2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）

及答案

（时间：5月16日18：40～20：40）

满分：120分

一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）

1．已知M ，且，设，则 （ ）

A. M B. N C. P D.

2.函数是（ ）

A是偶函数但不是奇函数 B是奇函数但不是偶函数

C既是奇函数又是偶函数 C既不是奇函数也不是偶函数

3.已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A. 0≤m≤4 B. 1≤m≤4 C. m≥4或x≤0 D. m≥1或m≤0

4.在△中，分别是角所对边的边长，若，则的值是（ ）

A.1　　　　B.　　　　C.　　　　C.2

5. 设, 那么 的最小值是

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是

（ ）

A. B.

C. D.．

二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）

7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为

8．函数的最大值与最小值之差等于 。

9.设函数满足，且对任意的，都有

，则。

10.正方体的六个面所在平面把空间分成 部分

11．已知数列的前n项和，某三角形三边之比为，则该三角形最大角的大小是 .

12.已知的最小值等于

13.设，则

14.已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

①⇒a∥α；；②⇒α∥β；③ ⇒a∥α

④⇒a∥b；⑤⇒α∥β；. ⑥⇒a∥b

其中正确的命题是 (将正确命题的序号都填上)．

15、已知数列满足关系式且，则

16.在平面直角坐标系内，有四个定点，，，及一个动点，则的最小值为 ．

三、解答题（本大题共3小题，每题的解答均要求有推理过程，17小题13分,18小题13分,19题14分，满分40分）

17．（本题满分16分）已知向量，，且.

（1）求及；

（2）求函数-的最小值。

18已知数列中各项为：

12、1122、111222、……、 、 ……

（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

（Ⅱ）求这个数列前n项之和Sn .

19．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足

，，求的值．

答案

1．已知M=，且，设，则 （ B ）

A. M B. N C. P D.

2.函数是（ A ）

A.是偶函数但不是奇函数 B.是奇函数但不是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数

3已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是 C

A. 0≤m≤4 B. 1≤m≤4 C. m≥4或x≤0 D. m≥1或m≤0

4在△中，分别是角所对边的边长，若，则的值是

A. 1　　　　B. 　　　　C.　　　　C. 2

解：由得，

即，由正弦函数的有界性及为三角形的内角可知，

且，从而，∴

∴

5. 设, 那么 的最小值是答: [ C ]

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

解：由, 可知,

所以，. 故选 C．

6设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是

（ C ）

A. B.

C. D.

[解] 设的公比为，则，而

　　．

因此，只需求的取值范围．

因成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必需且只需且．即有不等式组

即

解得

从而，因此所求的取值范围是．

7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为:

8．函数的最大值与最小值之差等于。

解：，从而当时取最大值

当时取最小值0，从而最大值与最小值之差等于

9、设函数满足，且对任意的，都有=

，则。

9、解：

=

即

10正方体的六个面所在平面把空间分成 27 部分

11．已知数列的前n项和，某三角形三边之比为，则该三角形最大角的大小是 ▲ .

12．已知的最小值等于------2500-----）

13、设，则

解析.作图比较容易得到　。

14．已知a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：

①⇒a∥α；；②⇒α∥β；③ ⇒a∥α

④⇒a∥b；⑤⇒α∥β；. ⑥⇒a∥b

其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．

解析　②中a、b的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．

答案　①③④⑤

15、已知数列满足关系式

且，则_____

、解：设

即

故数列是公比为2的等比数列，

。

。

16在平面直角坐标系内，有四个定点，，，及一个动点，则的最小值为__________．

【解答】 ．

如图，设与交于点，则

，

．

因此，当动点与点重合时，

取到最小值．

17．（本题满分16分）已知向量，，且.

（1）求及；

（2）求函数-的最小值。

17.解(1)

………………… 5分

……… 10分

(2)由(1) 得

设,则

①当时,不合题意;

②当时,解得或(舍);

③当时, 3,解得(舍);

综上所述,当时的最小值为. ……… 16分

18（本小题满分20分）

已知数列中各项为：

12、1122、111222、……、 、 ……

（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.

（Ⅱ）求这个数列前n项之和Sn .

18.解：（Ⅰ）

记：A = , 则A=为整数

= A (A+1) ， 得证

(Ⅱ)

19．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足

，，求的值．

．

19[解法一] 由题设条件知

，

因此有，故

．

[解法二] 令，则

，

，

即，

故，

得是周期为2的周期函数，

所以．

2019年高一数学奥林匹克竞赛决赛试题及答案