2010年全国大学生数学专业竞赛试题及解答

（1）计算积分

解　方法一　　 直接利用分部积分法得

方法二 不妨设，由于，　　

而积分关于在上一致收敛，故可交换积分次序　　　

方法三 将固定，记， 可证在上收敛．

设　　因为，而收敛，

所以由Weierstrass判别法知道　对一致收敛．所以可以交换微分运算和积分运算的次序，　即

由的任意性，上式在上成立．

所以　，由于　所以，

即．　　　　　

(2)若关于的方程，在区间内有唯一的实数解，求常数.

解：设，则有，

当时，；当时，.

由此在处达到最小值，

又在内有唯一的零点，

必有，，

所以.

（3）设函数在区间上连续，由积分中值公式，有，，若导数存在且非零，

求.

解：，

由条件，可知

故有.

二、设函数在附近可微，，,

定义数列.

证明：有极限并求其值.

证明：由导数的定义，

对于任意,存在，当时，有.

于是，

从而，当时，有，

，其中.

对于上式求和，得到

即，

令，有

由的任意性，得到 .

设在上有定义，在处可导，且.

证明：.

三、设函数在上一致连续，且对任何，有，

证明： 。

试举例说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。

证明 证法一

由在上一致连续，对， ，

当

且时，

便有；

取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。

对于任意，；

从而必有，使得；

由条件对每个，有；

于是存在，当时，，对都成立；

故当时，便有

即得，结论得证。

证法二 设,由题设条件知

在上等度一致连续,对每一,有;

利用Osgood定理得, 在上一致收敛于0,

对,存在，当时,

有,,

从而当时,有,

即得，结论得证。

设在上的连续，且对任何，

有，但推不出。

例如函数

满足在上的连续，且对任何，有，

但不成立 。

四、设，在内连续，在内连续有界，且满足条件：

当时，；

在中与有二阶偏导数，

证明：在内处处成立.

证明：设，

则有

于是 ， ， ;

由已知条件，存在，当时，

有 ， .

记，

设 ，我们断言，必有，

假若，则必有，使得 ；

易知， .

这与矛盾，

所以

从而 ，；

由的任意性，得

故在内处处成立.

五、 设.

考虑积分，，定义，

(1)证明 ；

(2)利用变量替换：，计算积分的值，并由此推出.

证明：（1）由，在上一致收敛，可以进行逐项积分

又，

所以 关于是一致收敛的，可以逐项求极限，

于是有 .

故有 ；

注意到区域关于轴对称

或者利用分部积分,得

于是,

故.

2010年全国大学生非数学专业竞赛试题及解答

一、计算题

（1） 求极限

解法1 直接化为黎曼和的形式有困难.

注意到 ,

由于 ，

所以

解法2 利用，得

由于，

所以 .

（2）计算，

其中为下半球的上侧，.

解法一. 先以代入被积函数，

补一块有向平面，其法向量与轴正向相反，

利用高斯公式，从而得到

其中为围成的空间区域，为上的平面区域，

于是

解法二. 直接分块积分

其中为平面上的半圆，.

利用极坐标，得

其中为平面上的圆域，，

用极坐标，得

因此.

（3）现要设计一个容积为的圆柱体的容积，已知上下两低的材料费为单位面积元，而侧面的材料费为单位面积元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底面的直径之比为何值时，所需费用最少？

解：设圆柱体的高为，底面直径为，费用为，

根据题意，可知，

当且仅当时，等号成立，

故当时，所需要的费用最少.

（4）已知在内满足求.

解：

所以，.

二、 求下列极限.

（1）；

（2），其中，，.

解：（1）

故.

一般地，有，其中，，

3．设在点附近有定义，且在点可导，，，

求.

解：

四、 设在上连续，无穷积分收敛，求.

解：设，由条件知，，

利用分部积分，得

于是

5．设函数在上连续，在内可微，且，.

证明：（1）存在，使得；

（2）对于每一，存在，使得.

证明：（1）令，

由题设条件，可知，

利用连续函数的介值定理，得

存在，使得，即.

（2）令，

由题设条件和（1）中的结果，可知，

利用罗尔中值定理，得

存在，使得，

由，

即得.

六、 试证：对每一个整数，成立

分析：这是一个估计泰勒展开余项的问题，其技巧在于利用泰勒展开的积分余项.

证明：显然时，不等式成立；

下设.

由于，

这样问题等价于证明

即

令上式化为

从而等价于，

只要证明，

设，则只要证明

就有，

则问题得证.

以下证明，，成立

上式等价于，

即，

令，

则，并且对，有

从而当时，，

这样问题得证.

注：利用这一结论，我们可以证明如下结论.

六、设为整数，，证明方程，在上至少有一个根.

六、 证明：存在，使得.

证明：令，

则有，

由连续函数的介值定理，得

存在，使得，

故问题得证.

这里是由于， ，

在上严格单调递减，

所以，当时，有.

七、 是否存在上的可微函数，使得，若存在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明。

证明 如果这样的函数存在，

我们来求的不动点，即满足的，

由此得，这表明有唯一的不动点，易知也仅有唯一的不动点，，在等式，两边对求导，得

让，即得，这是不可能的，故这样的函数不存在。

八、设函数在上一致连续，且对任何，有，

证明： 。

试举例说明，仅有在上的连续性推不出上述结论。

证明

由在上一致连续，对， ，

当

且时，

便有；

取定充分大的正整数，使得。现把区间等分，设其分点为，每个小区间的长度小于。

对于任意，；

从而必有，使得；

由条件对每个，有；

于是存在，当时，，对都成立；

故当时，便有

即得，结论得证。

设在上的连续，且对任何，有，

但推不出上述结论。

例如函数

满足在上的连续，且对任何，有，

但不成立 。

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：

1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。

2、推销产品要针对顾客的心，不要针对顾客的头。

3、不同的信念，决定不同的命运。

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