县第二中学邓秀娟培养学生的数学思维能力是高中数学新课程标准的基本理念，也是数学教育的基本目标之一。数学思维能力包括直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与构建等。作为高中数学科任教师，应把培养学生的数学思维能力贯穿教学的全过程，并把其作为教育的基本目标，抓实抓严抓好。如何培养学生的数学思维能力呢？结合本人的教学实践，认为应从以下五个方面下功夫：一、转换教师角色，培养学生的数学思维能力一位教育家说过：＆ldquo;学习活动最好的方法是做。＆rdquo;学生的学习只有通过自身的探索活动才可能是有效的，而有效的数学学习过程不能单纯依赖模仿与记忆。因此，教师要实现从较为单一的知识传授者向课堂教学的设计者、组织者、引导者、合作者等多种角色的转变。教师设计和组织的课堂教学要体现以学生为主体的设计和组织，能给学生提供最大的思考空间，帮助学生通过自己的思考建立起自己对数学的理解力，帮助学生构建和发展认知结构，从而培养学生的数学思维能力。例如，在学习椭圆的第一课时＆mdash;＆mdash;＆mdash;椭圆的定义，传统的教学主要是教师自己拿一段细绳和两枚图订在黑板上演示椭圆的形成过程，然后给出椭圆的定义。这样的教学方法直接平板，学生参与少、思考少，而且这样直接了解椭圆的定义，会造成单纯的记忆性，缺少探索性。因而记忆的印象不够深刻，运用其解决实际问题更难，实际上没有真正培养到学生的数学思维能力。假如换个角色，由教师为主角演练，换成把数学学习的主动权交给学生，让学生亲自实践，大胆探索：先让学生拿出课前准备好的一块纸板，一段细绳和两枚图订，自己动手画图，然后同桌相互评价；其次在两枚图订之间的距离发生变化而绳长不变的条件下对所画图形自主进行探索；最后对概念的归纳进行讨论，学生试着说出椭圆的定义，教师补充。这样通过学生自己的体验，用自己的思维方式，通过独立思考、合作交流、归纳整理，形成新的知识结构，而且学生之间在讨论中相互补充，这样使他们的直观感知、观察发现、归纳类比等数学思维能力在课堂教学活动中得到锻炼和提高，同时又能真正体现数学课堂教学的本质，实现教学双长。二、联系生活实际，培养学生的数学思维能力数学源于生活，我们应该充分利用学生已有的生活经验，让学生身边的数学知识走进学生视野，走进课堂，使课堂文化变得更加具体、更加生动、更加有趣，并引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，体会数学在现实生活中的应用价值，从而诱发学生内在的知识潜能，培养学生的应用意识和数学思维能力。在教学过程中，多讲一些生活中与数学关系密切的实例，使学生认识到日常生活中处处存在数学，认识到数学的应用价值。这样，他们才会有自主学习的动力，有了自主学习的兴趣，才会培养他们的数学思维能力。例如，讲到排列和组合的有关知识时，联系参加2006年德国世界杯足球比赛，有下面的一道题目让学生自己独立完成。参加2006年德国世界杯足球比赛的32支球队平均分成八个小组，每小组四支队伍，第一轮采用单循环比赛，每小组的前两名进入第二轮，第二轮起采用淘汰赛，问总共进行多少场比赛？又如在讲授数学归纳法时，课本采用＆ldquo;多米诺骨牌＆rdquo;的例子来讲解，学生似懂非懂。若采用生活中学生熟知的事例＆ldquo;学校停车处整齐摆放的一排自行车，假设每一辆自行车间距符合一个条件：若前一辆自行车不小心被撞倒，则后一辆也一定被前一辆自行车撞倒。试想一想，如果第一辆自行车不小心被撞倒，那么其余的自行车会怎样？如果被撞倒的不是第一辆，而是其余中的任何一辆，那么这一排自行车会全倒吗？这两个结果的原因是什么？由于这些问题与生活十分贴近，而且同学们日常可能遇到这种情况，但又没有真正问过为什么，因而同学们觉得有趣，从而积极参与探索、讨论、交流。通过讨论、感悟，学生们悟出了两个结论：第一辆自行车被撞倒；当前一辆自行车被撞倒撞向后一辆自行车时，后一辆自行车也跟着被撞倒。教师借此引入课题：我们的数学家就是根据类似于自行车被撞倒的事例，总结出一种重要的数学思想方法＆mdash;＆mdash;＆mdash;数学归纳法。水到渠成，接着引出数学归纳法的第三个步骤。这样激发了学生学习数学的积极性和情感体验，激发学生有更深刻的思考，更能激发学生去关注身边的现实生活，注重数学知识与实际的联系，从而使学生会学数学、会用数学，进一步培养学生数学建模、反思探究等数学思维能力。三、借助几何直观，培养学生的数学思维能力几何直观能启迪学生思维、帮助学生理解。因此，在教学过程中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系。并让学生在直观观察中发现真理，使学生积极主动地思考其成因。例如，在数学必修2中＆ldquo;直线和平面平行的判定＆rdquo;这一节时，通过观察教室的门，假定AB是固定在墙上的门轴，当我们关门时，AB的对边始终与门框所在的墙没有公共点。再引导学生观察长方体模型ABCD＆mdash;A1B1C1D1，思考直线m与平面＆alpha;平行的原因，归纳出直线与平面平行的条件。又让学生继续观察教室内现有的物体，找出直线与平面平行的例子，同时举出日常生活中用到这个判定定理的例子。通过动作演示和实物模型，激发学生学习的兴趣，从感官上让学生加深对判定定理的理解。又如在讲选修4＆mdash;1中＆ldquo;与圆有关的比例线段＆rdquo;这一节时，通过多媒体的展示，把＆ldquo;相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理＆rdquo;有机地联系起来，让学生经历数学知识的形成与应用过程，培养了学生直观感知、空间想象等数学思维能力。四、利用数形结合，培养学生的数学思维能力数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。数形结合就是将抽象的数学语言、符号与其所反映的图形有机的结合起来，从而促进抽象思维与形象思维的有机结合，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得以解决。例如，一艘轮船在沿着直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70Km处，受影响的范围是半径长为30Km的圆形区域。已知港口位于台风中心正北40Km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？分析：为解决这个问题，我们以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，其中，取10Km为单位长度。这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2＝9；轮船航线所在直线m的方程为4x+7y－28＝0；问题归结为圆心为O的圆与直线m有无公共点。通过这样的演示将所有的数据和信息都赋予图形中，使学生能借助图形的直观形象，进行观察、记忆、联想和分析，从而解除头脑问中的疑问，并在愉快的学习中进一步培养学生抽象概括、符号表示等数学思维能力。

五、创设问题情景，培养学生的数学思维能力新课程标准指出：＆ldquo;数学教学应从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境＆rdquo;。因此，在教学过程中教师应设置有价值的问题，引发学生的争论，培养学生质疑、探究的习惯，提高分析能力，由此来培养学生的数学思维能力。例如在讲授等比数列的前项和公式时，我们可以通过这样一则故事恰当地引入课题：古印度国王非常喜欢国际象棋，他要奖赏发明者，可以满足发明者的任何要求。发明者提出一个＆ldquo;非常简单＆rdquo;的要求＆mdash;＆mdash;＆mdash;用小麦一粒一粒来填棋盘：第一个格放1个麦粒，第二个格放2个麦粒，第三个格放4个麦粒，以后每个格放的麦粒都是上一格的两倍。国王满口答应，经过大臣的计算原来发明者的＆ldquo;胃口＆rdquo;大得很，他要了古印度全国几十年小麦产量的全部。老师由此指出发明者要的麦粒个数为S＝1+2+22+23+24+＆hellip;＆hellip;+263。这个和S怎样求出呢？问题极大地激发了学生的兴趣，营造＆ldquo;乐学、趣学＆rdquo;的思维情景。这样从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，更好地引导了学生实践、思考、探索和交流，并由此获得知识、形成技能、发展思维，从而进一步培养了学生数据处理、运算求解等数学思维能力。以上五个方面培养学生数学思维能力，是本人在高中数学教学中的粗浅体会。数学思维能力的培养，是一项系统的工程，作为高中数学教师，今后更要牢牢把握这项目标要求，从平时的教学实践中不断地探索与创新，使学生对数学这一基础学科乐学、善学，学有所得，使学生在数学学习中不断增强数学思维能力，实现我们的教学目标，实现教学双长。

数学思维与数学思维能力的培养