数学建模多元统计分析
发布时间：2019-01-21
实验报告一、实验名称多元统计分析作业题。二、实验目的（一）了解并掌握主成分分析与因子分析的基本原理和简单解法。（二）学会使用matlab编写程序进行因子分析，求得特征值、特征向量、载荷矩阵等值。 （三）学会使用排序、元胞数组、图像表示最后的结果，使结果更加直观。
三、实验内容与要求
四、实验原理与步骤
（一）第一题：
1、实验原理： 因子分析简介：
(1 1.1 基本因子分析模型
设p维总体x=(x1,x2,....,xp'的均值为u=(u1,u2,....,u3'，因子分析的一般模型为 x1=u1+a11f1+a12f2+........+a1mfm+ε1 x2=u2+a21f1+a22f2+........+a2mfm+ε2 ......... xp=up+ap1f1+fp2f2+..........+apmfm+εp 其中，f1,f2,.....,fm为m个公共因子；εi是变量xi(i=1,2,.....,p所独有的特殊因子，他们都是不可观测的隐变量。称aij(i=1,2,.....,p;j=1,2,.....,m为变量xi的公共因子fi上的载荷，它反映了公共因子对变量的重要程度，对解释公共因子具有重要的作用。上式可以写为矩阵形式 x=u+Af+ε
其中A=(aijpxm 称为因子载荷矩阵；f=(f1,f2,....,fm'为公共因子向量；ε=(ε1,ε2,.....εp称为特殊因子向量
(2 1.2 共性方差与特殊方差
xi的方差var(xi由两部分组成，一个是公共因子对xi方差的贡献，称为共性方差；一个是特殊因子对xi方差的贡献，称为特殊方差。每个原始变量的方差都被分成了共性方差和特殊方差两部分。 (3 1.3 因子旋转
因子分析的主要目的是对公共因子给出符合实际意义的合理解释，解释的依据就是因子载荷阵的个列元素的取值。当因子载荷阵某一列上各元素的绝对值差距较大时，并且绝对值大的元素较少时，则该公共因子就易于解释，反之，公共因子的解释就比较困难。此时可以考虑对因子和因子载荷进行旋转（例如正交旋转），使得旋转后的因子载荷阵的各列元素的绝对值尽可能量两极分化，这样就使得因子的解释变得容易。
因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两种，这里只介绍一种普遍使用的正交旋转法：最大方差旋转。这种旋转方法的目的是使因子载荷阵每列上的各元素的绝对值（或平方值）尽可能地向两极分化，即少数元素的绝对值（或平方值）取尽可能大的值，而其他元素尽量接近于0. (4 1.4 因子得分
在对公共因子做出合理解释后，有时还需要求出各观测所对应的各个公共因子的得分，就比如我们知道某个女孩是一个美女，可能很多人更关心该给她的脸蛋、身材等各打多少分，常用的求因子得分的方法有加权最小二乘法和回归法。 注意：因子载荷矩阵和得分矩阵的区别：
因子载荷矩阵是各个原始变量的因子表达式的系数，表达提取的公因子对原始变量的影响程度。因子得分矩阵表示各项指标变量与提取的公因子之间的关系，在某一公因子上得分高，表明该指标与该公因子之间关系越密切。简单说，通过因子载荷矩阵可以得到原始指标变量的线性组合，如X1=a11*F1+a12*F2+a13*F3,其中X1为指标变量1，a11、a12、a13分别为与变量X1在同一行的因子载荷，F1、F2、F3分别为提取的公因子；通过因子得分矩阵可以得到公因子的线性组合，如F1=a11*X1+a21*X2+a31*X3，字母代表的意义同上。 (5 1.5 因子分析中的Heywood（海伍德）现象
如果x的各个分量都已经标准化了，则其方差=1。即共性方差与特殊方差的和为1。也就是说共性方差与特殊方差均大于0，并且小于1。但在实际进行参数估计的时候，共性方差
的估计可能会等于或超过1，如果等于1，就称之为海伍德现象，如果超过1，称之为超海伍德线性。超海伍德现象意味着某些特殊因子的方差为负，表明肯定存在问题。造成这种现象的可能原因包括： 共性方差本身估计的问题； 太多的共性因子，出现了过拟合； 太少的共性因子，造成拟合不足； 数据太少，不能提供稳定的估计； 因子模型不适合这些数据。
当出现海伍德现象或超海伍德现象时，应对估计结果保持谨慎态度。可以尝试增加数据量，或改变公共因子数目，让公共因子数目在一个允许的范围内变动，观察估计结果是否有改观；还可以尝试用其他多元统计方法进行分析，比如主成分析。
2、实验步骤：
(1将原始数据标准化处理; (2建立相关系数矩阵并计算其特征值和特征向量; 将题目所给的相关系数矩阵输入并设为PHO，利用 [x,y]=eig(PHO求得PHO的特征值和特征向量。
(3 选择特征值大于等于1的特征值个数为公共因子数,或者根据特征值累计贡献率大于80%来确定公共因子。
从y表（特征值表）中我们可以看出大于等于1的特征值个数为4，所以公共因子数也为4。 (4 求得正交或斜交因子载荷矩阵; ① 通过上一步，我们得到了因子载荷矩阵lambda。
② 因子分析，公共因子数为4，设置特殊方差的下限为0，使用 factoran函数进行因子旋转。
③ 设置表头与变量名，计算贡献率与累计贡献率。将lambda、Contribut、 CumCont放在一起，转为元胞数组，并显示最后的结果。 (5 计算公因子得分和综合得分。
计算因子得分方法是：用每个共因子的方差贡献率做权数，对每个因子进行加权，然后加总得到每个项目的总因子得分按总得分的多少进行排序，以反映不同免死方面对结果的影响。
根据第3步我们可以得到因子1~4的贡献率分别为： 