2020年湖北省襄阳市枣阳市蔡阳中学中考数学模拟试卷

一．选择题（共36分）

1．已知•＝，其中a≥0，则b满足的条件是（　　）

A．b＜0 B．b≥0

C．b必须等于零 D．不能确定

2．已知（1﹣x）2+，则x+y的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）

4．下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是（　　）

A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形

5．数字0.000 0031用科学记数法表示的结果是（　　）

A．3.1×10﹣5 B．3.1×10﹣6 C．3.1×10﹣7 D．3.1×10﹣8

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA＝（　　）

A． B． C． D．24

7．已知⊙O和⊙O′的半径分别为5cm和7cm，且⊙O和⊙O′相切，则圆心距OO′为（　　）

A．2 cm B．7 cm

C．12 cm D．2 cm或12 cm

8．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0

9．圆O的半径为6cm，P是圆O内一点，OP＝2cm，那么过点P的最短弦的长等于（　　）

A． cm B．8 C．6cm D．12cm

10．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（　　）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A，C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（　　）cm2．

A．24﹣π B．π C．24﹣π D．24﹣π

12．如图，一块边长为8cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为（点A，B，C′在同一直线上）（　　）

A．16π B．π C．π D．π

二．填空题（共12分）

13．制作一个圆锥模型，已知这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，则这块铁皮的半径为　 　cm．

14．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为　 　．

15．某种型号的电视机经过两次降价，价格从原来每台2250元降为每台1440元，则平均每次下降的百分率是　 　．

16．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，则它的内切圆半径为　 　．

三．解答题（共69分）

17．（5分）先化简、再求值：﹣a﹣2），其中a＝﹣3．

18．（9分）为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作，某学校举行了“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）表中的a＝　 　，b＝　 　；请补全频数分布直方图；

（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数是　 　；

（3）竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学，2名女同学．学校从这4名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访，则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为　 　．

19．（6分）如图，AB是一棵古树，某校初四（1）班数学兴趣小组的同学想利用所学知识测出这棵古树的高，过程如下：在古树同侧的水平地面上，分别选取了C、D两点（C、D两点与古树在同一直线上），用测角仪在C处测得古树顶端A的仰角α＝60°，在D处测得古树顶端A的仰角β＝30°，又测得C、D两点相距14米．已知测角仪高为1.5米，请你根据他们所测得的数据求出古树AB的高．（精确到0.1米，≈1.732）

20．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）分别写出图中点A和点C的坐标；

（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；

（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．

21．（6分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．

22．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE＝CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

23．（9分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．

24．（12分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．

设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．

（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

（2）求y与x之间的函数关系式；

（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，4）为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t（秒）．

（1）当t＝1时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l；

（2）当t为何值时，直线PQ与⊙C相切并写出此时点P和点Q的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP+NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．

2020年湖北省襄阳市枣阳市蔡阳中学中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共36分）

1．已知•＝，其中a≥0，则b满足的条件是（　　）

A．b＜0 B．b≥0

C．b必须等于零 D．不能确定

解：∵要使和有意义，

∴b≥0，ab≥0，

∵a≥0，

∴b≥0，

故选：B．

2．已知（1﹣x）2+，则x+y的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．5

解：∵（1﹣X）2+

∴

解得

∴x+y＝1+2＝3．

故选：C．

3．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（﹣2，5） B．（2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5）

解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣5）关于原点对称点的点的坐标是（2，5）．

故选：B．

4．下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是（　　）

A．正六边形 B．正五边形 C．正方形 D．正三角形

解：选项中的几个图形都是旋转对称图形，

A、正六边形旋转的最小角度是＝60°；

B、正五边形的旋转最小角是＝72°；

C、正方形的旋转最小角是＝90°；

D、正三角形的旋转最小角是＝120°．

故选：A．

5．数字0.000 0031用科学记数法表示的结果是（　　）

A．3.1×10﹣5 B．3.1×10﹣6 C．3.1×10﹣7 D．3.1×10﹣8

解：0.000 0031＝3.1×10﹣6，

故选：B．

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanA＝（　　）

A． B． C． D．24

解：∵cosA＝，

∴∠A的邻边与斜边的比是1：5，

设邻边是1，则斜边是5；

根据勾股定理，对边是＝2，

则tanA＝2．

故选：A．

7．已知⊙O和⊙O′的半径分别为5cm和7cm，且⊙O和⊙O′相切，则圆心距OO′为（　　）

A．2 cm B．7 cm

C．12 cm D．2 cm或12 cm

解：当两圆外切时，则圆心距等于两圆半径之和，即7+5＝12；

当两圆内切时，则圆心距等于两圆半径之差，即7﹣5＝2．

故选：D．

8．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1 B．k＞1 C．k≠0 D．k＞﹣1且k≠0

解：由题意知k≠0，△＝4+4k＞0

解得k＞﹣1且k≠0．

故选：D．

9．圆O的半径为6cm，P是圆O内一点，OP＝2cm，那么过点P的最短弦的长等于（　　）

A． cm B．8 C．6cm D．12cm

解：过点P的最短弦是垂直于OP的弦CD，

连接OC．根据勾股定理，得PC＝＝4，

再根据垂径定理，得CD＝8．

故选：B．

10．如图，是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（　　）

A．7个 B．8个 C．9个 D．10个

解：综合三视图，第一行第1列有3个，第一行第2列有1个，第一行第3列有2个；

第二行第1列有1个，第二行第2列没有，第二行第3列有1个；

第三行第1列没有，第三行第2列没有，第三行第3列有1个；

一共有：3+1+2+1+1+1＝9个，故选C．

11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，分别以A，C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（　　）cm2．

A．24﹣π B．π C．24﹣π D．24﹣π

解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，

∴AC＝＝10（cm），

∴S阴影部分＝×6×8﹣＝24﹣（cm2）．

故选：A．

12．如图，一块边长为8cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为（点A，B，C′在同一直线上）（　　）

A．16π B．π C．π D．π

解：CC′的长＝＝π．

故选：D．

二．填空题（共12分）

13．制作一个圆锥模型，已知这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，则这块铁皮的半径为　6　cm．

解：圆锥的底面周长为：＝12π

设圆形铁皮的半径为r，

则2πr＝12π，

解得：r＝6cm．

这块圆形铁皮的半径为6cm，

故答案为：6．

14．在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为　30°或150°　．

解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，

∴先AB所对的圆心角＝60°，

①圆周角在优弧上时，圆周角＝30°，

②圆周角在劣弧上时，圆周角＝180°﹣30°＝150°．

∴圆周角的度数为30°或150°．

15．某种型号的电视机经过两次降价，价格从原来每台2250元降为每台1440元，则平均每次下降的百分率是　20%　．

解：设这种电视机平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，

2250×（1﹣x）2＝1440，

解得x1＝0.2，x2＝﹣1.8（不合题意，舍去）；

答：这种电视机平均每次降价的百分率为20%．

故答案为：20%．

16．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，则它的内切圆半径为　2　．

解：如图：

在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，

根据勾股定理AB＝＝13，

四边形OECF中，OE＝OF，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°，

∴四边形OECF是正方形，

由切线长定理，得：AD＝AE，BD＝BF，CE＝CF，

∴CE＝CF＝（AC+BC﹣AB），

即：r＝（5+12﹣13）＝2．

故答案为：2．

三．解答题（共69分）

17．（5分）先化简、再求值：﹣a﹣2），其中a＝﹣3．

解：原式＝，

＝，

＝，

＝；（5分）

当a＝﹣3时，

原式＝﹣．

18．（9分）为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作，某学校举行了“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）表中的a＝　12　，b＝　40　；请补全频数分布直方图；

（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数是　108°　；

（3）竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学，2名女同学．学校从这4名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访，则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为　　．

解：（1）∵60≤x＜70小组的频数为8，占20%，

∴8÷20%＝40人，

∴a＝40﹣8﹣16﹣4＝12，b＝×100%＝40%，

故答案为：12，40；

（2）∵70≤x＜80小组所占的百分比为30%，

∴70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数360°×30%＝108°，

故答案为：108°；

（3）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：

∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种，

∴P（一男一女）＝＝．

19．（6分）如图，AB是一棵古树，某校初四（1）班数学兴趣小组的同学想利用所学知识测出这棵古树的高，过程如下：在古树同侧的水平地面上，分别选取了C、D两点（C、D两点与古树在同一直线上），用测角仪在C处测得古树顶端A的仰角α＝60°，在D处测得古树顶端A的仰角β＝30°，又测得C、D两点相距14米．已知测角仪高为1.5米，请你根据他们所测得的数据求出古树AB的高．（精确到0.1米，≈1.732）

解：连接FE并延长交AB于G．

设AG＝x．

在Rt△AEG中，＝tanα．

∴EG＝x．

在Rt△AFG中，＝tanβ．

∴FG＝．

∴x＝14．

∴x＝7＝7×1.732≈12.1米．

∴AB＝13.6米．

即古树AB的高约为13.6米．

20．（6分）已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

（1）分别写出图中点A和点C的坐标；

（2）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；

（3）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．

解：（1）A（0，4）、C（3，1）；（2分）

（2）如图（6分）；

（3）（7分）

（9分）

＝．

21．（6分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．

解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，4），

∴4＝，即m＝4，

∴反比例函数的解析式为：y＝．

∵反比例函数y＝的图象过点B（n，﹣2），

∴﹣2＝，

解得：n＝﹣2

∴B（﹣2，﹣2）．

∵一次函数y＝ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），

∴，

解得．

∴一次函数的解析式为：y＝2x+2；

（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．

22．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．

（1）求证：BE＝CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，

∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，

∴∠EAF+∠BAF＝∠BAC+∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，

∵AB＝AC，

∴AE＝AF，

∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，

∴BE＝CF；

（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB＝AC＝1，

∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，

∴∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，

∴∠AEB＝∠ABE＝45°，

∴△ABE为等腰直角三角形，

∴BE＝AC＝，

∴BD＝BE﹣DE＝﹣1．

23．（9分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；

（3）若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．

（1）证明：如图，连接OC，（1分）

∵OA＝OB，CA＝CB，

∴OC⊥AB，（2分）

∴AB是⊙O的切线．

（2）解：BC2＝BD•BE．（4分）

证明：∵ED是直径，

∴∠ECD＝90°，

∴∠E+∠EDC＝90°．

又∵∠BCD+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC（OC＝OD），

∴∠BCD＝∠E．（5分）

又∵∠CBD＝∠EBC，

∴△BCD∽△BEC．（6分）

∴．

∴BC2＝BD•BE．（7分）

（3）解：∵tan∠CED＝，

∴．

∵△BCD∽△BEC，

∴．（8分）

设BD＝x，则BC＝2x，

∵BC2＝BD•BE，

∴（2x）2＝x•（x+6）．（9分）

∴x1＝0，x2＝2．

∵BD＝x＞0，

∴BD＝2．

∴OA＝OB＝BD+OD＝3+2＝5．

24．（12分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．

设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．

（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；

（2）求y与x之间的函数关系式；

（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？

解：（1）每个面包的利润为（x﹣5）角

卖出的面包个数为[160﹣（x﹣7）×20]）（4分）

（2）y＝（300﹣20x）（x﹣5）＝﹣20x2+400x﹣1500

即y＝﹣20x2+400x﹣1500（8分）

（3）y＝﹣20x2+400x﹣1500＝﹣20（x﹣10）2+500

∴当x＝10时，y的最大值为500．

∴当每个面包单价定为10角时，该零售店每天获得的利润最大，最大利润为500角．（12分）

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，以点C（0，4）为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t（秒）．

（1）当t＝1时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l；

（2）当t为何值时，直线PQ与⊙C相切并写出此时点P和点Q的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP+NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．

解：（1）由题意得A、P1、Q1的坐标分别为A（0，8）、P1（1，8）、Q1（4，0）（1分）

设所求抛物线解析式为y＝ax2+bx+c

则

∴a＝﹣，b＝，c＝8

∴所求抛物线为y＝﹣x2++8

对称轴为直线l：x＝；

（2）设t＝a时，PQ与⊙C相切于点M

连接CP、CM、CQ，则PA＝PM＝a，QO＝QM＝4a

又∵CP、CQ分别平分∠APQ和∠OQP，

而∠APQ+∠OQP＝180°

∴∠PCQ＝90°

∴PC⊥CQ

∴Rt△CMP∽Rt△QMC

∴即

∴a＝±2

由于时间a只能取正数，

所以a＝2

即当运动时间t＝2时，PQ与⊙C相切

此时：P（2，8），Q（8，0）；

（3）∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），

∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+8，

此时对称轴l：x＝1，点P关于直线l的对称点为P'（0，8），

则直线P'Q的解析式为：y＝﹣x+8，

当x＝1时，y＝﹣1+8＝7．

因此N点的坐标为（1，7）．

湖北省襄阳市枣阳市蔡阳中学2020年中考数学模拟考试试卷（含解析）