中考数学信息交流试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 在实数π，0，|-3|，-中，最小的数是（　　）

A. - B. |-3| C. 0 D. π

2. 下列运算中，结果等于a5的是（　　）

A. a2+a3 B. a10÷a2 C. a3•a2 D. （a2）3

3. 近年来我国幼儿教育市场保持较快发展，预计2019年幼儿教育市场规模将达到2300亿，将“2300亿”用科学记数法表示为（　　）

A. 23×1010 B. 2.3×1010 C. 23×1011 D. 2.3×1011

4. 如图，正六棱柱的主视图是（　　）

A.
B.
C.
D.

5. 不等式组的解集在数轴，上表示正确的是（　　）

A. B.
C. D.

6. 已知一组数据8，15，a，14，12，12，8的平均数是11，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A. 8，11 B. 8，12 C. 12，11 D. 12，12

7. 某市居民生活社区组织的“迎新春长跑活动”，将报名的男运动员分成3组：青年组、中年组、老年组，各组人数所占比例如图所示，已知青年组有120人，则中年组的人数是（　　）

A. 90
B. 60
C. 50
D. 30

8. 若关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（　　）

A. x1=-1，x2=3 B. x1=-1，x2=-3 C. x1=1，x2=3 D. x1=1，x2=-3

9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，cosB=点M、N分别是边BC和AC上的两个动点，点M以2cm/s的速度沿C→B方向运动，同时点N以1cm/s的速度沿A→C方向运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t，四边形ABMN的面积为S，则下列能大致反映S与t函数关系的图象是（　　）

A. B.
C. D.

10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且满足BF=BE，连接CF，过点B作BG⊥CF，垂足为点G，连接DG，则下列说法不正确的（　　）

A. ∠GBE=∠GCD
B. GE=BE
C.
D. DG⊥GE

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 因式分解：x3-4x2+4x=______．

12. “绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2017年新能源汽车年销售量为82.4万辆，预计2019年新能源汽车年销售量将达到100万辆．设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据题意可列方程为______．

13. 如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，分别以点B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，作直线MN分别交AD、BC于点F、E，连接BF、DE，则四边形BEDF的形状是______．

14. 如图，已知等边△ABC中，AB=2，将△ABC绕点A顺时针旋转60°，得到△ADB，点E是△ABC某边的一点，当△ABE为直角三角形时，连接DE，作BF⊥DE于F，那么BF的长度是______．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分）

15. 计算：-4sin60°．

16. 《九章算术》里有一道著名算题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二乘、问上、下禾实一乘各几何？”
大意是：3捆上等谷子结出的粮食，再加．上六斗，相当于10捆下等谷子结出的粮食.5捆下等谷子结出的粮食，再加上一斗，相当于2捆上等谷子结出的粮食．问：上等谷子和下等谷子每捆能结出多少斗粮食？请解答上述问题．

17. 如图，已知A（1，-1），B（3，-3），C（4，-1）是直角坐标平面上三点．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）判断以B，B1，B2，为顶点的三角形的形状（无需说明理由）．

18. 观察下列等式：
第一个等式：1+=1；第二个等式：；第三个等式：第四个等式：；…
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第五个等式：______．
（2）写出你猜想的第n个等式：______（用含n的等式表示），并证明．

19. 如图，某学生为测量学校教学楼的高度，用航拍无人机飞至与教学楼的水平距离为8米的C处，从C处看教学楼楼顶A，测得仰角为64°，从C处看教学楼楼底B．测得俯角为31°，那么这栋教学楼的高度大约是多少米？（计算结果精确到1m，参考数据sin31°=0.52，cos31°=0.86，tan31°=0.60，sin64°m0.90，cos64°=0.44，tan64°=2.05）

20. 如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D．
（1）求证：∠BAC=∠BCD；
（2）若BD=4，DC=6，求⊙O的半径．

21. 九年级某班联欢会上，节目组设计了一个即兴表演节目游戏，在一个不透明的盒子里，放有五个完全相同的异乓球，虽乓球上分别标有数字1，2.3、4、5，游戏规则是参加联欢会的50名同学，每人同时从众里一次摸出两个乒乓球，若两球上的数字之和是偶数就给大家即兴表演一个节目；否则，下一个同学依次进行，直至50名同学都摸完．
（1）若小朱是该班同学，用列表法或画树状图法求小朱同学表演即兴节目的概率；
（2）若参加联欢会的同学每人都有一次模球的机会，请估计本次联欢会上有多少个同学表演即兴节目？

22. 某种杂交柑桔新品种，皮薄汁多，口感细嫩，风味极佳，深受人们喜爱，某果农种植销售过程中发现，这种柑桔的种植成本为6元/千克，日销量y（kg）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该果农每天销售这种柑桔不低于60kg且不超过150kg，试求其销售单价定为多少时，除去种植成本后，每天销售利润最大？最大利润是多少？

23. 如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，连结AB，过点D作DF⊥AE于点F，过点C作CN⊥DF于点N，延长CN交AD于点M．
（1）求证：AM=MD；
（2）连接CF，并延长CF交AB于G．
①若AB=2，求CF的长度；
②探究当为何值时，点G恰为AB的中点．

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：∵，
最小的数是-，
故选：A．
根据0大于一切负数；正数大于0解答即可．
考查实数的比较；用到的知识点为：0大于一切负数；正数大于0；注意应熟记常见无理数的约值．
2.【答案】C

【解析】解：A.不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B.a10÷a2=a8，故B错误；
C.原式=a5，故C正确；
D.原式=a6，故D错误；
故选：C．
根据同底数幂的除法底数不变指数相减；同底数幂的乘法底数不变指数相加；幂的乘方底数不变指数相乘；可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
3.【答案】D

【解析】解：将2300亿用科学记数法表示为：2.3×1011．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】D

【解析】解：正六棱柱主视图的是：

故选：D．
直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．
5.【答案】A

【解析】解：由＜1得x＞-2，
由2x-4≥0得x≥2，
则不等式组的解集为x≥2．
故选：A．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
6.【答案】B

【解析】解：∵这组数据8，15，a，14，12，12，8的平均数是11，
∴（8+15+a+14+12+12+8）÷7=11，
解得：a=8，
把这组数据从小到大排列为8，8，8，12，12，14，15，
∴这组数据的中位数是12，
∵8出现的次数最多，
∴这组数据的众数是8；
故选：B．
先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数最多的数即可．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
7.【答案】B

【解析】解：∵被调查的总人数为120÷60%=200（人），中年组对应的百分比为1-60%-10%=30%，
∴中年组的人数是200×30%=60（人），
故选：B．
因为已知青年组有120人，从图上可知青年人占60%，从而可求出总人数，再根据三组百分比之和为1求出中年组对应百分比，继而乘以总人数可得答案．
本题考查扇形统计图，关键知道扇形统计图表现部分占整体的百分比，根据青年人数和百分比求出总数．
8.【答案】C

【解析】【分析】
根据方程根的情况，依据根的判别式得出m的范围，结合m为正整数得出m的值，代入方程求解可得．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+m+2=0有两个不相等实数根，
∴△=（-4）2-4×1×（m+2）＞0，
解得：m＜2，
∵m为正整数，
∴m=1，
则方程为x2-4x+3=0，
(x-1)(x-3)=0,
解得：x1=1，x2=3，
故选C．
​​​​​​​本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．解决本题的关键是根据根的判别式求出m的取值范围确定m的值.
9.【答案】C

【解析】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，cosB=，
∴BC=8，AC=6，
t秒后，NC=6-t，MC=2t，
∴S=S△ABC-S△MNC==（t-3）2+15，
从图象来看，排除选项A和D，
∵当t=2时，y=16故B不符合要求，C符合．
故选：C．
在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，cosB=，可以分别求出BC，AC的长，用含t的代数式表示出NC和MC，然后用三角形ABC的面积减去三角形MNCde面积，即可表示出四边形ABMN的面积为S，结合图象可以判断选项．
本题属于动点函数图象问题，函数解析式不难得出，所以可以写出要求的四边形的面积，结合函数图象可以得到答案．
10.【答案】B

【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理进行证明，判断即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，即∠BCG+∠GCD=90°，
∵BG⊥CF，
∴∠GBE+∠BCG=90°，
∴∠GBE=∠GCD，A正确，不符合题意；
∵∠FBC=90°，BG⊥CF，
∴△BFG∽△CBG，
∴=，
∵BF=BE，BC=CD，
∴=，又∠GBE=∠GCD，
∴△GBE∽△GCD，
∴=（）2，C正确，不符合题意；
∵△GBE∽△GCD，
∴∠BGE=∠CGD，
∵∠BGE+∠EGC=90°，
∴∠CGD+∠EGC=90°，即DG⊥GE，D正确，不符合题意；
故选B．
11.【答案】x（x-2）2

【解析】解：x3-4x2+4x
=x（x2-4x+4）
=x（x-2）2．
故答案为：x（x-2）2．
先提取公因式x，再根据完全平方公式进行二次分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12.【答案】82.4（1+x）2=100

【解析】解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，
依题意，得：82.4（1+x）2=100．
故答案为：82.4（1+x）2=100．
设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，根据2017年及2019年新能源汽车年销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13.【答案】菱形

【解析】解：由作图可知：直线MN是线段BD的垂直平分线，
∴FB=FD，EF⊥BD，
∴∠BFO=∠DFO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DFO=∠BEF，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF，
∴BE=DF，∵BE∥DF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BF=BE，
∴四边形BEDF是菱形．
故答案为为：菱形．
由作图可知：直线MN是线段BD的垂直平分线，想办法证明BE=DF即可解决问题．
本题考查矩形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14.【答案】或

【解析】解：分两种情况：
①点E在BC上，如图1，E是BC中点，作BF⊥DE于F点，
∴BE=1，AE=．
根据等边三角形的性质可知DA∥BC，∠DAE=90°，
∴△DBE面积=△ABE面积．
∴DE×BF=BE×AE．
∵DE=，
∴BF=．
②当E点在AC上，如图2，作BF⊥DE于F，可求DE=，
∵∠DBE=90°，
∴△DBE面积为BE×DB=，
∴DE×BF=，可得BF=．

故答案为或．
分两种情况：①点E在BC上，如图1，利用△DBE面积=△ABE面积求解BF；②当E点在AC上，如图2，利用直角△DBE面积的不同求法求解BF长．
本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质，同时考查了分类讨论思想．
15.【答案】解：原式=2+1+-1-4×
=．

【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16.【答案】解：设上等谷子每捆能结出x斗粮食，下等谷子每捆能结出y斗粮食，
依题意，得：，
解得：．
答：上等谷子每捆能结出8斗粮食，下等谷子每捆能结出3斗粮食．

【解析】设上等谷子每捆能结出x斗粮食，下等谷子每捆能结出y斗粮食，根据“3捆上等谷子结出的粮食，再加上六斗，相当于10捆下等谷子结出的粮食；5捆下等谷子结出的粮食，再加上一斗，相当于2捆上等谷子结出的粮食”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17.【答案】解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
（3）△BB1B2是等腰直角三角形．

【解析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出点A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
（3）△BB1B2是等腰直角三角形．
本题考查作图-旋转变换，轴对称变换，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】（1）+-= ；
（2）  ；
​证明：∵
=
=
=
=．
故答案为：．

【解析】解：（1）+；
故答案为：+；
（2）．
证明​正面见答案.
【分析】

将所给等式，竖列排放，观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边第一个分母比第二个分母小1，第三个分母是前两个分母的乘积，等式的右边分母是序数．
本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式中各数字的变化找出变化规律是解题的关键．
19.【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，

在Rt△ACD中，∠ACD=64°，
则tan64°=，
∴AD=DC•tan64°≈8×2.05=16.4（米），
在Rt△BCD中，∠BCD=31°，则tan31°=，
∴BD=DC•tan31°≈8×0.60=4.8（米），
∴AB=AD+BD=16.4+4.8=21.2≈21（米），
答：这栋教学楼的高度大约是21米．

【解析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，根据正切的概念解答即可．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
20.【答案】解：（1）如图，

连接OC．
证明：∵DC与⊙O相切，
∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠BCD
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠BCD；
（2）由（1）可得，∠BAC=∠BCD；
∵∠CDB=∠ADC，
∴△CDB∽△ADC，
∴，即，
∴DA=9
∴AB=DA-BD=9-4=5，
∴⊙O的半径为．

【解析】（1）根据直径所对的圆周角为直角以及圆的切线垂直于经过切点的半径，可得∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，∠ACB=∠OCB+∠ACO=90°，于是∠ACO=∠BCD，又OA=OC，所以∠ACO=∠BAC，因此∠BAC=∠BCD；
（2）易证∴△CDB∽△ADC，由BD=4，DC=6通过相似比求出DA的长，然后求出AB，从而求出⊙O的半径．
本题考查了切线的性质，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
21.【答案】解：（1）根据题意画图如下：

由表可知，共有20种等可能结果，其中两个数字之和为偶数的结果有8个，
所以小朱同学表演即兴节目的概率=．

（2）根据题意得：
50×=20（名），
答：估计本次联欢会上有20个同学表演即兴节目．

【解析】（1）根据画出的树状图得出所有等情况数和两个数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式即可得出答案；
（2）表演即兴节目的同学数=学生总数×相应概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：部分的具体数目=总体数目×部分相应概率．
22.【答案】解：（1）设y=kx+b，
∵一次函数的图形过（8，120），（12，80），
∴，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y=-10x+200；
（2）设每天销售利润为W元，
根据题意得，W=（x-6）（-10x+200）=-10（x-13）2+490，
∵60≤-10x+200≤150，
∴5≤x≤14，
当x=13时，W最大=490，
答：其销售单价定为13时，除去种植成本后，每天销售利润最大，最大利润是490元．

【解析】（1）设y=kx+b，根据题意列方程即可得到结论；
（2）设每天销售利润为W元，根据题意求得函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
此题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时理清题意设出一次函数的解析式建立方程组是关键．
23.【答案】（1）证明：∵DF⊥AE，CN⊥DF，
∴AE∥MC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AM∥CE，AD=BC，
∴四边形AMCE是平行四边形，
∴AM=CE，
∵点E为BC的中点，
∴CE=BC，
∴AM=AD，
∴AM=MD；
（2）解：①连接MF，如图1所示：
∵四边形AMCE是平行四边形，
∴CN∥AE，
∵CN⊥DF，
∴DF⊥AE，
∵AM=AD，
∴MF=MD，
∵MN⊥DF，
∴MC垂直平分线段DF，
∴CF=CD，
∵AB=2，四边形ABCD是矩形，
∴CF=CD=AB=2；
②设AB=k，AD=1，
则BE=，AE===，
作EH∥AB交CG于H，如图2所示：
当G为AB中点时，EH=BG=AG，
∵△AFG∽△EFH，
∴=2，
∴AF=AE=，
∵∠DAE=∠AEB，∠AFD=∠B=90°，
∴△ADF∽△EAB，
∴，即=，
整理得：4k2+1=3，
解得：k=±（负值舍去），
∴k=，
∴=k=，
即当=时，点G恰为AB的中点．

【解析】（1）证出四边形AMCE是平行四边形，得出AM=CE，由中点的定义得出CE=BC，得出AM=AD，即可得出结论；
（2）①连接MF，由平行四边形性质得出CN∥AE，证出MF=MD，由线段垂直平分线的性质得出CF=CD，由矩形的性质得出CF=CD=AB=2；
②设AB=k，AD=1，则BE=，由勾股定理得出AE==，作EH∥AB交CG于H，由相似三角形的性质得出=2，得出AF=AE=，证明△ADF∽△EAB，得出，得出k=，即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．

2020年安徽省中考数学信息交流试卷