word/media/image2.gif 专题十一　阅读理解题

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1．(2019·重庆中考A卷22题)《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．

例如：32是“纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；

23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．

(1)判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；

(2)求出不大于100的“纯数”的个数．

解　(1)2019不是“纯数”，2020是“纯数”．

理由：当n＝2019时，n＋1＝2020，n＋2＝2021，

∵个位是9＋0＋1＝10，需要进位，

∴2019不是“纯数”；

当n＝2020时，n＋1＝2021，n＋2＝2022，

∵个位是0＋1＋2＝3，不需要进位，十位是2＋2＋2＝6，不需要进位，百位为0＋0＋0＝0，不需要进位，千位为2＋2＋2＝6，不需要进位，

∴2020是“纯数”．

(2)由题意可得，

连续的三个自然数个位数字是0,1,2，其他位的数字为0,1,2,3时，不会产生进位，

当这个数是一位自然数时，只能是0,1,2，共3个，

当这个自然数是两位自然数时，十位数字是1,2,3，个位数字是0,1,2，共9个，

当这个数是三位自然数时，只能是100，

由上可得，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13，即不大于100的“纯数”有13个．

2．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：(a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png＋3)(a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png－3)＝－4，(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png＋1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)(9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png－1553867a52c684e18d473467563ea33b.png)＝1，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如ecbaaa4fb6e1cf09d3472177b9d715dc.png＝c6efba63336680780bbc40b05fd0ccce.png＝a59ce3117b23ea9d9e111f3a6c270771.png，beb25e07d673da47062111c369c83250.png＝cade4314dd6e545c5205bbeeac4ed6ad.png＝7＋49097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化．

解决问题：

(1)比较大小：1a4bd80e7f38f691999136f521a8d9a0.png________d419684104c3a4e58f863b009fc8f3c9.png(用“＞”“＜”或“＝”填空)；

(2)计算：ee693e41ce5f97df631d7d729c74e6a7.png＋ebcd7502c652a4dfca4481642fef11bd.png＋e3a6e593fbc0728f5fca13c363ac752a.png＋…＋e1a9a55ede55fa676263437fcae0367e.png；

(3)设实数x，y满足(x＋e9607949061a20a71e7d0811bd0117fb.png)(y＋04297897ea05d68227287251674c7624.png)＝2019，求x＋y＋2019的值．

解　(1)1a4bd80e7f38f691999136f521a8d9a0.png＝ec5b60ee518bb5f71774da0a4c8bdc72.png＝2e204417e2fbdc1040bdbd4bdf34d018.png，

d419684104c3a4e58f863b009fc8f3c9.png＝a34452a083be0efa14cd8538117e9b5f.png＝f32ddca517958e2b890b142caf9fa207.png，

∵fa4a92309c2de95d317265960bf451b0.png＋2＞a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png＋9097ad464ca3f4d87bfa261a719ba953.png，∴1a4bd80e7f38f691999136f521a8d9a0.png＞d419684104c3a4e58f863b009fc8f3c9.png .

(2)原式＝28e6d851287ff4ef10a156fd6ca77dab8.png＝2c17430ac3cde8f6a10a42b6afe7de77a.png＝28c02bbe6f8a8d4ac9e91766c24d60ef5.png＝1－adc4e05355b01bd64fb523c542e96e2e.png＝1－1ca96f99cf0461340349d91891a656b8.png.

(3)∵(x＋ e9607949061a20a71e7d0811bd0117fb.png)(y＋ 04297897ea05d68227287251674c7624.png)＝2019，

∴x＋ e9607949061a20a71e7d0811bd0117fb.png＝22c655342600cd6051a1cbb499a29cb8.png

＝518737b9a540b6d6aae242149e9bf676.png

＝ 04297897ea05d68227287251674c7624.png－y，①

同理可得

y＋ 04297897ea05d68227287251674c7624.png＝c2d944efcfc87388eb9bbb660a21b77c.png

＝ecf37aaba987c06c10d495f57df8f012.png

＝ e9607949061a20a71e7d0811bd0117fb.png－x，②

①＋②得x＋y＝0，∴x＋y＋2019＝2019.

3．阅读材料：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算中往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数(分式)的加减法，将假分数(分式)拆分成一个整数(或整式)与一个真分数的和(或差)的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明．

解：9f518434b2da55d1858c0da93ae9373b.png＝58f42c7a1ea3f0cfcf004a34c759fb6e.png＝9b29ec062aa678002a997901ff0c432e.png－6df87b829dbe9954eea811e22f5490ed.png＋b5356f15b6aae8fde0c6507f00d00861.png＝x－2＋b5356f15b6aae8fde0c6507f00d00861.png.

这样，分式9f518434b2da55d1858c0da93ae9373b.png就拆分成一个整式x－2与一个分式b5356f15b6aae8fde0c6507f00d00861.png的和的形式．

解决问题：

(1)将分式452c245e1121a8dc04d6594058825373.png拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为________；

(2)已知整数x使分式f36c75e938ddc82c4708409168f02fbb.png的值为整数，则满足条件的整数x＝________；

(3)若关于x的方程2x2＋(1－2a)x＋(4－3a)＝0有整数解，求正整数a的值．

解　(1)x＋7＋237c1749fef7238ed9f3c05e453a8750.png　[解法提示]

452c245e1121a8dc04d6594058825373.png＝3a85bb9c5bddffa9bd9e28b782a64423.png＝x－1＋8＋237c1749fef7238ed9f3c05e453a8750.png＝x＋7＋237c1749fef7238ed9f3c05e453a8750.png.故结果为x＋7＋237c1749fef7238ed9f3c05e453a8750.png.

(2)2,4,16，－10　[解法提示]

f36c75e938ddc82c4708409168f02fbb.png＝7b45acc25b99899da050da89fdd1d756.png

＝6e266e93e1ca5d826f70559659fa140d.png

＝2x＋11＋3e03a823199c2a3a1ac08bcc83d0cf8b.png.

要使原式的值为整数，则3e03a823199c2a3a1ac08bcc83d0cf8b.png为整数，故x＝2,4,16，－10.

(3)∵2x2＋(1－2a)x＋(4－3a)＝0，

∴2x2＋x－2ax＋4－3a＝0，

即(2x＋3)a＝2x2＋x＋4，

∴a＝9397f16c21d7a0f2ca369c3f65ff5eb4.png＝b1683badf2b3f3079bb188d097950239.png

＝x－1＋428e4225e7f785b6bc8be8ce51e65f36.png.

又∵a，x均为整数，∴2x＋3是7的约数，

∴2x＋3＝±1，±7，

∴88208994315512dc19c9937aa7b33923.png或ff8c5ee271b132df062b3afe06e817de.png或f431704ff7362ee51a17c398d236eec2.png或d6b1eed68640beef144ef756d64baf0a.png

又∵a为正整数，∴a＝5或2.

4．阅读下列材料：

已知实数m，n满足(2m2＋n2＋1)(2m2＋n2－1)＝80，试求2m2＋n2的值．

解：设2m2＋n2＝t，则原方程变为(t＋1)(t－1)＝80，整理得t2－1＝80，t2＝81，∴t＝±9，因为2m2＋n2＞0，所以2m2＋n2＝9.

上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．

解决问题：

(1)已知实数x，y满足(2x2＋2y2＋3)(2x2＋2y2－3)＝27，求x2＋y2的值；

(2)若四个连续正整数的积为11880，求这四个连续正整数．

解　(1)令2x2＋2y2＝t，

则原方程变为(t＋3)(t－3)＝27，

整理得，t2－9＝27，

t2＝36.

t＝±6.

∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2＝6，∴x2＋y2＝3.

(2)设四个连续正整数为k－1，k，k＋1，k＋2(k≥2且k为整数)．

由题得(k－1)k(k＋1)(k＋2)＝11880，

∴(k－1)(k＋2)k(k＋1)＝11880，

∴(k2＋k－2)(k2＋k)＝11880.

令t＝k2＋k，

则(t－2)·t＝11880，t2－2t－11880＝0，

∴t1＝110，t2＝－108(舍去)，

则k2＋k＝110，得k1＝10，k2＝－11(舍去)．

综上，四个连续正整数为9,10,11,12.

5．阅读材料：

材料一：对实数a，b，定义T(a，b)的含义为：当a＜b时，T(a，b)＝a＋b；当a≥b时，T(a，b)＝a－b.

例如：T(1,3)＝1＋3＝4；T(2，－1)＝2－(－1)＝3.

材料二：关于数学家高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：1＋2＋3＋4＋…＋100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.

也可以这样理解：令S＝1＋2＋3＋…＋100①，则S＝100＋99＋…＋3＋2＋1②，①＋②得2S＝52a77b900ea9663f7f70ffd46e0ce646.png＝100×(1＋100)＝10100，

即S＝db6d4478a55b6e3cc922604374f0eb48.png＝5050.

解决问题：

(1)已知x＋y＝10，且x＞y，求T(5，x)－T(5，y)的值；

(2)对于正数m，有T(m2＋1，－1)＝3，

求T(1，m＋99)＋T(2，m＋99)＋T(3，m＋99)＋…＋T(199，m＋99)的值．

解　(1)∵x＋y＝10，且x＞y，∴x＞5，y＜5.

∴T(5，x)－T(5，y)＝(5＋x)－(5－y)＝x＋y＝10.

(2)∵m2＋1＞－1，∴m2＋1－(－1)＝3，

∵m＞0，∴m＝1，

∴T(1，m＋99)＋T(2，m＋99)＋T(3，m＋99)＋…＋T(199，m＋99)

＝T(1,100)＋T(2,100)＋T(3,100)＋…＋T(199，100)

＝(1＋100)＋(2＋100)＋…＋(99＋100)＋(100－100)＋(101－100)＋…＋(199－100)

＝(1＋2＋3＋…＋199)－100

＝0ad13c3d46073df5df3ea99597605cf5.png－100＝19900－100＝19800.

6．(热点信息)在现今“互联网＋”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3＋x2－4x－4因式分解的结果为(x＋1)(x＋2)(x－2)，当x＝15时，x＋1＝16，x＋2＝17，x－2＝13，此时可以得到数字密码161713.

(1)根据上述方法，当x＝20，y＝17时，对于多项式x2y＋x2＋xy＋x分解因式后可以形成哪些数字密码？(写出三个)

(2)若多项式x3＋(m－3n)x2－nx－21因式分解后，利用本题的方法，当x＝27时可以得到其中一个密码为242834，求m，n的值．

解　(1)x2y＋x2＋xy＋x＝x(xy＋x＋y＋1)＝x(x＋1)(y＋1)．

∴当x＝20，y＝17时，x＝20，x＋1＝21，y＋1＝18.

∴形成的数字密码可以是202118,211820,182021(其他结果合理即可)．

(2)由题意得，x3＋(m－3n)x2－nx－21＝(x－3)(x＋1)(x＋7)，

∵(x－3)(x＋1)(x＋7)＝x3＋5x2－17x－21，

∴x3＋(m－3n)x2－nx－21＝x3＋5x2－17x－21.

∴b73fe76d6e402909c411be68682851b1.png解得064ca5c68d5352bebce35f0bdb298778.png

∴m，n的值分别是56,17.

7．已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”．如果一个数既是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”．例如321，∵3＝2＋1，∴321是“和数”，∵3＝22－12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．

(1)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；

(2)已知a＝10m＋4n＋716(0≤m≤7,1≤n≤3，且m，n均为正整数)是一个“和数”，请求出所有a的值．

解　(1)证明：设“谐数”的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z(1≤x≤9,0≤y≤9,0≤z≤9且y＞z，x，y，z均为整数)，

由题意知x＝y2－z2＝(y＋z)(y－z)，

∴x＋y＋z＝(y＋z)(y－z)＋y＋z＝(y＋z)(y－z＋1)．

∵y＋z，y－z的奇偶性相同，

∴y＋z，y－z＋1必然一奇一偶．

∴(y＋z)(y－z＋1)必是偶数．

∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数．

(2)∵0≤m≤7，∴2≤m＋2≤9.

∵1≤n≤3，∴4≤4n≤12.∴10≤4n＋6≤18，

∴a＝10m＋4n＋716

＝7×100＋(m＋1)×10＋(4n＋6)

＝7×100＋(m＋2)×10＋(4n＋6－10)

＝7×100＋(m＋2)×10＋(4n－4)，

∵a为“和数”，∴7＝m＋2＋4n－4，即m＋4n＝9.

∵0≤m≤7,1≤n≤3，且m，n均为正整数，

∴845ed4f4616da55a56aa0cbfe3decc03.png或37941c7060a0a0666a95248473c23c49.png∴a的值为734或770.

8．如果一个正整数m能写成m＝a2－b2(a，b均为正整数，且a≠b)，我们称这个数为“平方差数”，则a，b为m的一个平方差分解，规定：F(m)＝262149c545b9c30dc95bb7e2826df444.png.

例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)，可得fd7d144c922ac9efa6c40ba30990206e.png或149a6b29a7f8c55dcf56ad6ddcc7cbaf.png因为a，b为正整数，解得fb046d1f14eccf4596759c7e701a1b9a.png所以F(8)＝7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png.

又例如：48＝132－112＝82－42＝72－12，所以F(48)＝58e41ed067a559723cf3d1b927bb0938.png或df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png或07a259d3e3c2ccb207739fa1a11ea8be.png.

(1)判断：6________平方差数(填“是”或“不是”)，并求F(45)的值；

(2)若s是一个三位数，t是一个两位数，s＝100x＋5，t＝10y＋x(1≤x≤4,1≤y≤9，x，y是整数)，且满足s＋t是11的倍数，求F(t)的最大值．

解　(1)不是

[解法提示]　根据题意，6＝2×3＝1×6，由6＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)可得，7e443aeda03ef54de427319913cf4325.png或0b1afddd38b32dd07e81f7a613d9ac1b.png

因为a，b为正整数，则可判断出6不是平方差数．

根据题意，45＝3×15＝5×9＝1×45，由45＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)，

可得3bf7337d6eaf8ef2ec62f864385a306d.png或8f8119ac026d884329e7c20737e77330.png或42a6bfe7129c499c7142042c667ba9b5.png

∵a和b都为正整数，

解得afcda06344936a2b7f1173dde54d824b.png或10e9af49c6167af7b97ec185ad470df1.png或61d0cb5b931c32d364ad840bf6d5cc11.png

∴F(45)＝6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png或bd924a527027043a59f7cf2ce4d28e0b.png或fb2a85e4a85ebce0508aa15c64d1f397.png.

(2)根据题意，s＝100x＋5，t＝10y＋x，

∴s＋t＝100x＋10y＋x＋5.

∵1≤x≤4,1≤y≤9，x，y是整数，

∴100≤100x≤400,10≤10y≤90,6≤x＋5≤9，

∴116≤s＋t≤499.

∵s＋t为11的倍数，

∴s＋t最小为11的11倍，最大为11的45倍．

∵100x末位为0,10y末位为0，x＋5末位为6到9之间的任意一个整数，

∴s＋t的末位是6到9之间的任意一个整数．

①当x＝1时，x＋5＝6，

∴11×16＝176，此时x＝1，y＝7，

∴t＝71.

根据题意，71＝71×1，由71＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)，可得

04e0d2df6846baf672955bad829254dc.png解得5236dcd4f1430f65ad0369c01a8075d6.png∴F(t)＝046b97e6bab72a26ee9699fcbc457c2f.png.

②当x＝2时，x＋5＝7，

∴11×27＝297，此时x＝2，y＝9.

∴t＝92.

根据题意，92＝92×1＝46×2＝23×4，

由92＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)，

可得2585339f1c0e8fd635ed9d518616ef90.png或7be341df3b56f372adf1f176af78e5e5.png或229de42fec8de75794880dee0e7e7aff.png

解得27cc26890cd5337e3b0832d551587968.png

∴F(t)＝7e46d8e99677415eedc66f51b58f457c.png.

③当x＝3时，x＋5＝8，

∴11×38＝418，此时x＝3，y没有符合题意的值，

∴11×28＝308，此时x＝3，y没有符合题意的值．

④当x＝4时，x＋5＝9，∴11×39＝429，此时x＝4，y＝2.

∴t＝24.

根据题意，24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，由24＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)，可得f097d8e61b17cdd34b1d8f89e2e787d7.png或f93be7067dbf2960457a263946aaa09c.png或2a6762e64fd3f3096798e98a1cf6d3a2.png或922d5dd1e9f86df5205d7ee1bb8944af.png

解得3928fb92dc34d9ecc12e68cd4268944e.png或10bcd2fce6ee7341d57e006c2c6ac955.png∴F(t)＝395220691f780148c416c2ea9856fe5d.png或126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png.

11×49＝539不符合题意．

综上，F(t)＝046b97e6bab72a26ee9699fcbc457c2f.png或7e46d8e99677415eedc66f51b58f457c.png或395220691f780148c416c2ea9856fe5d.png或126f8d196d9a1d04aab0b871fe021416.png.

∴F(t)的最大值为046b97e6bab72a26ee9699fcbc457c2f.png.

9．(1)问题发现：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接EC，则①∠ACE的度数是________；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是________；

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(2)拓展探究：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接EC，请写出∠ACE的度数及线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；

(3)解决问题：如图3，在四边形ADBC中，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝90°.若BD＝3，CD＝5，请直接写出AD的长．

word/media/image2.gif

解　(1)①60°　②AC＝CD＋CE

[解法提示]　由题意，得△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°.

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.

∴△BAD≌△CAE(SAS)．

∴∠ACE＝∠B＝60°，BD＝CE.

∴AC＝BC＝CD＋BD＝CD＋CE.

(2)∠ACE＝45°，1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngAC＝CD＋CE.

理由：由题意，得∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE.

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC.即∠BAD＝∠CAE.

∴△BAD≌△CAE.

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°.

∴BC＝CD＋BD＝CD＋CE.

∵BC＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngAC，∴1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngAC＝CD＋CE.

(3)AD的长为1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

[解法提示]　过点A作AE⊥AD交DC于点E，则∠DAB＝∠EAC.

∵∠BDC＝90°，

∴∠DBA＋∠ABC＋∠DCB＝90°.

∴∠DBA＋45°＋(45°－∠ECA)＝90°.

∴∠DBA＝∠ECA.

又AB＝AC.

∴△BAD≌△CAE(ASA)．

∴BD＝CE，AD＝AE，

∴CD－BD＝CD－CE＝DE，而DE＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngAD，

∴CD－BD＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.pngAD，

∴AD＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

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