多边形内角和与外角和的几个应用

1．已知边数求内角和与内角度数．

例1． (1)22边形的内角和是多少度？若它的每一个内角都相等，那么它的每个外角度数是多少？(2)几边形的内角和是八边形内角和的2倍？

分析：

1 引导学生利用方程的思想，要根据多边形的内角和、外角和的性质及题目中提供的等量关系得出关于未知数的方程去求解．

2 灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算．

解:⑴ 根据n边形的内角和度数(n-2)·180°，得

(22-2)·180°=3600°

由于多边形的外角和度数为360°，所以．

⑵ 设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，得

(n-2)·180°=2×(8-2)×180°

∴ n=14

答: 14边形的内角和是八边形内角和的2倍．

2． 已知内角和求边数．

例2．⑴ 几边形的内角和是2160 ？是否存在一个多边形的内角和为1000 ？

⑵ 已知一个多边形，它的内角等于外角的2倍，求边数．

分析:

① 对于利用多边形内角和公式反求边数的题目，需注意：只有求出的边数n 是大于2的正整数时，问题才有解；

3 灵活运用“多边形的外角和与边数无关的性质”简化计算．

解: 设该多边形为n边形，依题意得

(n-2)·180°=2160°

∴ n=14

不存在这样的多边形，理由如下:

假设存在这样的n边形，依题意得

(n-2)·180°=1000°

∴ n=

∵ 多边形的边数为正整数

∴不存在这样的多边形．

3． 已知各相等内角与外角度数求多边形边数

例3． ⑴ 已知多边形的每个内角都是135 ，求这个多边形的边数；

⑵ 每个外角都相等的多边形，如果它的一个内角等于一个外角的9倍，求这个多边形的边数．

分析：

① 每个内角或外角都相等的多边形，它的每个内角为，每个外角为，利用这两点就可以列出关于边数n的方程，其中第二种方法较为简单．

② 对于第(1)题，可将“每个内角都135 ”转化为“每个外角都是45 ”，从而利用=45 ，得出n的值为8．

3 若设边数为n，则方程为=9 ，得出n=20．

解: ⑴ ∵ 多边形的每个内角都是135 ，

∴ 它的每个外角度数为45 ．

根据多边形外角度数为360

∴ n==8

∴ 这个多边形的边数为8．

⑵ 设该多边形的边树为n，依题意得

=9 ，∴ n=20．

多边形内角和与外角和的几个应用