感悟数学之美(图)

2007-03-30 08:35:00　来源: 天津日报　网友评论 0 条 进入论坛

　　顾沛教授，南开大学数学科学学院副院长，天津市数学会常务副理事长。1945年生人，1963年考入北京大学数学力学系，1978年考入南开大学数学系攻读研究生。获硕士学位后留校任教至今。曾教本科课程有：数学分析、空间解析几何、高等代数、抽象代数、数学文化。顾沛教授获校级及校级以上教学优秀奖、课程优秀奖、教书育人奖、优秀教师奖等三十余项。2002年获得由陈省身设立的首届“吴大任——熊知行数学教学奖”。2003年9月，教育部授予顾沛教授首届高等学校“国家级教学名师”的称号。

　　文／本报记者 常 微 见习记者 姜枫炎

　　3月22日，由天津科技传播发展基金委员会、天津市科协联合主办，天津市教研室、天津科技馆、天津日报《经济周刊》承办的科普科学报告会“感悟数学之美”在天津科技咨询大厦报告厅举行。为活跃科技推动天津经济发展的氛围，普及科学技术知识，传播科学思想，主办方已经成功举行了四期系列报告会，均受到了与会者的热情参与和好评，取得了良好的社会反响。

　　此次报告会是主办方在2007年举办的第二场科普报告会，由南开大学数学系教授顾沛主讲。展现数学文化之美，感受数学的人文情怀是报告会贯穿始终的精髓。顾沛教授从不同侧面展示了数学的简洁美、和谐美、对称美与奇异美，使与会者感受到了数学文化的魅力所在。

　　从“数学文化”谈起

　　在报告会的开始，顾教授以陈省身先生设计出版的“数学之美”挂历为背景，表达了对这位已故数学大师的敬仰。顾教授谈道，“作为国内提倡‘数学之美’的先行者，陈省身先生不仅具有高深的数学科研知识，同时也大力提倡数学的美应当为大众所了解，鼓励青少年喜欢数学，学好数学，为我国数学文化的发展做出了巨大贡献。”据顾教授介绍，陈省身先生曾在第二届“走进美妙的数学花园”论坛中提出：“让青少年对数学有一个全面的了解，感受数学好玩、数学之美和数学是有用的。”这同时也反映出了数学文化的重要意义与人文价值。

　　当谈到“数学文化”一词的使用时，顾教授说：“‘数学文化’一词，最近五六年才用得多起来。对许多人来说，‘数学文化’一词还是陌生的。而这个词的使用频率近年大大增加，说明它是有生命力的，说明许多人为着某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。”

　　顾教授认为，在“数学文化”一词被日益广泛地使用的同时，“物理文化”、“化学文化”这样类似的词汇，并没有得到广泛的使用。“这表明，数学科学的确在本质上有不同于物理科学、化学科学等自然科学的地方。数学，具有超越具体科学和普遍适用的特征，具有公共基础的地位，”顾教授特别指出，“不同的社会现象和自然现象，可能遵循同样的数学规律，这反映出社会现象与自然现象在数量关系上的共性。数学超越了具体的社会科学和自然科学，也成为联系社会科学和自然科学的纽带。”

　　“狭义的数学文化指的是数学思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展。而广义的涵义除上述内容以外，还包含数学史，数学美，数学教育，数学与人文的交叉，数学与各种文化的关系，”谈到数学文化的内涵时，顾教授强调，“数学作为一种文化，已日益融入现代人的生活之中，数学文化已成为现代人文化素质的一部分。”

　　数学是一种思维模式

　　数学不仅是一种重要的“工具”，也是一种思维模式，即“数学方式的理性思维”；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化”；数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质”，数学素养使人终身受益。这是本次报告会中，顾沛教授关于学习数学的指导思想。

　　顾教授谈道，“在一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级，一般要学十三年的数学课程，但许多人并未因此就掌握数学的精髓，学习到数学方式的理性思维。”相反，顾教授认为，大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数学的宏观认识和总体把握较差，误以为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。“大学生毕业后走入社会，如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。”顾教授说。

　　在谈到数学思维、数学素养的重要性时，顾教授引用了日本学者米山国藏的一段话：“因为不管人们从事什么工作，深深铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益。”因此，顾教授在报告会中强调应当提倡发展数学素质教育，这应当成为当今数学教育者工作的重点和努力方向。

　　目前，在新课程的教学过程中，讲究“知识与技能”、“过程与方法”以及“情感、态度、价值观”的三维目标的实现。顾教授指出，如果在教学中渗透数学文化，会有利于“三维目标”的实现。他同时对与会的数学教育工作者寄予了期望，“教师如果在教学中自然而然地渗透数学文化，‘润物细无声’，就非常有利于三维目标的实现，非常有利于学生的全面发展和长远发展。也可以说，这就是数学课堂教学中的素质教育。”

　　数学历史轨迹中的经典

　　“在生产和生活的很多实践中都可以发现和感悟到数学之美。”顾教授说。他从数学问题、数学典故、数学方法、数学观点、数学思想五个角度切入，列举了数学发展过程中的经典案例和与会者一起分享。

　　重点提到的是数学发展历史过程中的三次危机。第一次数学危机是由不能将2写成两个整数之比引发的。这一危机发生在公元前5世纪，当时认为所有的数都能表示为整数比，但突然发现2不能表示为整数比。其实质是2是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，要添加无理数。彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数理论的建立。

　　“第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的17世纪”，顾教授讲道，第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由英国大主教贝克莱(ＢｉｓｈｏｐＢｅｒｋｅｌｙ)提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。危机的消解来自给出了极限的准确描述，消除了历史上各种模糊的用语，诸如“最终比”、“无限地趋近于”，等等。这样一来，分析中的所有基本概念都可以通过实数和它们的基本运算及关系精确地表述出来。

　　顾教授谈道，第三次数学危机罗素悖论则成就了“数学基础”的曙光——集合论，到19世纪，数学从各方面走向成熟。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。1922年，弗兰克加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。

　　“数学的发展有顺利也有曲折。危机也意味着挑战，解决危机就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学史上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。”顾教授说。

　　“勾股定理”、“蒲丰投针”、“阿基里斯追乌龟”这些数学典故也被顾教授讲述得绘声绘色，同时还将类比、抽象、归纳等这些数学思想穿插其中，使数学这门严肃的科学立刻生动立体起来，使与会者真正感悟到了数学真谛。

　　顾教授最后表示，“这些例子虽然并不是从学校的教材中选来的，但参加报告会的老师们可以由此拓宽思路后，举一反三，从各自教学的材料中找到许多类似的例子，丰富自身的数学文化教学；对于不是教师的听众，也一定能从生活、生产实践中，找到许多类似的例子，由此提高数学素养，透过现象看本质，感悟到数学之美。”

　　精彩问答

　　Q:数学教育在现代教育中扮演着重要角色，您能谈谈数学教育的作用有哪些吗？

　　A:数学教育在五个方面发挥作用：第一，掌握必要的数学工具，用来处理解决本学科中普遍存在的数量化问题及逻辑推理问题；第二，了解数学文化，提高数学素质，这种素质将使人终身受益；第三，潜移默化地培养学生“数学方式的理性思维”，如抽象思维、逻辑思维等；第四，培养全面的审美情操；第五，为学生今后的进一步学习打基础、做准备。

　　Q:现在提倡素质教育，数学素养已成为现代人文化素质的一部分。那么请您谈谈什么是数学素养？

　　A:具有从数学的角度看问题的出发点；有条理地理性思维，严密地思考、求证，简洁、清晰、准确地表达；在解决问题时、总结工作时，具有逻辑推理的意识和能力；对所从事的工作，能够合理地量化和简化，周到地运筹帷幄。这就是我认为现代人应具有的数学素养。

　　Q:听说您在南开大学开设了一门“数学文化”课，广受学生们的欢迎。请您谈谈开设这门课程的意义。

　　A:开设这门课程有利于培养学生的理性思维方式，提高其数学素养。数学与现代人的工作和生活关系越来越密切。有些人认为，数学对数学家而言，是理论，对其他学科而言，是工具；这不错，但不完全。数学对所有的人而言，还是一种思维方式，即数学的理性思维方式，是一种文化精神。特别是，数学作为一种文化，已经日益融入现代人的生活之中。“数学文化”一词，大约是20年前出现的，最近几年才用得多了起来。而这个词的使用频率近年来大大增加，说明许多人更愿意从文化这一角度来关注数学。重视数学的文化价值可以提高人们的生活质量。从某种意义上说，数学方式的理性思维，为现代人打开了一个特殊的理解事物的视野。

数学之美

　　大多数的数学家会由他们的工作及一般数学里得出美学的喜悦。他们形容数学是美丽的来表示这种喜悦。有时，数学家会形容数学是一种艺术的形式，或至少是一个创造性的活动。通常拿来和音乐和诗歌相比较。

　　伯特兰·罗素以下列文字来形容他对数学之美的感觉：

　　Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show. The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touchstone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry. (The Study of Mathematics, in Mysticism and Logic, and Other Essays, ch. 4, London: Longmans, Green, 1918.)

　　保罗·埃尔德什形容他对数学不可言说的观点，而说：“为何数字美丽呢？这就像是在问贝多芬第九号交响曲为什么会美丽一般。若你不知道为什么，其他人也没办法告诉你为什么。我知道数字是美丽的。且若它们不是美丽的话，世上也没有事物会是美丽的了。”

　　它的最美之处莫过于在无形之中就让你思维变得敏捷．考虑事情时，不在那么偏激，那么单一．

　　作为一个公民来说了不了解它是一个后话，至少应该不否定它．尤其是学生．

品味数学之美
                              ??谈数学课堂情境创设         
      美的事物，总是为人们乐意醉心追求的。然而，一提到美，人们最容易想到的是“江山如此多娇”的自然美，抑或是悦目的图画，动听的乐章、精妙的诗文……这些艺术美。然而，数学，这自然科学的皇后里面，蕴含着比诗画更美丽的境界。正如古希腊数学家普洛克拉斯的一句颇打动人心的名言所说：“哪里有数，哪里就有美。”   
     数学是一门科学，但数学教学却是一门艺术。我常常在思考：数学课上，我以什么来吸引学生、感染学生，我的学生在数学课堂上应该得到什么？在长期的数学教学实践中，我感悟到：数学是科学，数学是艺术，数学蕴涵着人类文化的美。数学教育是面向全体学生的，要以学生的发展为本，让不同的学生得到不同的发展。我们应该让学生成为课堂探究的主角，让课堂成为师生共同发展个性、开发潜能、实现生命价值的舞台。我们与学生一起营造的数学课堂应该是充盈生命活力，促进智慧生成、洋溢生活气息、呈现灵动色彩的课堂。
      源于生活之美
      数学来源于生活，数学课不仅要带领孩子们走进“数”的海洋，它还要再现生活数学的美丽图景。数学的教学如果仅就教学内容进行教学是相当乏味的，只有把我们所要教的数学溶入生活，让孩子有真正的生活体验，数学的美才能显现其动人的色彩。我听过不少的数学课，我常常会自语，这不就是生活吗？孩子们的数学学习是生活，是他们对生活的感悟成就了美丽的数学课堂。有几节认识数的课，如“5”，老师让孩子说出生活中的“5“，孩子们不仅有“手有五指，五边形”这样的答案，还有“奥运五环”“五彩缤纷”“五花八门”等美妙的事物、成语；又如“7”，孩子们除了“一周七天”这样的答案外，还有孩子会说出“七仙女”等美丽的传说。另外的例子是认识“+”号时，老师孩子说说“像什么”，“十字架”、红十字、十字路口等一大堆的生活中的事物就从孩子们的口中崩了出来。我还听过这样课，一位教师上完四边形之后，在小结环节时，请孩子们说这节课学会了什么？一位孩子说，我懂得了我家里的许多东西是四边形，如电视桌、冰箱。家具、楼房、道路、生活用品、学习用品，这些孩子们熟悉的东西，或许还没教几何图形之前，孩子们说不出个所以然来，但当他们学到这里时，当他们把所学的带到生活中去时，他们会突然领悟自己就是生活在一个个“图形”中，这就是他们正在学习的。他们还会领悟，生活中这些美丽的事物就是数学，生活中处处有数学。
       数学是美的，关键是我们要有一双善于发现美的眼睛，要有一颗关于发现美的心灵。在今后的学习过程中，我们将一起去发现，去展示数学中的美。
       用于生活之美
      数学只有契合学生的生活经验才能真正走进学生心里。对小学生来说，数学是现实的、有趣的，有用的、富有挑战性的。溢满生活气息的数学，解决现实问题的数学，才能让学生感到数学的价值，产生积极愉快的情感。数学知识与生活的有效链接能让数学学习更具有实际意义。 
      在一年级第二册教学了“认识人民币”的知识之后，我安排学生们开展一次“小小商店“的数学实践活动。想借助“小小商店”这一学生熟悉的生活背景，通过“角色扮演”的活动形式，进一步加深学生对人民币的认识，掌握人民币的换算及计算方法，培养学生应用数学的意识和能力，同时复习一些简单的数量关系。令我高兴的是，学生们在活动前就热情高涨，兴奋不已，准备了许多物品和复印好的不同面值的人民币，并制作了精巧的标价卡，在活动中扮演营业员的学生能介绍和推销自己的物品，扮演顾客的学生都能有礼貌地挑选、购买喜欢的物品，学生们不仅提高了人民币的换算和计算能力，更重要的是体会到数学与生活的密切联系，学会运用学到的知识妥善的解决一些生活问题。“小小商店”有着数学的生活背景，有着学生乐于参与的空间，让数学贴近生活，让学生体会到生活中充满数学，同时也在应用中感受到“成功”的喜悦。
      生活本身就是一个巨大的数学课堂，数学课堂中，只有再现数学知识与人类生活的密切联系，把鲜活的生活题材引入课堂，用生活问题激活课堂，把学生的生活经验巧用于课堂，生动的生活事例活用于课堂，数学课堂才会有生活之水的滋润，才能充满个性与灵气，才能更加富有情趣和魅力。
      罗丹说：自然总是美的。伽利略则宣称道：自然这本书是用数学语言写成的。哪里有数，哪里就有美。数学总是美的，数学是美的科学。“数学很美！”这是参加本届“国际华人数学家大会”上的数学家们传递出的共同见解。

　　“我无法离开数学。我不知道，除了数学我还能做什么！”“陈省身奖”获得者、纽约大学数学教授林芳华这样说。

　　获得本届“晨兴数学奖”金奖的香港中文大学数学教授辛周平教授表示，当年看过媒体对华罗庚、杨乐等数学家的报道，走上数学的道路；当发现了数学的美时，便欲罢不能了。

　　“我没有理由后悔。数学是最无私的！”辛周平说。

　　大数学家陈省身的弟子、著名华裔科学家丘成桐认为，中国文化倡导的“真善美”与数学追求的“真善美”不谋而合，“这是数学的魅力！”在他看来，大自然中所有的一切都可以用数学公式来描述。

　　数学的美还体现在作为现代科学大厦的厚重、泰然的奠基之美，威力之美。具有悠久历史的数学是人类智慧的结晶，几乎是所有学科的基础。“数学的力量是无穷的！”浙江大学数学研究中心执行主任、本届“晨兴数学奖”金奖获得者刘克峰如此感叹。

　　数学的美还体现在应用上。“数学最吸引我的，是以新方法和新角度，解开自然的奥秘，”本届“晨兴数学奖”应用数学金奖获得者、美国加州理工学院教授侯一钊说：“数学家用自己的语言来描述复杂的自然界。”

　　侯一钊的“计算流体力学”研究成果广泛运用于环境保护和石油开发，美国柏克莱加州大学计算机系和数学系教授刘艾克的研究可使信息传递得更快捷……

　　“数学的美在于简洁，简简单单一个公式，包含了无穷无尽的内容；掌握了它独有的语言，数学就是看得见摸得着的！”中国内地的数学家、本届“晨兴数学奖”获得者朱熹平教授说。

　　“学好数学，兴趣是关键。”中国当代著名数学家、本届大会“陈省身奖”获得者杨乐说。

　　数学家们认为，如何让“数学之美”深入亿万人心田，让学子们对这门学科充满兴趣，满怀热情地为建构中国现代科学大厦和国家未来夯筑基石，这个课题已经摆在了人们面前。

感悟数学之美