河南省天一大联考2020-2021学年高三阶段性测试（三）数学（理）试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合b9ecaf414065045d84aa8fac9ee5ddc6.png，191028a1ac3a8e8c35bd9942e4a28b13.png，则1e49ca292213f572d50c447279071024.png（ ）

A．14c54aea61b43010ba3c248c7cf06954.png B．82254f5ded88d3fae547d38441a643b0.png C．09354d43b83a9fcdb3a4a95ab78c9590.png D．45317154d629cab487cdb2d96c343f76.png

2．已知复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png满足d41556b385e0bb7ab3f8139c386c59de.png，则d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png在复平面内对应的点位于（ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

3．执行如图所示的程序框图，则输出的0f49a09644cc7c2ed83a3fa0d34fc186.png（ ）

A．e4da3b7fbbce2345d7772b0674a318d5.png B．a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png C．eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png D．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png

4．已知等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差不为0，d412c58e1a390d759cb789f3b2f858b8.png，且3245e1e5ae22ab11774bb424bcc68e53.png是0f768ac5d5dea8d93716a27da05871de.png与2cd2e15f726fd0f7061a922e3e1c37d5.png的等比中项，则02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png项和为（ ）

A．d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png B．cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png C．c1d2da77698bee7499d4bd00dae127af.png D．e96c055446f0244d09ef05db3ddd7a07.png

5．已知ca7d18150454e493bc04471acdc74e9c.png，则6d570c605c555e554e3fa7ed63b04787.png（ ）

A．0f1af1f75945c10f599368811e2d8a64.png B．78765135b843405b59bf576faadb08fb.png C．0772f4bd4c7d98f2c9925e619dfa54ce.png D．2bb28f88a26144134ab4cfb1fb38cef0.png

6．若方程4badcc4c05c5ff5a03fc4f96572bbb35.png有实根，则实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围为（ ）

A．60fc38f4a1163b499b52d0488dd31b6b.png B．d8692a945cf96b219cf6effd108676b4.png C．450db401bb9024f15c73fb0f6c89d167.png D．d89752febfa575d74923bd928696c97e.png

7．如图，网格纸上小正方形的边长为c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A．6f4922f45568161a8cdf4ad2299f6d23.png B．a1dec09b2ac7f8a487e689e349145915.png C．19ca14e7ea6328a42e0eb13d585e4c22.png D．642e92efb79421734881b53e1e1b18b6.png

8．已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是递增的等比数列，8852b4209e3dff7206db1e67d0ca2826.png，3c9ae3330dcf92c50528c7d55fecbb85.png，则84ba3a6210a33fe428153e18985b935a.png（ ）

A．fa21af7b4aa2fa85d9ddbe5a4ea785ad.png B．545d7812bbf630d7929e6c909cdbdae5.png C．1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png D．665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png

9．如图所示，75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）

A．20316e049aa678619c517209b36178b8.png B．14192548c3171898c38a86c0db2d54a7.png C．8b6297c14c6c9da21a47b069b55563ab.png D．01803bb2ce1c629ce7e95aa77f556407.png

10．已知三棱锥a0531cd12b1e318decdc4091a47d348d.png内接于球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，4beaf92c5cc3045c616111dd3c705eb1.png，d5cb7a2e46d435270e880b36491a3b39.png，877dbe7b7363064ca5b71d98d99a595b.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，则球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的表面积为（ ）

A．aa1d24b938522cde427ca99c8d9f2215.png B．eb6d9e50bde11db7b14b43f8bad7ca3c.png C．e6b6d83533d5aa177cb85106d1cc8f85.png D．ec289f01ec4ff1356f8ccde3fed3e951.png

11．如图所示，在直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png和07319b045665bc28971ccc8f3e9d46b9.png都是等腰直角三角形，54ad852d6fb51c3f79a950cecb8a8afe.png，且6a2917712b6764fb8a0aed3808b97763.png.若点92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png和点3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png都在抛物线c41d2a58a25b47f596263c85da4f9338.png上，则75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png与07319b045665bc28971ccc8f3e9d46b9.png的面积的比值为（ ）

A．0f1af1f75945c10f599368811e2d8a64.png B．38dd3727e1a7b7b95436a629299b701a.png

C．4d8d7ba05e6c70bedca6ca67b56e1543.png D．c8168f582ccafb1cc49f0ef6d5a66f3b.png

12．设函数37b36ce6a38cafd5a171742a9b19b8c6.png是函数fa733fe49e44199193f9c4dccef099a1.png的导函数，当7f36509f20b76eba66f86f3316fd7d8e.png时，ae78446ab83fdd99437500aae91714ff.png，则函数01ff60f704bcffe8071b0b38a1c6e6dc.png的零点个数为（ ）

A．3 B．2

C．1 D．0

二、填空题

13．已知向量d36713ce35c6d957160529246af2e4e1.png，2746f02173cb63cfd78f8fd7bc4667b3.png，ff6078fdc69a06d0d28cceb0680a2caa.png，则向量3097fd665477c9cb035accbfad527502.png与7d9b02bad4f125a2a1d637cae4f3b002.png的夹角2dc08b5e737024bb175e0512213c9919.png______.

14．已知双曲线b4262127bb0b83a3e35590f39b24a45e.png的渐近线方程为d446a973f8c9f0b3d13e2e01ba1771a0.png，点d80f918f496a9f3f7837266b2078b14a.png到右焦点800618943025315f869e4e1f09471012.png的距离为44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png，则92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程为______.

15．已知函数d5cb1b0df41987c32628b120a9f54909.png满足49d4028196f9723384803a4398141de3.png，且ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png在区间98e8bb920a9457ccdef5cbfa07ae4e92.png上单调递减，则45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png的值为______.

16．设函数67257d84b4aa7cb3efde8dbd9b0ca14b.png，9882491e91dd3beadf27741b28f293b1.png，若e96236d6cb8ae73e3bb56562c6a849e8.png，使得1e66be94a69f6a2fb491790a8b17bd87.png，不等式e0fc94f480b1f2642aed71024c1d85ba.png恒成立，则实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围是______.

17．设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和为44d853a7808a331d95220fcb38095649.png，175d684989d24d80b7f2e1d9651e21bb.png，6821cf2b0a80b1a7817c95cc663859a8.png，a28c14afb37a9297b54ecb035ca13dd2.png.

（1）求44d853a7808a331d95220fcb38095649.png；

（2）数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png满足2c8c0378faa67e47d694bca721e233c9.png，求数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的前7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png项和0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

三、解答题

18．已知75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的内角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png、92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的对边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png、4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，b1fbf7c20844bbe3929264eb5324ccbd.png，3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png，4847acef124418c705153576282ebd02.png.

（1）求角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png；

（2）求75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积.

19．在直四棱柱fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png中，底面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是菱形，6d4edae4f0fd21a877c7ff441d3cec6a.png，5dc05af8f8823aa73dcea79b9a5674f0.png，3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png、800618943025315f869e4e1f09471012.png分别是线段0015406e37745015ae5e1e74e78420f9.png、bcae6b96f03706dfc6022456fee2706a.png的中点.

（1）求证：377f6df4c717b6609112c04331067ea2.png；

（2）求平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png与平面078710aec914075619cd9d893b1cb38c.png所成锐二面角的余弦值.

20．某社区f899139df5e1059396431415e770c6dd.png名居民参加ea6b2efbdd4255a9f1b3bbc6399b58f4.png年国庆活动，他们的年龄在34173cb38f07f89ddbebc2ac9128303f.png岁至f033ab37c30201f73f142449d037028d.png岁之间，将年龄按1fcb738a4d70fba66f4bfab3d532ca2a.png、0468b266fa58b5ef44b1dc9e5551206b.png、70a503327e56180c492750aa13cabbf5.png、7b5839a039b6990b895fd3092c680d40.png、83a7da42b3582bb515833b4c6c8dccb0.png分组，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值，并求该社区参加ea6b2efbdd4255a9f1b3bbc6399b58f4.png年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；

（2）现从年龄在70a503327e56180c492750aa13cabbf5.png、83a7da42b3582bb515833b4c6c8dccb0.png的人员中按分层抽样的方法抽取c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png人，再从这c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png人中随机抽取eccbc87e4b5ce2fe28308fd9f2a7baf3.png人进行座谈，用02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png表示参与座谈的居民的年龄在83a7da42b3582bb515833b4c6c8dccb0.png的人数，求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列和数学期望；

（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地34173cb38f07f89ddbebc2ac9128303f.png岁至f033ab37c30201f73f142449d037028d.png岁之间的市民中抽取98f13708210194c475687be6106a3b84.png名进行调查，其中有8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png名市民的年龄在29a37b961ed331356043250846903c86.png的概率为464c11157a8c9899734be8cbe83f8947.png，当3d4f699e01bfdbaedd32697b36350a56.png最大时，求8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的值.

21．已知椭圆0eca03d989d4eba51a30ceddfbe7e542.png的长轴长与焦距分别为方程db6830e52c243c8efd846b9235833f7e.png的两个实数根.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png过点b115c46936305e6835eeb63b3faeed06.png且与椭圆相交于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，800618943025315f869e4e1f09471012.png是椭圆的左焦点，当20eb76627cc9c26759c3e7c834103ee7.png面积最大时，求直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率.

22．已知ea07f419f0bb38cd5639126242d758db.png，函数59ace9818432a11b3dd05c70558646ae.png.

（1）若ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png，证明：当17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png时，b23db48f1107a994ecfb07c3e4d3077f.png；

（2）若e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是ad7ac2fcd2e22b7a507152d28ef55c97.png的极小值点，求0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围.

参考答案

1．B

【分析】

解出集合7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，然后利用交集的定义可计算出集合08d9c3e284852dcd7b3af129ffd73578.png.

【详解】

由39e78609f47d784d0fe9ec86c3d6ef3e.png得0ee58e5714379e348915db79d193bff8.png，即4d8ba6064fb6759f492b228f17a63bf9.png，8ef8837a0b0cf79a24c832a4420cbd14.png，

所以94a678d9d4aa0c51b410c0e0adfbc9c5.png.

故选：B.

【点睛】

本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.

2．B

【分析】

利用复数的除法将复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png表示为一般形式，可得出复数d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png，即可判断出复数d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png在复平面内对应的点所在的象限.

【详解】

因为d41556b385e0bb7ab3f8139c386c59de.png，所以d437708dbed4b71cdf58a2e6fd8ec07f.png，1c12fc9aca677ec28fdcd3ae80eef8df.png.

所以复数d2424dd8c4b02d3a92c451a741064fdc.png在复平面内对应的点为e38eef05d7fa6f95611475f22c41f830.png，位于第三象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.

3．D

【分析】

列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果.

【详解】

该程序的运行过程为：

ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png，0daca570410e633ef534e720f5d54852.png，1a382af93ed4b8a29ebd8e859a0168d7.png，判断框条件不成立，开始执行循环体；

7e59ae1cb5f536cc216d3ed91134b113.png，3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png，1a382af93ed4b8a29ebd8e859a0168d7.png，继续循环；82bd31ca43ce9827c52a8feb2edd11dc.png，83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，1a382af93ed4b8a29ebd8e859a0168d7.png，继续循环；

f98b61db00d65e75a6feb1907424a719.png，3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png，1a382af93ed4b8a29ebd8e859a0168d7.png，继续循环；19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png，3c9d2347726735da8c5c1ed9a44f5759.png，46fa7900cc397f3a4b3fa2e72d6885e7.png，跳出循环，输出19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.

4．C

【分析】

设等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为8277e0910d750195b448797616e091ad.png，可知70c3b0045afdc51be2540c9d3191da7b.png，由题意得出e4bdee8c88891175ac3061fa55ef0e84.png，求出8277e0910d750195b448797616e091ad.png的值，可求出8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png和a2ed218512aed1dfed615c64f8e5bfe2.png的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png项和.

【详解】

设等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公差为d2dbc814649fb2159e96c0f2bb8d9242.png，由已知得e4bdee8c88891175ac3061fa55ef0e84.png，解得87dd9e833d58394690e907aed4c2e01c.png.所以baaa85f070452021a965d654c96d4bdc.png，93b2ecbce572865869d681d38111a1cb.png，

所以02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的前d3d9446802a44259755d38e6d163e820.png项和1e152bbbdd953140d3463432c1a9fa01.png.

故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题.

5．A

【分析】

利用诱导公式得出73d4dec281c075873e111a8f4e6db887.png，然后利用二倍角的余弦公式可计算出40d4e13a7d3ab46ab900d55719c8f6e2.png的值.

【详解】

因为ca7d18150454e493bc04471acdc74e9c.png，所以3ca2e8289687112df5d379c85ed322b5.png79a051260e33be7b45d7d56944d2bf71.png.

故选：A.

【点睛】

本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.

6．D

【分析】

利用参变量分离法得出bac14b5f1c85e609cfe0f6dcf3e4e956.png，令743efe57ce81b734d529457d97ed48d0.png，可得出实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围即为函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的值域，利用二次函数的基本性质求解即可.

【详解】

方程4badcc4c05c5ff5a03fc4f96572bbb35.png即4702a578837f895c59639a09725d84a1.png，

则bac14b5f1c85e609cfe0f6dcf3e4e956.png，设743efe57ce81b734d529457d97ed48d0.png.

0e5f256e1257b516144961824d2a1f9e.png，11442de46686d793abe30b10e91eba74.png的值域为d89752febfa575d74923bd928696c97e.png.

f2eabb677c74c2da92c37f96ef6bd9a2.png原方程有实根，95e029696a8e77db6f75665e6464c095.png实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围为d89752febfa575d74923bd928696c97e.png.

故选：D.

【点睛】

本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间05132f14fb0a837981cc8b0715c9165f.png上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.

7．C

【分析】

由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.

【详解】

由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥a0531cd12b1e318decdc4091a47d348d.png，且正方体的棱长为1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png.

如图，底面三角形8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的面积为a947c7d8353a0bbb3be2e3857e72be2c.png，高（点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png到平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png的距离）为1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png，

所以该几何体的体积8ea57224306366f1774773fa0d97fe0c.png.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.

8．A

【分析】

设等比数列公比为835372d52cbf3069da974c246201a23d.png，由题意列出关于8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png和7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png的方程组，解出即可.

【详解】

设02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的公比为7694f4a66316e53c8cdd9d9954bd611d.png，则835372d52cbf3069da974c246201a23d.png，由题意得8d0e568c7bf1bf03791f33145bd4ab56.png，所以fd4364cb84960e57d8cdd75f63edda49.png，得2233ec7b0ccbb1d0a8cda92780f4d5b3.png，

解得de9dcc92a899f85989ba219dc64d18a0.png.

因为02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是递增的等比数列，所以f855a4548a10970ecd6ca2f4bbd999a4.png.

因为42888e7648b82de4c79233b3441d8738.png，所以2ded1020553f1b83da10be067e12f761.png，所以46452181a0d5818bcfda81f616e7044d.png.

故选：A.

【点睛】

本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.

9．B

【分析】

设圆的半径为4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png，利用几何关系得出正三角形902fbdd2b1df0c4f70b4a5d23525e932.png的高为77af6cb8f22b17c663aa3da7f90fc798.png，然后利用锐角三角函数计算出e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率.

【详解】

如图所示，取b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png边的中线4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png，则三个圆心都在线段4170acd6af571e8d0d59fdad999cc605.png上，

设最上面的圆的圆心为f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，圆f186217753c37b9b9f958d906208506e.png与f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的切点为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png，

易知e6b9c3fcd06cb55f0fa8591bb357ad9b.png，所以8be2b6ed910bb68285baf95d94b7ed3a.png.

设圆的半径268cb43b13488f9e590675f37ac445d1.png，73e72fe21f8efd37f0e7566cb92ed11a.png，则5fea65ffe4d254875905552650cba779.png，所以890808fa4d1c665f2f8fab02ba8c548a.png.所以9ace71b7ebf08699f53c64d547cddd50.png，而阴影部分的面积为8baaac606d9d80e17e5b63aa5b76e8ce.png，

所以所求的概率6f3027b67f40ca3448e5325bad7a517d.png.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.

10．C

【分析】

先得出508d5fbc02bff8b36bc1db81015e5b26.png为等边三角形，设其中心为dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，可得知f02b0ffee4b32df367c09741dc9d442f.png，由正弦定理求出461b1990fe86af962cd15a16a26dceb8.png，利用公式50bf6eb4fd8610ba5d672b2f4a9e00fa.png可计算出球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的半径e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png，然后利用球体的表面积公式可计算出球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的表面积.

【详解】

如图，因为17e5c6b06965b51ea24f98ce9a19d558.png，7d75d3a5fce61c200a882f495232c32e.png，所以508d5fbc02bff8b36bc1db81015e5b26.png是等边三角形，设其中心为dfcf28d0734569a6a693bc8194de62bf.png，则2b47260a550dab7965eb4156ada9b9c9.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，因为877dbe7b7363064ca5b71d98d99a595b.png平面8539ef1fba74a70f5a77fcc3f25c1659.png，所以6bf95a8a65164b5d7a3b47f948acc2ae.png.

由正弦定理得f3c2f34030ab492cd8a246d5164a5eee.png，则3547c792dc7098ffa15810760e8b0ad3.png，

所以外接球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的半径9197f7925334a166aaeb3f83a6dfb39c.png，球f186217753c37b9b9f958d906208506e.png的表面积为2cbe3e202b46f266d463f7c42a64c560.png.

故选：C.

【点睛】

本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.

11．B

【分析】

设3948bca9ad46459bddfdf81d75bb7efa.png，4eb39ecf462d22ec4764bb2951e05f36.png，可得43549ad1d197d5d88454420ee80fc175.png，f91fdcc6ce7d5fafb76f495ffa476014.png，再将点92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png、3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png代入抛物线的方程，可得出033b571c237d78ae1c9908427fdf52ce.png的值，由此可得出75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png与07319b045665bc28971ccc8f3e9d46b9.png的面积的比值为1382ef5fd33337005927a5553cf9eef5.png，即可得出答案.

【详解】

设3948bca9ad46459bddfdf81d75bb7efa.png，4eb39ecf462d22ec4764bb2951e05f36.png，则点43549ad1d197d5d88454420ee80fc175.png，f91fdcc6ce7d5fafb76f495ffa476014.png，

代入抛物线的方程，得db30ee44c0bbd588f208e1e4af72c57e.png，

整理得c03cf1120da21b54983d125b2a69b802.png，解得cf6432ee598a4a061c36da95f8bbd218.png（负值舍去），故b16a0c42f87998211539b41cdaef7cef.png.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

12．D

【分析】

构造函数166099ec71884260b37ff7793079de14.png，可得出09ae133334adb4dfe60139f227158be7.png，利用导数研究函数34e1cf0da676e868500df342db3cb1c8.png的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数34e1cf0da676e868500df342db3cb1c8.png无零点，从而得出函数09ae133334adb4dfe60139f227158be7.png的零点个数.

【详解】

设166099ec71884260b37ff7793079de14.png，则97fa144c42121ccd16e5ff614655eea3.png.

当7f36509f20b76eba66f86f3316fd7d8e.png时，ae78446ab83fdd99437500aae91714ff.png，

当887fb68a10cbd4369b27c90bee0334d8.png时，6dbc9a1cbc1a8197cc7d20761b026b28.png，故b48211cbf57086693faa261e31696904.png，所以，函数34e1cf0da676e868500df342db3cb1c8.png在b921db311612fd3665c51872c7a83455.png上单调递减；

当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，e408401ac111e0ea210c5d8a64b80a97.png，故23fa3d4947bdb627b0b25c2a5773ccc9.png，所以，函数34e1cf0da676e868500df342db3cb1c8.png在b6467aa5bacf90f23a6abd3cbb9905a3.png上单调递增.

所以b2d530ca0127003a75fc4f7bf09a3d61.png，所以，函数34e1cf0da676e868500df342db3cb1c8.png没有零点，

故4848c5bcf533c5df2aafe896a4a7568d.png也没有零点.

故选：D.

【点睛】

本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.

13．81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png

【分析】

计算出f4c9722ba37437156d9f0713a8e998fa.png的值，利用平面向量数量积的定义计算出321b88021c7de8cd6be42ebe3c7fb0df.png的值，结合角7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png的取值范围可求出7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png的值.

【详解】

因为93f5d0d91886ccf250253d6eeb6b2608.png，所以565b4ed603bb391e62d628eac1032d5b.png，因为c7f27b6e4ea12d4097887e90b7a62267.png，40c4a96c9489d420b043c899e22294b8.png，所以03ff666240c21d7a28551516e167c6fa.png.因为4056bbdde0f57f51c21d6da029241e22.png，所以2a0f7ff8aab38f3e6aa80f92b3cddafc.png.

故答案为：81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png.

【点睛】

本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.

14．1192a63e5d53af7814947303bc455e1a.png

【分析】

设双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的半焦距为4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，由7e510b3c4bab1fcaa814d0485276358c.png求出4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的值，由双曲线的渐近线方程得出f43655a08fef997fababb9c4219d83c5.png，可求出离心率的值，可计算出0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值，从而得出双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程.

【详解】

设双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的半焦距为4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，因为点d80f918f496a9f3f7837266b2078b14a.png到右焦点的距离为44dd454ebaaa58a80fe43f4a19faf2df.png，所以5adbff25eee48732460786e0ca7513f0.png，解得2df112896cb252b1a2b333525b4bd05d.png或eef18c5408a061575ce4af52665952ef.png（舍去）.因为f43655a08fef997fababb9c4219d83c5.png，所以6f8c8a94d50051d2880c814dc811d22a.png，所以3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png，68b63e44de2326defe7e7252cd30d2aa.png，所以双曲线92cc336a9f163d4c6870d8e016934cfb.png的方程为1192a63e5d53af7814947303bc455e1a.png.

故答案为：1192a63e5d53af7814947303bc455e1a.png.

【点睛】

本题考查双曲线的标准方程的求解，同时也涉及了双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中等题.

15．c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png或665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png

【分析】

先由4def7d820b9335b352251c958cbbfce6.png，结合6c4dbec1c9102e1076a6a6ca04576cf0.png的范围，求出0616a89150db139b02f2093ad68bf5dd.png，再由6dc6539997d30288bc5f9fbfcdd6fc23.png，得出c2f53226cbb2f3290153a9cc22c8cf47.png或2f969f8b4ca020ebda9318f36343f618.png，可得出2802f00fcbbd393bfd6dc6a04163e5e4.png或03651aa1fe26339e337474d69f7b6018.png，其中6f16bcab8b2621a05fee0bf0374f00d6.png，再由区间98e8bb920a9457ccdef5cbfa07ae4e92.png的长度不超过半个周期得出45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png的范围，可确定出45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png的可能取值，再结合条件“函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在区间98e8bb920a9457ccdef5cbfa07ae4e92.png上单调递减”进行检验，可得出45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png的值.

【详解】

因为4def7d820b9335b352251c958cbbfce6.png，所以f4e807e10cca29a394be6d7f35bfe0f1.png，因为d49009518271bd3a068950f20e443680.png，所以0616a89150db139b02f2093ad68bf5dd.png.

由6dc6539997d30288bc5f9fbfcdd6fc23.png，得461528aad644c217e487f6b2e8d2366f.png，所以c2f53226cbb2f3290153a9cc22c8cf47.png或2f969f8b4ca020ebda9318f36343f618.png，所以2802f00fcbbd393bfd6dc6a04163e5e4.png或03651aa1fe26339e337474d69f7b6018.png，其中6f16bcab8b2621a05fee0bf0374f00d6.png.因为5970abe1b66509f31570da973dd0f72a.png，所以f9ccc979287823bb45c3900a82243ec8.png，得d531d7ca1a54a9e40c446cd719e39294.png，

故45bf03a575f6e81359314e906fb2bff3.png的可能取值为93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png、c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png、665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png和a87ff679a2f3e71d9181a67b7542122c.png，

当018b35006247a6c4e99481a41aa1da1d.png时，725487ac808309b79bc95dea7eef8041.png，当2e43fa52daea04e8ede4eb44f88954ce.png时，9f097066c0ba80305103c91ac0a2c858.png，

此时，函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在98e8bb920a9457ccdef5cbfa07ae4e92.png上单调递增，不合乎题意；

同理可知，满足f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在98e8bb920a9457ccdef5cbfa07ae4e92.png上单调递减的只有c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png和665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png.

故答案为：c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png或665ecd7719a119a777670a43e5d81dde.png.

【点睛】

本题考查利用正弦型函数的单调性求参数，在计算出参数的可能值之后，还应将参数的值代入进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

16．2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png

【分析】

根据题意得出34eab99149be64425702d05db1056363.png，求出函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png在区间652e9b72ee713f6dbc5790e9624b0362.png上的值域，利用导数求出函数04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png在区间652e9b72ee713f6dbc5790e9624b0362.png上的值域，可得出关于实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的不等式，解出即可.

【详解】

ef25becff5214fcd44251c81eb45cbd2.png，当dd1405320843dfe69e83e313e06f4337.png时，有a97317a1e080b16f5eb50d7633c4a814.png.

因为9882491e91dd3beadf27741b28f293b1.png，所以192392230df4944bc09c5e18d0d411a2.png，

当7cec372e0ff6d50b3bb21b0dc0f8b454.png时，c8bab5d6b0a3fd73177fb5069fc90885.png，函数04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png在9504393f7cefcbb2c8bd251ff9a3208d.png上单调递减，

当a7cd9abca4f0954d68e490943179029c.png时，b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png，函数04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png在f6594a883ade1e5090669d3743b84fee.png上单调递增，

b2a6aa8695882c6dcbbdf34fca14483d.png，所以当7ae27cecfbd92cbd679b00187dac70d1.png时，4c092c9602810b906b742fd86fe4f69f.png.

若0a0596a02eb219bd6336b93543a68c06.png，则fec87feac2e6c2fd7e5e4b7fcd18fcc9.png，8ffd7fb50822715a706979cb5f233b08.png.

根据题意可知2c2b16ec159e50893d2e86ff93f5b443.png，解得9cf6dacb4ffa5908ac1862fc296cb176.png；

若65053788af3231c73e09059bbd81676e.png，则f1c9aad4a3e10a1611df9c268a718299.png，8ffd7fb50822715a706979cb5f233b08.png，不符合条件.

综上所述，实数6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的取值范围是2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png.

故答案为：2257e95d394e2d1f1b79f282585fe914.png.

【点睛】

本题考查函数不等式恒成立与能成立的综合问题，解题的关键就是将问题转化为函数最值相关的不等式来求解，同时也涉及了利用导数求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

17．（1）9a19ff810c520aac3f93b1e1a621d070.png；（2）7137fbcef4ed0c4d9205856c17a1c878.png.

【分析】

（1）由题意得出e13249c6334a7da0d46ce61b9aa80089.png，可得出当a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，99eedb288ff77bab7db289166db921af.png，再由6821cf2b0a80b1a7817c95cc663859a8.png求出8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png的值，即可求出44d853a7808a331d95220fcb38095649.png的表达式；

（2）求出数列d617fcfec1f0c1c55ce8aa50c0f05fff.png的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出0b9f2991087ddb13a722a3319a0bbe2e.png.

【详解】

（1）由题意得a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png时，fa86dbca4d4dcc0b75fa484491964061.png，所以99eedb288ff77bab7db289166db921af.png.

又482a7afb755e14603249cf25f377dcd8.png，得ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，

所以836c461ad849ed40fbfab937cac85a07.png；

（2）由（1）知bd478781ddef2992a91086dd7841263d.png，

所以2a998bfe07a28e2a4ff59dd5663ea562.pnge35b18a06231b1d9ad8241df3a1a9d53.png.

【点睛】

本题考查利用44d853a7808a331d95220fcb38095649.png求9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.

18．（1）d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png；（2）d961c6f2f506eeb0390a36b612f77293.png.

【分析】

（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出c3c1299234647a02263cd0bcff4ff4c0.png的值，结合角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的取值范围，可得出角7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的值；

（2）由正弦定理可计算出f762c00f6a2252d8fbe82854b53ea07b.png的值，利用两角和的正弦定理计算出04a7405948d1f3f1f1a6299a7d1df503.png的值，然后利用三角形的面积公式可计算出75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积.

【详解】

（1）由正弦定理可得1621af8e9f10ab6a55feacf813492295.png，

所以a9a1b30595f6c0d723f92b97fe060370.png，即54fec65146a4e5f76608f62ca012017d.png.

因为fb6b960477aefc68b4b80ddc6efbdf40.png，所以80b138e0bf7d24ac535ab6ac0e022486.png，

6d88a93ed570f356ec952dbd06f658cc.png，则60ab410800123aacbdba8a1d2469e524.png，故f330e62cb02d914ffe95a3503820d91a.png.

因为2d1aa592c3ace43a34e83de2a64f03ed.png，所以d030f7a20a842563ef93b2246741299b.png；

（2）根据正弦定理有ca211e18aba74bb01f8019ec5f64229d.png，所以bbb6ec7714fa7710e6ea5ecbcb63cc7d.png.

因为da3ecfd42504a6484773d9e7d6266207.png，所以a9654680b2f7558e35cf436f8c41ec2e.png，所以adc17f4a217006942d5ef30193524b6f.png，

所以4eab8b6e7932bddcd8bc10195e256605.png.

所以75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积d3dcc42d5cb0e2b82ab462b8fa7e05e5.png8111e105b4cf19ebe6482cb3107a7c2e.png.

【点睛】

本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.

19．（1）证明见解析；（2）32c02ca33e407083fe70ca4f3fdd5c15.png.

【分析】

（1）连接4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，交87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png于点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png，利用菱形对角线的性质得出2efa6db264077575df2998879c0a1838.png，由直棱柱的性质得出824e9b2810c5b6f7d4bd1c7359bac493.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，可得出19c20603430452280f8167391eca7fed.png，由直线与平面垂直的判定定理可证明出7f3b4a0b20d4b402193a9cd88e6adcd5.png平面757f4749aebb1891ef5ac2a9b5439cea.png，由此可证明出377f6df4c717b6609112c04331067ea2.png；

（2）以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png，02254216324801a8211731781e7eb52e.png分别为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png轴，过点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png垂直于平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png的直线为fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴，建立如图的空间直角坐标系a094682bcaa447ec174c8cc223ba1897.png，然后利用空间向量法计算出平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png与平面078710aec914075619cd9d893b1cb38c.png所成锐二面角的余弦值.

【详解】

（1）连接4144e097d2fa7a491cec2a7a4322f2bc.png，交87a47565be4714701a8bc2354cbaea36.png于点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png.

因为四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png是菱形，所以500e6cfbb23c16776c395e671acb327e.png.

因为四棱柱fa74795710d68e6da45909b820cee7b1.png是直四棱柱，所以824e9b2810c5b6f7d4bd1c7359bac493.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png.

因为669732f9faf118d4b54c7d8f20662a56.png平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png，所以7638ebd24ca103910d69a5ab06d6e640.png.

因为87862419384ea4e013fb52b41faa5d21.png，所以7f3b4a0b20d4b402193a9cd88e6adcd5.png平面757f4749aebb1891ef5ac2a9b5439cea.png.

因为58222fe8fe2e75325990b87e76727c6e.png平面757f4749aebb1891ef5ac2a9b5439cea.png，所以377f6df4c717b6609112c04331067ea2.png；

（2）由（1）知500e6cfbb23c16776c395e671acb327e.png，以f186217753c37b9b9f958d906208506e.png为坐标原点，ffb4513f2a3a46ad17d19ff6b56f9a2d.png，02254216324801a8211731781e7eb52e.png分别为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，415290769594460e2e485922904f345d.png轴，过点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png垂直于平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png的直线为fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴，建立如图的空间直角坐标系a094682bcaa447ec174c8cc223ba1897.png.

因为5dc05af8f8823aa73dcea79b9a5674f0.png，所以ca6355e47a9176d08cf64b7e13180bdf.png，因为底面四边形cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png为菱形，且6d4edae4f0fd21a877c7ff441d3cec6a.png，

所以884c5b6310b93c12bde04080ff939677.png，5fe68934d0574b2f79736556ad13d528.png，又因为3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da.png、800618943025315f869e4e1f09471012.png分别是线段0015406e37745015ae5e1e74e78420f9.png、bcae6b96f03706dfc6022456fee2706a.png的中点，

所以b83356441c9728b38209c04cec34e569.png，bf721a9f2ce57d033794548d4ec41577.png，87eb95eb6837128a390241da86d1cb6a.png，

所以eb1a013b708c8ac877e6bffc3b2e28f1.png，64dd1eb7a54661b19f1c3b86dd6e1a6a.png.

设平面078710aec914075619cd9d893b1cb38c.png的一个法向量为71a33c03cdabea7688fedf81b966a397.png，则390bcb41874967df1d708d64091bcaed.png.

令a9e81193486597a1b265ff2e95db2a8c.png，得ba61c78de534921cb6c66f8c0fbe6f8c.png.

易知c4b93078ca7cc47e0c98d07bdd070a92.png为平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png的一个法向量.

设平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png与平面078710aec914075619cd9d893b1cb38c.png所成的锐二面角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，

所以ce537c6d5497d2ddee4284aa05ff0b75.png，

所以平面cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png与平面078710aec914075619cd9d893b1cb38c.png所成锐二面角的余弦值为32c02ca33e407083fe70ca4f3fdd5c15.png.

【点睛】

本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量来计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

20．（1）d2dd451ab51563e768f2cf17d3743868.png，平均年龄4cff2607694873d52da2f9d1b88f612e.png；（2）分布列见解析，67391dd853b2b20d846bda19cf09143f.png；（3）53f3849cb81a59bd2044f932abc67d6f.png.

【分析】

（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png，求出0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区ea6b2efbdd4255a9f1b3bbc6399b58f4.png年国庆活动的居民的平均年龄；

（2）先根据分层抽样得知，所抽取的c9f0f895fb98ab9159f51fd0297e236d.png人中，年龄在70a503327e56180c492750aa13cabbf5.png的抽取1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png人、年龄在83a7da42b3582bb515833b4c6c8dccb0.png的抽取c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png人，可得出随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的可能取值为cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png、c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png、c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png分别取cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png、c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png、c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png时的概率，列出随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的数学期望；

（3）设年龄在29a37b961ed331356043250846903c86.png的人数为57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png，可知f10f634a05508d89e281b1809849d89c.png，利用独立重复试验的概率公式得出db2835a7e5fba10d3b914a2d647ca454.png，分析出数列a406d3c8428ff70729766bf85eb814e8.png的单调性，可求出3d4f699e01bfdbaedd32697b36350a56.png的最大值及对应的8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.png的值.

【详解】

（1）由频率分布直方图知a0f26c0e330d80d0f6c120387b9f61b6.png，解得d2dd451ab51563e768f2cf17d3743868.png，

所以该社区参加ea6b2efbdd4255a9f1b3bbc6399b58f4.png年国庆活动的居民的平均年龄为

f36b84831f282ee4e5cf3c74f0cbee6c.png12050d04b890e3c650703a899402e787.png；

（2）年龄在70a503327e56180c492750aa13cabbf5.png的人数为cb2e7bacd5380f3dafa959a14f868288.png，年龄在83a7da42b3582bb515833b4c6c8dccb0.png的人数为6a7bbe28be8eceda903aae0954f1409e.png.

根据分层抽样，可知年龄在70a503327e56180c492750aa13cabbf5.png的抽取1679091c5a880faf6fb5e6087eb1b2dc.png人、年龄在83a7da42b3582bb515833b4c6c8dccb0.png的抽取c81e728d9d4c2f636f067f89cc14862c.png人.

所以02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的可能取值为0，1，2，且35361fbd9db173f6411b7e467bb6b14e.png，67eb262aa5b5097bcb5a0150ca781293.png，7be9b14f4dbfd9fa8127acb14b32349d.png，

所以02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png的分布列为

所以824a772d9ef187f33123bb5339e317c8.png；

（3）由题可知年龄在29a37b961ed331356043250846903c86.png内的频率为ef8c95197437c59706e2ed86a8130845.png.

设年龄在29a37b961ed331356043250846903c86.png的人数为57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png，所以f10f634a05508d89e281b1809849d89c.png.

db2835a7e5fba10d3b914a2d647ca454.png.

设5d9047e99f08881c484eb10e43bee8fd.png7e724b26813aad49308b3ee148e1915a.png，

由af73024a54a91c6424ec5935b70d6300.png得f1d615c21800b2f5f7eae90f86d8a1d4.png，此时a9c1cedae9c40adb46aaa2c5f3024696.png；由f5e1ec012ae81624e22174309b81ca17.png得592eb09ab8bd2443b64a9a38fb66d919.png，此时f3dadfe7e030daa0efbe577981bb3594.png.

所以当53f3849cb81a59bd2044f932abc67d6f.png时，3d4f699e01bfdbaedd32697b36350a56.png最大.

【点睛】

本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

21．（1）9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png；（2）89986bb2e24bacf57996e07f29e59b53.png.

【分析】

（1）设椭圆的焦距为2ae6d495ab7be5032a5bc8e114b833ec.png，解方程db6830e52c243c8efd846b9235833f7e.png，可求出0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png的值，进而求出92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png的值，由此可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为ed785c201ba847677228967715e3666b.png，设点36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png、0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，将直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出20eb76627cc9c26759c3e7c834103ee7.png的面积关于6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的表达式，换元d7fcf70c0320e2b1271004e39f944e85.png，利用基本不等式求出20eb76627cc9c26759c3e7c834103ee7.png面积的最大值，利用等号成立的条件求出6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的值，即可得出直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率.

【详解】

（1）设椭圆的焦距为2ae6d495ab7be5032a5bc8e114b833ec.png，由db6830e52c243c8efd846b9235833f7e.png可得3b20a5360a23521beb2d9c9fba2c36ba.png，908b1f763486c99232a8686cbea38a50.png，

所以4070274d4889fe552bdc00bdeac78936.png，c6102a336b79b6f1d79be26e3341a370.png，即83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，27071423b9a403c9ffa1895ef3fefb6e.png.所以f1692f08d982d76c6f050f94705b54a3.png，

故椭圆的标准方程为9824c84865112a34ecf9cd741f274250.png；

（2）设直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程为ed785c201ba847677228967715e3666b.png，设36d096f7d525a6f569ea030c7e84d4c3.png、0ff78994e25d20f2d72e310f8fa2a767.png，

与椭圆方程联立得f154fcfa25f3e3c6133b56714fd220b7.png，消去9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png得90abae3d3162022aa906ef2abf976ebd.png.

则a3edb944984fd36ea32322ed5faf37c5.png，所以e17ead526d50ab4f9d9cbeb96db1cba6.png.

由根与系数的关系知cffe42c007f6d1bad21949a45d0b612f.png，a0fccfa9fce6cf8af43cb38cdc834417.png，

所以56923c1b4280d9338f09c7962e7a4bb3.png.①

令d7fcf70c0320e2b1271004e39f944e85.png，则①式可化为b25575c01891ee2b8026ff4a2b9c5129.png0c486dbc6a659e4918cc611f883f8465.png.

当且仅当a22787a67d2d76143218695a2f49fcfe.png，即791d2cd9ceef23d56a08479b1a8a5d09.png时，等号成立.

此时5fde53476608822258263e7794cd80a2.png，所以直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的斜率为89986bb2e24bacf57996e07f29e59b53.png.

【点睛】

本题考查椭圆的标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求最值时，一般利用基本不等式或函数单调性求解，考查运算求解能力，属于中等题.

22．（1）证明见解析；（2）9b1f2cd38db7576a035ab7754e765981.png.

【分析】

（1）将ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png代入函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的解析式，得出02062d96a3608edfcb73ae63f8d2f934.png，构造函数c34e55929fc0b8f05a862b6346012266.png，利用导数求出函数04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png的最大值为1042ba56fd47f2ce61dd1027bb75b360.png，从而可证明出所证不等式成立；

（2）分ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png、cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png和323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png三种情况讨论，分析函数f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的导函数13d1b3e070a95505bec8a199f63b7b08.png在e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png附近符号的变化，结合条件“e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的极小值点”，可得出实数0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围.

【详解】

（1）若ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png，02062d96a3608edfcb73ae63f8d2f934.png.

设函数c34e55929fc0b8f05a862b6346012266.png，则0316eae06e8460c745d8517df304b161.png.

当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，b3c76bca3c3d6302111b0553a647a0ad.png，当aa135e67321926f181d788c1a35afdf2.png时，c8bab5d6b0a3fd73177fb5069fc90885.png，

所以，函数04fda6c5ed3a8bc3e98652581296e371.png在6aebe4fc50113bb0aeaa150f7d4a291d.png上单调递增，在7438252393c71b507edb4d7a116aa1c2.png上单调递减.

所以在fe6bbfeba7ec29ffa758178c1677f9df.png上，f24704ab7f6e6c1b54a0f30e0283d3d9.png.

又因为当17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png时，68762cc3cf49d854753c1b74b33e7dec.png，所以当17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png时，6855336507532d8454814d446a7877bd.png；

（2）（i）若ded681eaa02d11064c9a469dd1b3e04c.png，由（1）可知当17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png时，469303f8ccbe97f23d1df1c8a48c2c90.png，这与e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的极小值点矛盾.

（ii）若cf8298b0e273301afdd921e7e4cf6c2b.png，对于方程aa95f5139c3a15e0f9230ebe3fd91600.png，因为5cf9ff0e302caaee3aba046af79a3e4d.png，且de3d2760b76fdd14d5a0e8bb29dd51e8.png，

故方程有两个实根f9a3b8e9e501458e8face47cae8826de.png、8f43fce8dbdf3c4f8d0ac91f0de1d43d.png，且满足cd9355db4515938217f4341166ec9473.png.

当52fd2e90e38875c3f2db4d4dee13e5bc.png时，20eb713b1677f51aabf85ccca2f177da.png，

结合（1），可得0471b0649b3ae2cdddbc6a4119fea4cc.png.

这与e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的极小值点矛盾.

（iii）若323c5f97105643bc61e288fe596194ca.png，设函数cc7c9d890ca115b6dd71c4233f6e59c2.png.

由于当17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png时，863d7c789658e276d88012bba38b36b0.png，故2e3852b28f3741d2f7b4b2c5b77d1d36.png与f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png符号相同.

又e04ff279d42c7eba276dc7156dbd56db.png，所以e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的极小值点等价于e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是2e3852b28f3741d2f7b4b2c5b77d1d36.png的极小值点.

3ab81ece79948d724e47c437c3ea38a3.png.

由fa85a0b3d1c84fa81d3cc1215ee61d87.png得，e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png或03410e29e129be9ed6ee327a406ac797.png.

如果d0e6e88e92f37a195db1bd262a78cbe2.png，则当97fdf90850f660f05349f4ad145b62dc.png时，a864d10ea82cb81f2251c1cdb0231f15.png，当fe2be9bb57b169b7c1605889c13354fe.png且17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png时，e0db64369448e56d3eb5e21b597e6b4b.png，所以e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png不是2e3852b28f3741d2f7b4b2c5b77d1d36.png的极小值点.

如果e7b1b1c7893903aa01bf066d7d32f861.png，则当17c061e65bba6bb05290b3a938943bdb.png时，21c12bf3034beffc5fab26ea52571fe9.png，所以e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png不是2e3852b28f3741d2f7b4b2c5b77d1d36.png的极小值点.

如果3b060442f4a909cb434572e693c77fd2.png，则当eb0e98dcf70db436b4acf50fac89ac46.png时，e0db64369448e56d3eb5e21b597e6b4b.png，当aa135e67321926f181d788c1a35afdf2.png时，a864d10ea82cb81f2251c1cdb0231f15.png，所以e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是2e3852b28f3741d2f7b4b2c5b77d1d36.png的极小值点，从而e11729b0b65ecade3fc272548a3883fc.png是f4c7a893604bc6ecb2fed03958976357.png的极小值点，此时fd225765de195206b94b845fe8a1b872.png.

综上所述，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png的取值范围是9b1f2cd38db7576a035ab7754e765981.png.

【点睛】

本题利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.

河南省天一大联考2020-2021学年高三阶段性测试（三）数学（理）试题